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1、第6节利用导数研究函数零点选题明细表 知识点、方法题号利用导数研究函数零点个数1,4根据零点求参数2,3函数零点的综合应用5,61.(2022广东汕头三模)已知函数f(x)=x-2sin x.(1)求f(x)在(0,)上的极值;(2)证明:函数g(x)=ln x-f(x)在(0,)上有且只有两个零点.(1)解:由f(x)=x-2sin x得f(x)=1-2cos x,x(0,).令f(x)=0,得x=3,当0x3时,f(x)0,此时函数f(x)单调递减,当3x0,此时函数f(x)单调递增,所以函数f(x)的极小值为f(3)=3-3,无极大值.(2)证明:g(x)=ln x-f(x)=ln x-
2、x+2sin x,x(0,),则g(x)=1x-1+2cos x,令(x)=1x+2cos x-1,则(x)=-1x2-2sin x.当x(0,)时,(x)=-1x2-2sin x0,(2)=2-10,g()=ln -ln e2-=2-g(3)0,又g(6)=ln6-6+1,令h(x)=ln x-x+1,其中0x0,所以函数h(x)在(0,1)上单调递增,则h(x)h(1)=0,所以h(6)=ln 6-6+10,由零点存在定理可知,函数g(x)在(0,)上有两个零点.2.已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax+2x-5.(1)证明:f(x)x;(2)若函数f(x)的图象与g(x)的图象有两
3、个不同的公共点,求实数a的取值范围.(1)证明:要证f(x)x,即证当x(0,+)时,不等式ln x-x0恒成立.令F(x)=ln x-x,则F(x)=1x-12x=2-x2x,故当0x0,F(x)单调递增;当x4时,F(x)0,F(x)单调递减,则F(x)max=F(4)=ln 4-20,故f(x)0,则h(x)=1xx-(5+lnx)x2+4x3=4-4x-xlnxx3,当0x0,ln x0,此时函数h(x)单调递增,当x1时,4-4x0,则h(x)1时,(x)5x-20,当0x25时,(x)5x-20,故存在x0(25,1),使得(x0)=0,即h(x0)=0,作出函数h(x)与y=a的
4、图象如图所示,由图可知,当0a0,且a1,函数f(x)=xaax(x0).(1)当a=2时,求f(x)的单调区间;(2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围.解:(1)当a=2时,f(x)=x22x(x0),f(x)=x(2-xln2)2x(x0),令f(x)0,则0x2ln2,此时函数f(x)单调递增,令f(x)2ln2,此时函数f(x)单调递减.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2ln2),单调递减区间为(2ln2,+).(2)曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,可转化为方程xaax=1(x0)有两个不同的解,即方程lnxx=lnaa有两个不同的解.
5、设g(x)=lnxx(x0),则g(x)=1-lnxx2(x0),令g(x)=1-lnxx2=0,得x=e,当0x0,函数g(x)单调递增,当xe时,g(x)e时,g(x)(0,1e),又g(1)=0,所以0lnaa1且ae,即a的取值范围为(1,e)(e,+).4.设函数f(x)=ln x+mx,mR.(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;(2)讨论函数g(x)=f(x)-x3零点的个数.解:(1)由题意知,当m=e时,f(x)=ln x+ex(x0),则f(x)=x-ex2,所以当x(0,e)时,f(x)0,f(x)单调递增,所以当x=e时,f(x)取得极小值f(e)
6、=ln e+ee=2,所以f(x)的极小值为2.(2)由题意知g(x)=f(x)-x3=1x-mx2-x3(x0),令g(x)=0,得m=-13x3+x(x0).设(x)=-13x3+x(x0),则(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1).当x(0,1)时,(x)0,(x)在(0,1)上单调递增;当x(1,+)时,(x)23时,函数g(x)无零点;当m=23时,函数g(x)在(0,+)上有且只有一个零点;当0m23时,函数g(x)无零点;当m=23或m0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0m0).(1)若a=e,讨论f(x)的单调性;(2)若x1,x2是函数f(x)的两个不同的零点,证明:
7、1x1+x20)的定义域为(0,+),f(x)=ex-ax,当a=e时,f(x)=ex-ex,令f(x)=0,则x=1,当0x1时,f(x)1时,f(x)0,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.(2)证明:因为x1,x2是函数f(x)的两个不同的零点,所以ex1=2ax1,ex2=2ax2,显然x10,x20,则有x1=ln 2+ln a+12ln x1,x2=ln 2+ln a+12ln x2,所以x1-x2=12ln x1-12ln x2,不妨令x1x20,设t=x1x21,所以x1=tlnt2(t-1),x2=lnt2(t-1),所以要证x1+x2=(t+1)ln
8、t2(t-1)1,只要证ln t2(t-1)t+1,即ln t-2(t-1)t+10,令g(t)=ln t-2(t-1)t+1(t1),则g(t)=1t-4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)20,所以g(t)在(1,+)上单调递增,所以g(t)g(1)=0,所以x1+x21.因为x1=ln 2+ln a+12ln x1,x2=ln 2+ln a+12ln x2,所以x1+x2=2ln 2+2ln a+12ln(x1x2).要证x1+x22ln a+ln 2,只要证12ln(x1x2)-ln 2,即x1x214,因为x1x2=t(lnt)24(t-1)2,所以只要证t(lnt)24(t-1)
9、214,即ln tt-1t,即ln t-t+1t1,则h(t)=1t-12t-12tt=-(t-1)22tt0,所以h(t)在(1,+)上单调递减,所以h(t)h(1)=0,所以x1+x22ln a+ln 2.综上,1x1+x20时,若函数f(x)有唯一零点x0,证明:1x00,所以f(x)在(0,+)上单调递增,易知f(2)=e-12-e+12=0,所以当0x2时,f(x)2时,f(x)0,所以函数f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增.(2)证明:因为a0,f(x)的定义域为(0,+),所以f(x)=ex-1-1x-a,所以f(x)=ex-1+1x20,所以f(x)在(0,
10、+)上单调递增.设h(x)=ex-x-1,则h(x)=ex-1,当x0时,h(x)0,所以h(x)单调递增,当x0时,h(x)0,又f(1)=-a0,所以存在唯一的t0(1,1+a),使得f(t0)=0,即et0-1-1t0-a=0,当x(0,t0)时,f(x)0,f(x)单调递增,所以f(x)min=f(t0),又exx+1,所以xln(x+1),所以x-1ln x,当x=1时,等号成立,则xln x,所以f(x)=ex-1-ln x-axex-1-x-ax=ex-1-(a+1)x,即f(x)ex-1-(a+1)x,又exx+1,所以ex-1x,所以ex2-1x2,所以ex-2x24,又ex-1ex-2,所以ex-1x24,所以f(x)ex-1-(a+1)xx24-(a+1)x,即f(x)x24-(a+1)x,所以f4(a+1)16(a+1)24-(a+1)4(a+1)=0,当x0时,f(x)0,若函数f(x)有唯一零点x0,则f(t0)=0,所以x0=t0,即ex0-1=1x0+a,所以f(x0)=1x0+a-ln x0-ax0=0,设u(x)=1x+a-ln x-ax,所以u(x)=-1x2-1x-a0,u(2)=12-ln 2-a0,所以1x02.