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1、第17讲 利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题一般地，若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需若，使成立，则只需；若，使成立，则只需由此构造不等式，求解参数的取值范围1（山西柳林高二期中（理）已知函数.（1）当时，恒成立，求的取值范围；（2）若为负实数，求函数的单调性.【答案】（1）；（2）答案见解析.【详解】解：（1）当时，的定义域为，则，由得，1-0+减函数极小值0增函数恒成立，所以.（2）的定义域为，即时，由得：或，由得：.所以在，上递增，在上递减；，即时，所以在上递增；，即时，由得：或，由得：.所以在，上递增，在上递减，综上可知：当时，在，上递增，在上递减；当时，在上递增；当时，在，
2、上递增，在上递减.2（广东东莞高二期末）已知函数.（1）求函数的极值；（2）若对任意的都有成立，求的取值范围.【答案】（1）极大值，极小值；（2）.【详解】（1）因为，所以，.令，解得或，当，即或；当，即，.故的单调递增区间为和，单调递减区间为，.所以，时，有极大值，.当时，有极小值.（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，.又，.所以时，.因为对任意的都有成立，所以.3（江苏秦淮南京一中高二期中）已知函数.（1）求函数的单调区间与极值；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，；的极大值为，极小值；（2）【详解】解：（1）因为所以，令，解得：或
3、，令，解得：，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；故的极大值为，极小值；（2）由（1）知在，上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增，又， ，对，恒成立，即，4（重庆市南坪中学校）设函数，（1）当时，求曲线在点处切线方程；（2）如果函数的图象恒在直线的上方，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【详解】（1）当时，则，又，所求切线方程为，即；（2）依题意，恒成立，即，设，则.当时，因此在上单调递减，而，所以不成恒成立，不能满足题意； 时，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，函数在处取得最小值，即，而，解得5（全国高二专题练习）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，
4、均有不等式成立，求的最大值【答案】（1）；（2）【详解】（1），又，所求切线方程为，即（2）当时，即恒成立，设，当时，递减；当时，递增，的最大值为6（全国高三专题练习）已知函数(为实数).（1）若，求的最小值；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）当时，.由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增，则函数的最小值为.（2）由题得，若恒成立，则，即恒成立.令，则，当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以，故的取值范围为.7（安徽安庆高三月考（文）已知函数（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（2）若在区间，内至少存在一个实数，使得成立，求实数的取
5、值范围【答案】（1）；（2）【详解】解：（1）时，曲线在点，（1）处的切线斜率:（1），故曲线在点，（1）处的切线方程为：，所求切线方程为：；（2），当即时，在，上为单调增函数，此时，（1），解得：，与矛盾，不符合题意，当即时，的变化如下：，0递减极小值递增此时，解得：，与矛盾，不符合题意，当即时，在，上为单调减函数，解得：，又，综上：实数的取值范围是8（河北邢台高二月考）已知函数，（1）求的单调区间；（2）若，求的取值范围【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）.【详解】（1）在和上，单调递增在上，单调递减综上，的单调递增区间为和，单调递减区间为（2）由（1）可知，在和上单调
6、递增，在上单调递减又，所以在上，又所以在上，即因为，所以解得故的取值范围是9（安徽高二月考（理）已知函数（1）若函数与有公共点，求的取值范围；（2）若不等式恒成立，求整数的最小值.【答案】（1）；（2）最小值为.【详解】解：（1）令，即，则，函数与有公共点，即有解.令，则.令，当时，所以，当时，所以所以在上单调递增，在上单调递减，所以且当时，所以.（2）不等式恒成立,即恒成立.则时，成立，解得，由题意求满足条件的整数最小值,下面验证是否满足题意.当时，令，且在上单调递增.又，可知存在唯一的正数，使得，即，则在上单调递减，在上单调递增.所以，即当时，不等式成立.故整数的最小值为10（江西南昌（文）已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）在单调递增，在单调递减；（2）【详解】（1）又时，或时，在单调递增，在单调递减.（2）存在使成立，由（1）可得，当时，即，令，在单调递增，在单调递减，恒成立，即当时，不等式恒成立；(另解：当时，在单调递减，单调递增，.)当时，在单调递增，综合得