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1、考点22 抛物线（核心考点讲与练）1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：M|MF|d(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下1.求抛物线的标准方程的方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数
2、只有p，所以只需一个条件确定p值即可因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量（2）利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径2.确定及应用抛物线性质的技巧：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解3.(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点
3、，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用抛物线的定义与方程一、单选题1（2022广东二模）已知抛物线E：，圆F：，直线l：（t为实数）与抛物线E交于点A，与圆F交于B，C两点，且点B位于点C的右侧，则FAB的周长可能为（）A4B5C6D72（2022江苏海安高级中学二模）已知抛物线的焦点为F，准线为l点P在C上，直线PF交x轴于点Q，且，则点P到准线l的距离为（）A3
4、B4C5D63.（2021北京市第八中学高三10月月考）已知抛物线第一象限上一点到其焦点的距离为，则点的纵坐标为（ ）A B C D二、多选题4（2022广东韶关二模）已知抛物线 的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（）A对于任意直线m，均有AEPFB不存在直线m，满足C对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切D存在直线m，使|AF|+|BF|=2|DF|5（2022山东潍坊二模）已知四面体ABCD的4个顶点都在球O（O为球心）的球面上，ABC为等边三角形，M为底面ABC内的动点，AB=BD
5、=2，且，则（）A平面ACD平面ABCB球心O为ABC的中心C直线OM与CD所成的角最小为D若动点M到点B的距离与到平面ACD的距离相等，则点M的轨迹为抛物线的一部分6（2022山东聊城二模）已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为2，过的直线交抛物线于两点，则（）A的准线方程为B若，则C若，则的斜率为D过点作准线的垂线，垂足为，若轴平分，则7（2022辽宁葫芦岛一模）已知抛物线过点，焦点为F，则（）A点M到焦点的距离为3B直线MF与x轴垂直C直线MF与C交于点N，以弦MN为直径的圆与C的准线相切D过点M与C相切的直线方程为三、填空题8（2022辽宁沈阳二模）已知抛物线的焦点为F，在C上有一点P，
6、则点P到x轴的距离为_抛物线的几何性质1.（2021北京八中高三上学期期中）已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）A B C D2.（2021新疆克拉玛依市高三第三次模拟检测）年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象已知抛物线的焦点为，圆与抛物线在第一象限的交点为，直线与抛物线的交点为，直线与圆在第一象限的交点为，则周长的取值范围为（ ）A. B. C. D. 直线与抛物线的位置关系1.（云南省曲靖市第一中学2022届高三上学期第一次质量监测卷）已知直线l： y=x+1与抛物线C： x2=2py（p0）相交于A， B两点，若AB的
7、中点为N，且抛物线C上存在点M，使得 （O为坐标原点）.（1）求此抛物线的标准方程；（2）若正方形PQHR的三个顶点P， Q， H都在抛物线C上，求正方形PQHR面积的最小值.2.（2021四川省成都市郫都区高三上学期阶段性检测）已知抛物线：上的点到焦点的距离为（1）求抛物线的方程；（2）设纵截距为的直线与抛物线交于，两个不同的点，若，求直线的方程1.（2020年全国统一高考（新课标）已知A为抛物线C:y2=2px（p0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）A. 2B. 3C. 6D. 92.（2021年全国新高考卷）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点
8、，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为_.3.（2021年全国高考乙卷） 已知抛物线的焦点F到准线的距离为2（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.一、单选题1（2022山东泰安二模）已知以F为焦点的抛物线上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的横坐标），满足（O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为，则实数（）ABC3D42（2022河北唐山二模）F为抛物线的焦点，点在C上，直线MF交C的准线于点N，则（）ABC5D123（2022天津一模）已知抛物线的准线与双曲线相交于DE两点，且ODOE（O为原点），则双曲线的渐近线方程为（）ABCD4（
9、2022辽宁锦州一模）已知抛物线的焦点为F，点P是C上一点，且，以PF为直径的圆截x轴所得的弦长为1，则（）A2B2或4C4D4或65（2022广东惠州一模）若抛物线（）上一点P（2，）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（）Ay2=2xBy2=4xCy2=6xDy2=8x二、多选题6（2022河北秦皇岛二模）过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与的另外两个交点分别为，则（）A的准线方程是B过的焦点的最短弦长为8C直线过定点D当点到直线的距离最大时，直线的方程为7（2022江苏江苏二模）已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是（）A若为线段中
10、点，则B若，则C存在直线，使得D面积的最小值为28（2022广东一模）已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，（且）满足，则下列结论中正确的是（）A时，B时，的最小值为9C时，D时，的最小值为89（2022湖南常德一模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（）A焦点的坐标为B过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点C直线与抛物线相交所得弦长为8D抛物线与圆交于两点，则10（2022广东肇庆模拟预测）已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（）A点M到直线l的距离为定值B以为直径
11、的圆与l相切C的最小值为32D当最小时，11（2022重庆模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点，都在抛物线上，且，则下列结论正确的是（）A抛物线方程为BF是的重心CD三、填空题12（2022北京丰台二模）已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为_13（2022福建模拟预测）已知抛物线与抛物线在第一象限内的交点为，若点在圆上，且直线与圆相切，则_.14（2022重庆八中模拟预测）若抛物线上的点到焦点的距离是点A到y轴距离的2倍，则_.四、解答题15（2022山东济宁二模）已知抛物线E：的焦点为F，点在抛物线E上，且的面积为（O为坐标原点）.(1)求抛物线E的方程；(2)
12、过焦点F的直线l与抛物线E交于AB两点，过AB分别作垂直于l的直线ACBD，分别交抛物线于CD两点，求的最小值.16（2022湖北武汉二模）已知抛物线，点为上一点，且到的准线的距离等于其到坐标原点的距离.(1)求的方程；(2)设为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长交于两点，求四边形面积的最小值.17（2022辽宁建平县实验中学模拟预测）已知点在抛物线上.(1)求抛物线的方程；(2)过点作斜率分别为的两条直线，若与抛物线的另一个交点分别为，且有，探究：直线是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，说明理由.18（2021山西运城模拟预测（理）已知P(1，2)在抛物线C：y22px上(1)求抛物线C的方程；(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点