《考点22抛物线(核心考点讲与练)-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练(新高考专用)(解析版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考点22抛物线(核心考点讲与练)-2024年高考数学一轮复习核心考点讲与练(新高考专用)(解析版).docx（35页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、考点22 抛物线（核心考点讲与练）1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：M|MF|d(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下1.求抛物线的标准方程的方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数
2、只有p，所以只需一个条件确定p值即可因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量（2）利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径2.确定及应用抛物线性质的技巧：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解3.(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点
3、，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵活应用抛物线的定义与方程一、单选题1（2022广东二模）已知抛物线E：，圆F：，直线l：（t为实数）与抛物线E交于点A，与圆F交于B，C两点，且点B位于点C的右侧，则FAB的周长可能为（）A4B5C6D7【答案】B【分析】先判断出抛物线焦点和圆心重合，由抛物线定义得，又，可得FAB的周长为，又知，即可求解.【详解】由题意知：抛物线焦点
4、恰为圆心，抛物线准线，圆半径为2，可得圆与相切，设直线l：与准线交于，由抛物线定义知：，又，故FAB的周长为，由图知，故，结合选项知：FAB的周长可能为5.故选：B.2（2022江苏海安高级中学二模）已知抛物线的焦点为F，准线为l点P在C上，直线PF交x轴于点Q，且，则点P到准线l的距离为（）A3B4C5D6【答案】C【分析】根据抛物线的定义即可求解.【详解】设，,，P到l的距离，故选：C3.（2021北京市第八中学高三10月月考）已知抛物线第一象限上一点到其焦点的距离为，则点的纵坐标为（ ）A B C D答案】D【分析】设点，其中，利用抛物线的定义可求得的值，即为所求.【详解】设点，其中，抛
5、物线的准线方程为，由抛物线的定义可得，解得.故选：D.二、多选题4（2022广东韶关二模）已知抛物线 的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（）A对于任意直线m，均有AEPFB不存在直线m，满足C对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切D存在直线m，使|AF|+|BF|=2|DF|【答案】AC【分析】A选项由E为线段PF的中点以及抛物线定义即可判断；B选项由及抛物线方程求出坐标，再说明三点共线，即存在直线即可；C选项设，表示出直线AE，联立抛物线，利用即可判断；D选项设出直线，联立抛物线得到，
6、通过焦半径公式结合基本不等式得即可判断.【详解】A选项，如图1，由抛物线知O为DF的中点，轴，所以E为线段PF的中点，由抛物线的定义知，所以，所以A正确；B选项，如图2，设，E为线段PF的中点，则，由得，解得，又，故， ，又，可得，故存在直线m，满足 ，选项B不正确C选项，由题意知，E为线段PF的中点，从而设，则，直线AE的方程：，与抛物线方程联立可得：，由代入左式整理得：，所以，所以直线AE与抛物线相切，所以选项C正确D选项，如图3，设直线m的方程，由，得当，即且时，由韦达定理，得，因为，所以，又，所以成立，故D不正确故选：AC5（2022山东潍坊二模）已知四面体ABCD的4个顶点都在球O（
7、O为球心）的球面上，ABC为等边三角形，M为底面ABC内的动点，AB=BD=2，且，则（）A平面ACD平面ABCB球心O为ABC的中心C直线OM与CD所成的角最小为D若动点M到点B的距离与到平面ACD的距离相等，则点M的轨迹为抛物线的一部分【答案】ABD【分析】设的中心为G，取AC的中点E，由题可得平面可判断A，根据勾股定理可得进而判断B，利用特例可判断C，利用面面垂直的性质及抛物线的定义可判断D.【详解】设的中心为G，取AC的中点E，连接BE，DE，则.因为，,所以平面BDE，则，又ABC为等边三角形，所以，即，又，平面，平面，平面ACD平面ABC，故A正确；又，故为四面体的外接球的球心，即
8、球心O为ABC的中心，故B正确；当时，为直线OM与CD所成的角，由上知，故C错误；由平面ACD平面ABC可知，动点M到平面ACD的距离即动点M到直线的距离，由抛物线的定义可知，点M的轨迹为抛物线的一部分，故D正确.故选：ABD.6（2022山东聊城二模）已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为2，过的直线交抛物线于两点，则（）A的准线方程为B若，则C若，则的斜率为D过点作准线的垂线，垂足为，若轴平分，则【答案】BCD【分析】根据抛物线的几何意义求出，即可得到抛物线的方程，再根据抛物线的定义判断A、B、D，设，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，根据焦半径公式计算即可判断C；【详解
9、】解：因为抛物线：（）的焦点到准线的距离为2，所以，所以抛物线方程为，则焦点，准线为，故A错误；若，则，所以，所以，故B正确；可设，直线的方程为，与抛物线联立，消去，可得，可得，由抛物线的定义可得即，即，解得，则直线的斜率为，故C正确；对于D，若轴平分，则，又轴，所以，所以，所以，即，所以，故D正确；故选：BCD7（2022辽宁葫芦岛一模）已知抛物线过点，焦点为F，则（）A点M到焦点的距离为3B直线MF与x轴垂直C直线MF与C交于点N，以弦MN为直径的圆与C的准线相切D过点M与C相切的直线方程为【答案】AC【分析】先求出，由抛物线的定义即可判断A、C选项；B选项由坐标即可判断；D选项易知点M不
10、在直线上即可判断.【详解】由题意知：，解得，即，焦点，准线.由抛物线定义知，点M到焦点的距离等于到准线的距离为，故A正确；由焦点知直线MF不与x轴垂直，故B错误；如图，设中点为，过作准线的垂线，垂足为，易知，故以弦MN为直径的圆与C的准线相切，C正确；由知M不在直线上，故D错误.故选：AC.三、填空题8（2022辽宁沈阳二模）已知抛物线的焦点为F，在C上有一点P，则点P到x轴的距离为_【答案】【分析】根据抛物线的定义，列出相应方程求解即可.【详解】由抛物线的定义可知：，所以，代入中，得，所以，故点P到x轴的距离为为故答案为：抛物线的几何性质1.（2021北京八中高三上学期期中）已知直线：和直线
11、：，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）A B C D【答案】A【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，可得点P到直线和直线的距离之和，当B，P，F三点共线时，最小，再结合点到直线的距离公式，即可求解【详解】抛物线，抛物线的准线为，焦点为，点P到准线的距离PA等于点P到焦点F的距离PF，即，点P到直线和直线的距离之和，当B，P，F三点共线时，最小，点P到直线和直线的距离之和的最小值为故选：A2.（2021新疆克拉玛依市高三第三次模拟检测）年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象已知抛物线的焦点为，圆与抛物线在第一象限的交点为，直线与抛物线的交点为，
12、直线与圆在第一象限的交点为，则周长的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【分析】将抛物线与圆方程联立可求得点坐标，由此可知的取值范围；利用抛物线定义和圆的半径可将周长转化为，由范围可得所求周长取值范围.【详解】由抛物线得：，准线为；设与交于点，由抛物线定义知：；由圆知：；由得：，即，则，设，的周长为，周长的取值范围为.故选：B.直线与抛物线的位置关系1.（云南省曲靖市第一中学2022届高三上学期第一次质量监测卷）已知直线l： y=x+1与抛物线C： x2=2py（p0）相交于A， B两点，若AB的中点为N，且抛物线C上存在点M，使得 （O为坐标原点）.（1）求此抛物线的标准方程；
13、（2）若正方形PQHR的三个顶点P， Q， H都在抛物线C上，求正方形PQHR面积的最小值.【答案】（1）；（2）32.【分析】（1）联立方程由点为的中点，求得点N的坐标，再根据，得到M的坐标，代入抛物线方程求解；（2）设，直线的斜率为，根据得到，由，得到，再由得到，然后由正方形的面积为，利用基本不等式求解.【详解】（1）设，联立方程组整理得，则，可得由点为的中点，所以设，因为，可得，又由点在抛物线：上，可得，即，解得或（舍去），所以抛物线的标准方程为.（2）设，直线的斜率为，不妨设，则，且，因为，所以.由，得，即，即，将代入得，所以，所以，所以正方形的面积为，因，所以（当且仅当时取等号）.因
14、为，所以所以（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），所以正方形的面积的最小值为32.2.（2021四川省成都市郫都区高三上学期阶段性检测）已知抛物线：上的点到焦点的距离为（1）求抛物线的方程；（2）设纵截距为的直线与抛物线交于，两个不同的点，若，求直线的方程【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用抛物线的性质即可求解.（2）设直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理，即可求解.【详解】（1）由题设知，抛物线的准线方程为，由点到焦点的距离为，得，解得，所以抛物线的标准方程为（2）设，显然直线的斜率存在，故设直线的方程为，联立消去得，由得，即所以，又因为，所以，所以，即，解得，满足，所以直线的
15、方程为1.（2020年全国统一高考（新课标）已知A为抛物线C:y2=2px（p0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）A. 2B. 3C. 6D. 9【答案】C【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.2.（2021年全国新高考卷）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为_.【答案】【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.【详解】抛
16、物线： ()的焦点,P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,不妨设,因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，又，因为，所以,，所以的准线方程为故答案为：.【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.3.（2021年全国高考乙卷） 已知抛物线的焦点F到准线的距离为2（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值为.【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到
17、准线的距离为，所以该抛物线的方程为；（2）方法一：轨迹方程+基本不等式法设，则，所以，由在抛物线上可得，即，据此整理可得点的轨迹方程为，所以直线的斜率，当时，；当时，当时，因为，此时，当且仅当，即时，等号成立；当时，；综上，直线的斜率的最大值为.方法二：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q的轨迹方程为设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为方法三：轨迹方程+换元求最值法同方法一得点Q的轨迹方程为设直线的斜率为k，则令，则的对称轴为，所以故直线斜率的最大值为方法四：参数+基本不等式法由题可设因为，所以于是，所以则直线的斜率为
18、当且仅当，即时等号成立，所以直线斜率的最大值为【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；方法二 同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值. 一、单选题1（2022山东泰安二模）已知以F为焦点的抛
19、物线上的两点A，B（点A的横坐标大于点B的横坐标），满足（O为坐标原点），弦AB的中点M的横坐标为，则实数（）ABC3D4【答案】D【分析】根据已知及抛物线的几何性质求出，再由已知求出的值.【详解】由题意可得抛物线的焦点.弦AB的中点M的横坐标为，由已知条件可知直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为，则联立，消去y得，又因为弦AB的中点M的横坐标为，点A到准线的距离为，点B到准线的距离为，所以，又，故.故选：D2（2022河北唐山二模）F为抛物线的焦点，点在C上，直线MF交C的准线于点N，则（）ABC5D12【答案】B【分析】依据两点间距离公式去求【详解】点在抛物线上，则，解之得，则又抛物线的
20、焦点F，准线则直线MF的方程为，则N则故选：B3（2022天津一模）已知抛物线的准线与双曲线相交于DE两点，且ODOE（O为原点），则双曲线的渐近线方程为（）ABCD【答案】B【分析】根据对称性求得的坐标，从而求得，进而求得双曲线的渐近线方程.【详解】抛物线的准线为，由于，根据双曲线的对称性可知：（不妨设），代入得，所以双曲线的渐近线方程为.故选：B4（2022辽宁锦州一模）已知抛物线的焦点为F，点P是C上一点，且，以PF为直径的圆截x轴所得的弦长为1，则（）A2B2或4C4D4或6【答案】D【分析】根据几何关系，求点的坐标，代入抛物线方程，即可求解.【详解】设圆的圆心为，与轴交于点，线段的中
21、点为，轴，由条件可知，所以，由焦半径公式可知，即，所以代入抛物线方程，解得：或.故选：D5（2022广东惠州一模）若抛物线（）上一点P（2，）到其焦点的距离为4，则抛物线的标准方程为（）Ay2=2xBy2=4xCy2=6xDy2=8x【答案】D【分析】由抛物线的定义可解答.【详解】抛物线上一点到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4，解得，抛物线的标准方程为.故选：D.二、多选题6（2022河北秦皇岛二模）过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与的另外两个交点分别为，则（）A的准线方程是B过的焦点的最短弦长为8C直线过定点D当点到直线的距离最大时，直线的方程为【答案】AD【分析】由点在抛物线上求得
22、为，结合抛物线的性质判断A、B；设为并联立抛物线，结合及韦达定理、向量垂直的坐标表示列方程求出m、n的数量关系，代入直线方程即可判断C；由C分析所得的定点P，要使到直线的距离最大有，即可写出直线的方程判断D.【详解】将代入中得：，则为，所以的准线方程是，故A正确；当过的焦点且与轴垂直时弦长最短，此时弦长为16，故B不正确；设，直线为，联立抛物线得：，所以，又，所以.因为，即，所以，整理得，故，得，所以直线为，所以直线过定点，故C不正确.当时到直线的距离最大，此时直线为，故D正确.故选：AD7（2022江苏江苏二模）已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法
23、正确的是（）A若为线段中点，则B若，则C存在直线，使得D面积的最小值为2【答案】AD【分析】对于A，求出点的横坐标，再根据抛物线的定义求出，即可判断；对于B，根据抛物线的定义求出点的横坐标，再求出，即可判断，对于C，则，判断是否有解，即可判断；对于D，根据，结合基本不等式即可判断.【详解】解：抛物线的准线为，焦点，若为中点，所以，所以，故A正确；若，则，所以，故B错误；设，则，所以，所以，所以与不垂直，故C错误；，当且仅当，即时，取等号，所以面积的最小值为2，故D正确.故选：AD.8（2022广东一模）已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，（且）满足，则下列结论中正确的是（）A时，B时，
24、的最小值为9C时，D时，的最小值为8【答案】BC【分析】以为抛物线通径，求得的值，判断A; 当时,写出焦半径的表达式，利用换元法，结合利用导数求函数最值，可判断B; 当时,求出的表达式，利用三角函数的知识，可判断C,D.【详解】当时，此时不妨取 过焦点垂直于x轴，不妨取 ，则，故A错误；当时，此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设,则 ，则 ，故 ，令 ，则，令 ，则，当时， ， 递增，当时， ， 递减，故 ，故当 ，即 时，取到最小值9，故B正确；当时，此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设,则，即，故，所以，故C正确；由C的分析可知：，当 时，取到最小值16，即最小值为16，故D错误；故选：B
25、C【点睛】本题考查了抛物线的焦半径公式的应用，综合性较强，涉及到抛物线的焦半径的应用，以利用导数求最值，和三角函数的相关知识，难度较大.9（2022湖南常德一模）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则（）A焦点的坐标为B过点恰有2条直线与抛物线有且只有一个公共点C直线与抛物线相交所得弦长为8D抛物线与圆交于两点，则【答案】ACD【分析】先求出抛物线方程，对选项逐一判断即可.【详解】由题可知抛物线方程为对于A，焦点的坐标为，故A正确对于B，过点有抛物线的2条切线，还有，共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B错误对于C，弦长为，故C正确对于D，解得（舍去），交点为，有，故D正确故选：ACD10（2
26、022广东肇庆模拟预测）已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（）A点M到直线l的距离为定值B以为直径的圆与l相切C的最小值为32D当最小时，【答案】BCD【分析】设直线方程，并联立抛物线方程，利用根与系数的关系式，求得点M的横坐标，结合抛物线定义，可判断A;利用抛物线定义推得,由此判断B;计算出弦长，可得的表达式，利用基本不等式求得其最小值，判断C;求出的表达式，采用换元法，利用二次函数的单调性求得其最小值，判断D.【详解】设， ，直线的方程为，则直线的方程为,将直线的方程代入，
27、化简整理得，则，故,所以，,因为点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，点M到直线l的距离，又，所以，故A错误；因为，所以以为直径的圆的圆心M到l的距离为，即以为直径的圆与l相切，故B正确；同理，所以，则，当且仅当时等号成立，故C正确；.设，则，.当时，即时，最小，这时，故D正确,故选:BCD.【点睛】本题考查了抛物线的焦点弦的性质，具有较强的综合性，要求学生有较好的计算能力和思维能力，解答时要注意直线方程的设法，以及联立后结合根与系数的关系式的化简，涉及到焦半径以及弦长和距离的计算，比较繁杂，要细心运算.11（2022重庆模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点，都在
28、抛物线上，且，则下列结论正确的是（）A抛物线方程为BF是的重心CD【答案】BCD【分析】把点代入可得抛物线的方程，结合向量运算可得是的重心，利用抛物线的定义可得，利用三角形面积公式及，可得.【详解】对于A，由在抛物线上可得，即抛物线方程为，错误；对于B，分别取的中点，则，即在中线上，同理可得也在中线上，所以是的重心，正确；对于C，由抛物线的定义可得，所以.由是的重心，所以，即，所以，正确；对于D，；同理,，所以，正确.故选：BCD.三、填空题12（2022北京丰台二模）已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为_【答案】【分析】根据抛物线的方程求出的值，进一步得出答案.【详解】因为抛物线，所以，所
29、以的准线方程为.故答案为：13（2022福建模拟预测）已知抛物线与抛物线在第一象限内的交点为，若点在圆上，且直线与圆相切，则_.【答案】【分析】由于点在圆上，所以可得，而点也在两抛物线上，代入抛物线方程可得，当与圆相切时，可得，然后前面的几个式子结合可求得答案【详解】因为，所以，因为，所以，当与圆相切时，所以，所以，所以.故答案为：14（2022重庆八中模拟预测）若抛物线上的点到焦点的距离是点A到y轴距离的2倍，则_.【答案】2【分析】直接利用抛物线的焦半径公式解方程组即可求解.【详解】抛物线的准线方程为.由抛物续的性质可得，所以.而在抛物线上,即.由可得:p=2.故答案为:2四、解答题15（
30、2022山东济宁二模）已知抛物线E：的焦点为F，点在抛物线E上，且的面积为（O为坐标原点）.(1)求抛物线E的方程；(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于AB两点，过AB分别作垂直于l的直线ACBD，分别交抛物线于CD两点，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据面积及抛物线上的点可求解；（2）利用直线与抛物线的位置关系分别求得、，再通过导数求最值即可.(1)由题意可得解得p=2.故抛物线E的方程为.(2)由题意直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为，设，由消去x得.所以，.由AC垂直于l，直线AC的方程为由消去x得.所以，.同理可得，所以，令，则，所以当时，单调递减；当时，单
31、调递增.所以当x=2时，取得最小值，即当时，最小值为.16（2022湖北武汉二模）已知抛物线，点为上一点，且到的准线的距离等于其到坐标原点的距离.(1)求的方程；(2)设为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长交于两点，求四边形面积的最小值.【答案】(1)(2)16【分析】（1）根据抛物线的定义可知，即可列式求；（2）首先设直线的方程为：，分别与圆的方程和抛物线方程联立，求点的坐标，利用弦长公式求，再利用，求，最后表示四边形的面积，再通过换元，利用导数求函数的最值.(1)设抛物线焦点，由题意，故，解得：.故抛物线的标准方程为.(2)由题意，直线斜率存在且不为0，设直线的方程为：，设点，联立得：，由
32、，得，联立得：，由，得因为，用代替，得.故四边形面积.令.设函数，故单调递增.故当，即时，取到最小值16，所以四边形面积的最小值是16.17（2022辽宁建平县实验中学模拟预测）已知点在抛物线上.(1)求抛物线的方程；(2)过点作斜率分别为的两条直线，若与抛物线的另一个交点分别为，且有，探究：直线是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，说明理由.【答案】(1)(2)直线恒过定点【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程即可构造方程求得结果；（2）设，利用斜率公式表示出，得到；设，与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，由此可得，可得，由此可得定点坐标.(1)在抛物线上，解得：，抛物线的方程为：.(2)由（
33、1）得：；设，则；同理可得：；，整理可得：；当直线斜率为时，其与抛物线只有一个公共点，不合题意；当直线斜率不为时，设，由得：，则，解得：；，则直线过定点；综上所述：直线恒过定点.【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；根据直线过定点的求解方法可求得结果.18（2021山西运城模拟预测（理）已知P(1，2)在抛物线C：y22px上(1)求抛
34、物线C的方程；(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点【答案】(1)y24x(2)证明见解析【分析】(1)把已知点坐标代入抛物线方程求得参数，即得抛物线方程；(2)设AB：xmy+t，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得，代入得参数值，从而可得定点坐标(1)P点坐标代入抛物线方程得42p，p2，抛物线方程为y24x(2)证明：设AB：xmy+t，将AB的方程与y24x联立得y24my4t0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y24m，y1y24t，所以016m2+16t0m2+t0，同理：，由题意：，4(y1+y2+4)2(y1y2+2y1+2y2+4)，y1y24，4t4，t1，故直线AB恒过定点(1，0)