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1、第5节利用导数证明不等式选题明细表 知识点、方法题号构造函数证明不等式1,5转化为两个函数的最值证明不等式2,3适当放缩证明不等式4,61.(2022乌鲁木齐模拟)已知f(x)=ln x-x,f(x)为f(x)的导函数,g(x)=eex.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:当x1时,g(x)1x;(3)求证:当x1时,f(x)f(x)+g(x)-2x成立.(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1x-1=1-xx,令f(x)0,解得0x1,令f(x)1,所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+).(2)证明:g(x)-1x=eex-1x=ex-exxex
2、,令h(x)=ex-ex,x1,则h(x)=e-ex,当x1时,h(x)0,则h(x)在1,+)上单调递减,所以h(x)h(1)=0,即ex-ex0,则g(x)1x,原不等式得证.(3)证明:令t(x)=f(x)+g(x)-f(x)-2x=eex-ln x+x-1x-1,x1,则t(x)=-eex-1x+1x2+1,x1,当x1时,exex,则t(x)(1x-1)20,所以t(x)在1,+)上单调递增,则t(x)t(1)=0,原不等式得证.2.设函数f(x)=aex+x.(1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线与直线x-y=0垂直,求a的值;(2)当a1时,证明:f(x)3-1lna
3、.(1)解:函数f(x)=aex+x的定义域为R,f(x)=-aex+1.因为曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线与直线x-y=0垂直,所以f(0)=-ae0+1=-1,解得a=2.(2)证明:f(x)=-aex+1=1ex(ex-a).当a1时,令f(x)0,可得xln a;令f(x)0,可得x1时,有ln a0.因为1+ln a-(3-1lna)=ln a+1lna-22lna1lna-2=0(当且仅当ln a=1lna,即a=e时,“=”成立),所以1+ln a3-1lna,即f(x)3-1lna.3.(2023湖北武汉模拟)已知函数f(x)=aln x+x.(1)讨论f(x)的单
4、调性;(2)当a=1时,证明:xf(x)0,所以f(x)在(0,+)上单调递增.当a0;若x(0,-a),则f(x)0,所以f(x)在(-a,+)上单调递增,在(0,-a)上单调递减.综上所述,当a0时,f(x)在(0,+)上单调递增;当a0时,f(x)在(-a,+)上单调递增,在(0,-a)上单调递减.(2)证明:当a=1时,要证xf(x)ex,即证x2+xln xex,即证1+lnxx0,得x(0,e);令g(x)0,得x(e,+).所以g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,所以g(x)max=g(e)=1+1e,令函数h(x)=exx2,则h(x)=ex(x-2)x3.
5、当x(0,2)时,h(x)0,所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,所以h(x)min=h(2)=e24.因为e24-(1+1e)0,所以h(x)ming(x)max,即1+lnxxexx2,从而xf(x)1时,2ex-1lnxx2+1x2-x.(1)解:f(x)的定义域为(0,+),当a=1时,f(x)=2x-1-1x=(x-1)(2x+1)x,因为x0,所以2x+10,所以当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.(2)证明:由(1)知,当a=1,x1时,恒有f(x)f(1),即x2-xln x,所
6、以当x1时,0ln x x2+1x2-x,只需证ex-112(x2+1),令g(x)=ex-1-12(x2+1),则g(x)=ex-1-x,g(x)=ex-1-1,g(1)=0,g(1)=0,因为g(x)=ex-1-1在(1,+)上单调递增,所以g(x)g(1)=0,则g(x)在(1,+)上单调递增,所以g(x)g(1)=0,则g(x)在(1,+)上单调递增,所以当x1时,g(x)g(1)=0,即ex-112(x2+1)成立,故2ex-1lnxx2+1x2-x成立.5.已知f(x)=e-2x+2x+aln(x+1).(1)若f(x)的图象在x=0处的切线过点P(-1,0),求a的值;(2)若x
7、0,-2a(x+1)a.(1)解:f(x)=-2e-2x+2+ax+1,f(0)=1+0+0=1,所以f(x)在x=0处的切线的斜率为f(0)=-2+2+a=a,所以设x=0处的切线方程为y=ax+b,则有1=0a+b,0=-1a+b,解得a=1,b=1,所以a的值为1.(2)证明:要证f(x)(x+1)a,即证e-2x+2x+aln(x+1)(x+1)a,即e-2x+2x+aln(x+1)-(x+1)a0,设g(x)=e-2x+2x+aln(x+1)-(x+1)a,则g(x)=-2e-2x+2+ax+1-a(x+1)a-1,当x0,-2a0,则g(x)0,即g(x)单调递增,因为g(0)=1
8、-1=0,所以当x0,-2ag(0)=0,即e-2x+2x+aln(x+1)-(x+1)a0,所以e-2x+2x+aln(x+1)(x+1)a,所以f(x)(x+1)a得证.6.已知函数f(x)=axex-(x+1)2(aR,e为自然对数的底数).(1)若f(x)在x=0处的切线与直线y=ax垂直,求a的值;(2)讨论函数f(x)的单调性;(3)当a1e2时,求证:f(x)ln x-x2-x-2.(1)解:f(x)=(x+1)(aex-2),由题意得f(0)=a-2=-1a,解得a=1.(2)解:f(x)=(x+1)(aex-2),当a0时,aex-2-1时,f(x)0,函数单调递减,当x0,
9、函数单调递增.当a0时,由aex-2=0得x=ln2a,若0a-1,易得,当xln2a时,f(x)0,函数单调递增,当-1xln2a时,f(x)2e时,ln2a-1或x0,函数单调递增,当ln2ax-1时,f(x)0,函数单调递减.综上,当a0时,函数在(-,-1)上单调递增,在(-1,+)上单调递减;当0a2e时,函数在(-,ln2a)上单调递增,在(ln2a,-1)上单调递减,在(-1,+)上单调递增.(3)证明:f(x)ln x-x2-x-2即为axex-ln x-x+10,因为a1e2,即ae21,所以axex-ln x-x+1xex-2-ln x-x+1(x0),令g(x)=xex-2-ln x-x+1=eln x+x-2-(ln x+x-2)-1(x0),令t=ln x+x-2,x0,则h(t)=et-t-1,h(t)=et-1,当t0时,h(t)0,h(t)单调递增,当t0时,h(t)0,h(t)单调递减,所以h(t)h(0)=0,即g(x)0,所以f(x)ln x-x2-x-2.