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1、9.4抛物线及其性质基础篇考点一抛物线的定义及标准方程1.(2022重庆市涪陵高级中学质检,3)抛物线y=4x2上的A点到焦点F的距离为1716,则点A的纵坐标为()A.1B.1716C.116D.916答案A2.(2022广州花都调研,3)已知抛物线x2=ay的焦点为F,且M(2,1)为抛物线上的点,则|MF|=()A.1B.2C.3D.4答案B3.(2022全国乙,理5,文6,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=()A.2B.22C.3D.32答案B4.(2019课标,文9,理8,5分)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭
2、圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8答案D5.(2022河北邯郸二模,4)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点A在C上,点B满足OB=5OF(O为坐标原点),且线段AB的中垂线经过点F,则|AB|AF|=()A.32B.1C.2D.3答案B6.(2021石家庄3月质检,7)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,MF的延长线交y轴于点N.若MF=2FN,则|MF|为()A.8B.6C.4D.2答案A7.(2020课标理,4,5分)已知A为抛物线C:y2=2px(p0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()A.2B.
3、3C.6D.9答案C8.(2021北京,12,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点N.若|MF|=6,则点M的横坐标为;MNF的面积为.答案545考点二抛物线的几何性质1.(2023届辽宁鞍山质量监测,4)抛物线y=43x2的焦点坐标为()A.0,13B.13,0C.0,316D.0,23答案C2.(2022广东茂名测试,2)抛物线x=43y2的焦点坐标为()A.13,0B.0,13C.316,0D.0,23答案C3.(2021山东枣庄二模,4)已知点(1,1)在抛物线C:y2=2px(p0)上,则C的焦点到其准线的距离为()A.14B.12C.1D.2答案B
4、4.(2020课标,文7,理5,5分)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p0)交于D,E两点,若ODOE,则C的焦点坐标为()A.14,0B.12,0C.(1,0)D.(2,0)答案B5.(2021辽宁朝阳一模,8)抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过F与x轴垂直的直线交C于点M,N,有下列四个命题:甲:点F的坐标为(1,0);乙:抛物线C的准线方程为x=-2;丙:线段MN的长为4;丁:直线y=x+1与抛物线C相切.如果只有一个命题是假命题,则该命题是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案B6.(2021新高考,14,5分)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p0)的
5、焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQOP.若|FQ|=6,则C的准线方程为.答案x=-32考点三直线与抛物线的位置关系1.(2023届海南琼海嘉积中学月考,6)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A为抛物线C上一点,直线AF交抛物线C的准线l于点B,且FA+2FB=0,则|AF|=()A.103B.4C.112D.6答案D2.(2022广东深圳三中检测,7)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,延长FB交准线于点C,若|BC|=2|BF|,则|BF|AF|=()A.14B.13C.12D.23答案B3.(多选)(2023届浙江嘉兴一中期中
6、,10)直线l与抛物线y2=2x相交于A(x1,y1),B(x2,y2),若OAOB,则()A.直线l的斜率为定值B.直线l过定点C.OAB面积的最小值为4D.y1y2=-4答案BCD4.(多选)(2023届湖湘名校教育联合体大联考,11)已知抛物线C:y2=2px(p0),直线l与抛物线C交于A,B两点,且A(x1,y1),B(x2,y2),O为坐标原点,且OAOB,若直线l恒过点(4,0),则下列说法正确的是()A.抛物线方程为y2=4xB.x1x2=16,y1y2=-16C.OAB面积的最小值为32D.弦AB中点的轨迹为一条抛物线答案ABD5.(多选)(2022山东师大附中开学考试,11
7、)过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,M为线段AB的中点,则下列结论正确的是()A.以线段AB为直径的圆与直线x=-12相交B.以线段BM为直径的圆与y轴相切C.当AF=2FB时,|AB|=92D.|AB|的最小值为4答案ACD6.(2021济南二模,7)已知抛物线x2=2py(p0),过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点(点A在第一象限).若直线AB的斜率为33,点A的纵坐标为32,则p的值为()A.14B.12C.1D.2答案C7.(2019课标理,19,12分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+
8、|BF|=4,求l的方程;(2)若AP=3PB,求|AB|.解析设直线l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F34,0,故|AF|+|BF|=x1+x2+32,由题设可得x1+x2=52.由y=32x+t,y2=3x可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-12(t-1)9.从而-12(t-1)9=52,得t=-78.所以l的方程为y=32x-78.(2)由AP=3PB可得y1=-3y2.由y=32x+t,y2=3x可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=13.故
9、|AB|=4133.综合篇考法一利用抛物线的定义解题1.(2023届山西长治质量检测,4)抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标为()A.1716B.1516C.78D.0答案B2.(2022福建莆田华侨中学月考,4)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P为抛物线C上一点,点A(2,2),则|PA|+|PF|的最小值为()A.5B.2C.10D.3答案D3.(2022辽宁辽阳模拟,14)已知P为抛物线y2=4x上的一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上的一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是.答案17-1考法二直线与抛物线的位置关系问题1.
10、(2023届广东六校联考一,3)直线y=x-1过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F,且与C交于A、B两点,则|AB|=()A.6B.8C.2D.4答案B2.(2023届河南安阳调研,11)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点A,B在C上(A在第四象限,B在第一象限),满足AFBF,且2|AF|=|BF|,则直线AB的斜率为()A.2B.3C.2D.1答案A3.(2022湖北部分学校质检,6)已知抛物线y2=4x,直线l与抛物线交于A,B两点,若线段AB中点的纵坐标为2,则直线AB的斜率为()A.2B.3C.33D.1答案D4.(多选)(2022新高考,11,5分)已知O为坐标原
11、点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则()A.C的准线为y=-1B.直线AB与C相切C.|OP|OQ|OA|2D.|BP|BQ|BA|2答案BCD5.(多选)(2022新高考,10,5分)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则()A.直线AB的斜率为26B.|OB|=|OF|C.|AB|4|OF|D.OAM+OBM4|OF|成立,故C正确.对于D,因为OA=34p,62p,OB=p3,-63p,MA=-p4,62p,MB=-23p,-
12、63p,所以OAOB=p24-p2=-34p20,MAMB=p26-p2=-56p2180.所以在四边形OAMB中,OAM+OBM0),过其准线上的点T(1,-1)作C的两条切线,切点分别为A、B,下列说法正确的是()A.p=1B.TATBC.直线AB的斜率为12D.线段AB中点的横坐标为1答案BCD7.(2023届重庆南开中学月考,14)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,A为抛物线上第一象限内一点,直线AF与y轴交于点B,且AF=FB,则直线AB的斜率为.答案228.(2020新高考,13,5分)斜率为3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|=.答案16
13、39.(2022全国甲,理20,文21,12分)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3.(1)求C的方程;(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为,.当-取得最大值时,求直线AB的方程.解析(1)当直线MD垂直于x轴时,|MF|=p+p2=3,p=2,C的方程为y2=4x.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),易知直线MN不可能与x轴重合,设直线MN的方程为x=ny+1,与y2=4x联立,得y2-4ny-4=0,y1+y2=4
14、n,y1y2=-4,且tan =kMN=1n,易知直线MA不可能与x轴重合,设直线MA的方程为x=my+2,与y2=4x联立,得y2-4my-8=0,y1y3=-8,即y3=-8y1,同理y4=-8y2,tan =kAB=y4-y3x4-x3=y4-y3y424-y324=4y3+y4=4-81y1+1y2=y1y2-2(y1+y2)=12n,tan(-)=tan-tan1+tantan=1n-12n1+1n12n=12n+1n24,当且仅当n=22时,等号成立,此时kAB=22.不妨设M位于第一象限,由y1+y2=22,y1y2=-4,解得y1=6+2,则y3=2(2-6),则A(8-43,
15、2(2-6),又kAB=22,直线AB的方程为y+2(6-2)=22x-(8-43),整理得y=22x-22.10.(2021全国乙文,20,12分)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程;(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值.解析(1)抛物线y2=2px(p0)的焦点F到准线的距离为2,p=2.抛物线C的方程为y2=4x.(2)由已知不妨设点P(4x02,4x0),Q(x1,y1),则PQ=(x1-4x02,y1-4x0),F(1,0),QF=(1-x1,-y1),PQ=9QF,x1-4x02=9(1-x1),y1-4x0=9(-y1),整理得x1=110(9+4x02),y1=410x0,kOQ=y1x1=4x09+4x02,当kOQ最大时,x00,kOQ=49x0+4x04236=13,当且仅当4x0=9x0时取“=”,此时x0=32,点P的坐标为(9,6),因此kOQ的最大值为13.