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1、重难点01七种零点问题（核心考点讲与练）方法技巧1.转化思想在函数零点问题中的应用成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.2.判断函数零点个数的常用方法(1)通过解方程来判断.(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.(3)将函数yf(x)g(x)的零点个数转化为函数yf(x)与yg(x)图象公共点的个数来判断.3.正弦型函数的零点个数问题，可先求出零点的
2、一般形式，再根据零点的分布得到关于整数的不等式组，从而可求相应的参数的取值范围.4.涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.5.函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点6.对于复合函数
3、的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数和外层函数；（2）确定外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、，则函数的零点个数为.能力拓展题型一：零点存在定理法判断函数零点所在区间 一、单选题1（2022河南河南三模（理）若实数，满足，则（）ABCD【答案】A【分析】结合对数函数、函数零点存在性定理等知识求得正确答案.【详解】，对于函数，在上递增，所以存在唯一零点，使，所以对于，有，所以.故选：A2（2022黑龙江双鸭山一中高三期末（理）函数的零点所在的区间为（）ABCD【答案】B【分析】根据零点存在定理，先判断函数的单调性，再计算函数在端点处的函数值，即可得到答案.【
4、详解】 ,由对数函数和幂函数的性质可知，函数在时为单调增函数， ， ，因为在内是递增，故 ，函数是连续函数，由零点判断定理知，的零点在区间内，故选：B3（2022北京密云高三期末）心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中A表示需要记忆的量，表示记忆率假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在5min内该学生记忆20个单词则记忆率所在区间为（）ABCD【答案】A【分析】先根据题意解方程，解出，在和端点值比较大小，由函数单调性和函数连续得到结果.【详解】将代入，解得：，其中单调递减，而，而在上单调递减，所以，结合单调性可知，即，而，其中为连续函数，故记忆率所在区间为.故选：A4（
5、2022河南焦作一模（理）设函数的零点为，则（）ABCD【答案】B【分析】根据零点存在性定理进行求解.【详解】易知在R上单调递增且连续由于，当时，所以故选：B5（2021江苏泰州中学高三阶段练习）已知，函数的零点为，的极小值点为，则（）ABCD【答案】A【分析】求出的值，利用零点存在定理得出，然后比较、的大小关系，结合函数的单调性可得出结论.【详解】因为的定义域为，则函数在其定义域上为增函数，则，则，因为，由零点存在定理可知，由可得，.当或时，；当时，.所以，.因为，所以，故.故选：A.6（2022安徽安庆一中高三期末（理）函数的零点所在的区间为（）ABCD【答案】B【分析】依据函数零点存在定
6、理去判断的零点所在的区间即可.【详解】为上的递增函数，则函数的零点所在的区间为故选：B二、多选题7（2022湖北荆州中学高三开学考试）函数在区间的最小值为，且在区间唯一的极大值点则下列说法正确的有（）ABCD【答案】ACD【分析】由题可得，由可知，进而可求，然后再证明即得；再利用数形结合可得在上存在唯一的零点，利用零点存在定理及三角函数的性质即得.【详解】，又函数在区间的最小值为，函数在区间上不单调，又，时，函数在区间上取得最小值，可得原条件的一个必要条件，即，下面证明充分性：当时，令，则，函数在上单调递增，又，函数在上存在唯一的零点，且在上，在上，函数在区间的最小值为，综上，故A正确；， 令
7、，得，由函数图象可知在区间上只有一个交点，即存在唯一，使得，又，故，且当时，当时，在区间上，唯一的极大值点，.故CD正确.故选：ACD.8（2022全国高三专题练习）设函数的定义域为R，如果存在常数，对于任意，都有，则称函数是“类周期函数”，T为函数的“类周期”现有下面四个命题，正确的是（）A函数是“类周期函数”B函数是“类周期函数”C如果函数是“类周期函数”，那么“，”D如果“类周期函数”的“类周期”为，那么它是周期为2的周期函数【答案】ACD【分析】根据类周期函数的定义，分别进行判断即可【详解】解：对于A，若函数是“类周期函数”，则存在非零常数，使，即，即，即，令，因为，且函数在上连续，所
8、以函数在上存在零点，即方程在上有解，即存在常数，对于任意，都有，所以函数是“类周期函数”，故A正确；对于B，若函数是“类周期函数”，则存在非零常数，使，即，则，即对任意的恒成立，则，矛盾，所以不存在常数，对于任意，都有，所以函数不是“类周期函数”，故B错误.对于C，若函数是“类周期函数”，则存在非零常数，使，即；故或，当时，由诱导公式得，；当时，由诱导公式得，；故“，”，故C正确；对于D，如果“类周期函数”的“类周期”为，则，即；故它是周期为2的周期函数；故D正确.故选：ACD.9（2021江西模拟预测）已知实数，设方程的两个实数根分别为，则下列结论正确的是（）A不等式的解集为B不等式的解集可
9、能为空集CD【答案】AD【分析】构造二次函数，分析函数的图象特征即可判断作答.【详解】令，因，则函数的图象对称轴，且在上递减，在上递增，又，于是得函数有两个零点，且满足，不等式的解集为，所以A正确，B不正确，C不正确，D正确.故选：AD三、填空题10（2022全国高三专题练习）下列命题中，正确的是_(写出所有正确命题的编号)在中，是的充要条件；函数的最大值是；若命题“，使得”是假命题，则；若函数，则函数在区间内必有零点【答案】【分析】利用大边对大角和正弦定理可证；变形后利用基本不等式进行求解最大值；先把命题否定，得到对，恒成立，分与两种情况求出的取值范围；先根据得到，得到，接下来分与，利用零点
10、存在性定理得到答案.【详解】在中，因为，所以，由正弦定理得：，所以，同理可证，当时，故在中，是的充要条件，正确；因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最大值是，错误；命题“，使得”是假命题，则对，恒成立，当时，不恒成立，当时，只需，解得：，综上：若命题“，使得”是假命题，则；正确；，所以，因为，当时，因为，所以，故，由零点存在性定理得：在区间上，至少存在一个零点，当，由零点存在性定理得：在区间上至少存在一个零点，综上：函数在区间内必有零点，正确.故答案为：11（2022全国高三专题练习）已知函数，且，为的导函数，下列命题：存在实数，使得导函数为增函数；当时，函数不单调；当时，函
11、数在上单调递减；当时，函数有极值在以上命题中，正确的命题序号是_【答案】【分析】求，令可判断；根据零点存性定理可判断使得，可判断；令，求，由的符号判断的单调性，可求得恒成立即恒成立可判断；求的单调性，根据零点存在性定理可知，使得可判断，进而可得正确答案.【详解】由可得，对于，若时，为增函数，故对；对于，若时，使得，所以函数不单调，故对；对于，令，则，当时，由得，由得所以在上单调递增，在上单调递减，从而，要使，则令，则，所以，令，则在单调递减，在单调递增，而，所以恒成立，从而，即恒成立，即在上单调减故正确；对于，当时，可知在单调递减，在单调递增，因为，使得，所以函数有极值，故对综上所述：都正确，
12、故答案为：.12（2021福建三明一中高三学业考试）已知函数的零点，则_【答案】-3或2【分析】对函数求导，借助导数探讨其单调性，再用零点存在性定理分析计算即得.【详解】对函数求导得：，由得，解得，当时，当时，于是得在上递减，在上递增，显然，则函数在区间上存在一个零点，又，即函数在区间上存在一个零点，因函数的零点，则或，所以或.故答案为：-3或213（2022全国高三专题练习）已知，均为正实数，且满足，则下面四个判断：；.其中一定成立的有_（填序号即可）.【答案】【分析】令，利用零点存在性定理可得，从而可得，然后利用不等式的性质和函数的单调性逐个分析判断【详解】令，则在上单调递减，因为（1），
13、所以.，：可能小于等于0，错误，：，正确，：，正确，：，.正确，故答案为：.14（2020湖南邵阳三模（理）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓朴学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，简单来讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使，那么我们称该函数为“不动点”函数，给出下列函数：；（）；其中为“不动点”函数的是_.（写出所有满足条件的函数的序号）【答案】【分析】对于选项，直接代入求解即可判断；对于选项，先根据条件构造函数，判断函数的单调性，利用零点存在性定理判断即可.【详解】，得或满足条件，故满足题意；，当时，或；当时，或，即；满足条件，故满足题意
14、；，令，易知为上的增函数，又，由零点存在性定理得在区间存在唯一的零点.故满足题意；（），令，又，则，易知为上的增函数，又，由零点存在性定理得在区间存在唯一的零点.故满足题意；无实数解，故满足题意；故答案为：.【点睛】本题主要考查了对布劳威尔不动点定理的理解，考查了零点存在性定理；考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力.属于中档题.15（2020全国高三专题练习（理）函数f(x)1x，g(x)1x，若函数F(x)f(x3)g(x4)，且函数F(x)的零点均在a，b(a0，f(1)，f(x)在区间1，0上存在唯一零点，f(x3)在区间4，3上存在唯一零点；又g(x)1x，恒成立，g(x)1x在R上是
15、单调递减函数，g(2)，g(1)，g(x)在区间1，2上存在唯一零点，g(x4)在区间5，6上存在唯一零点，由F(x)f(x3)g(x4)0，得f(x3)0或g(x4)0，故函数F(x)的零点均在4，6内，则ba的最小值为10.故答案为：10.【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性、函数零点与方程，考查分析理解，求值计算的能力，属中档题.四、解答题16（2022陕西西安高三阶段练习（文）已知函数（e为自然对数的底数，）.(1)若，求证：在区间内有唯一零点；(2)若在其定义域上单调递减，求a的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）把代入，求出并探讨其单调性，再结合零点存在性
16、定理判断作答.（2）利用给定单调性建立不等式，再分类分离参数，构造函数，讨论求解作答.(1)当时，求导得：，令，则，则函数在R上单调递增，即函数在R上单调递增，而，由函数零点存在性定理知，存在唯一，有，所以在区间内有唯一零点.(2)函数的定义域是R，依题意，成立，当时，成立，当时，令，即函数在上单调递增，又当时，恒成立，于是得，当时，令，当时，当时，因此，在上单调递减，在上单调递增，当时，于是得，综上得：，所以a的取值范围是.【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.17（2022贵州遵义高三开学考试（理）已知函数.(1)讨论的导函数零点的个数；
17、(2)若的最小值为e，求a的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【分析】（1）对求导有，再研究的单调性，结合及零点存在性定理，讨论a的范围判断零点的个数.（2）讨论、，结合的符号研究的单调性并结合求参数a的范围.(1)，令，则，故在上单调递增，而，当时，无解；当时，由，故有一个在上的解；当时，由，故的解为1；当时，由，故有一个在上的解；综上，当或时，导函数只有一个零点.当或时，导函数有两个零点.(2)当时，则函数在处取得最小值.当时，由（1）知：在上单调递增，则必存在正数使得.若则，在上，则，在上，则，在上，则，所以在和上单调递增，在上单调递减，又，不合题意.若则，在上，则在上单调递增
18、，又，不合题意.若则，在上，则，在上，则，在上，则，所以在和上单调递增，在上单调递减，则，解得，即.综上，.题型二：方程法判断零点个数一、单选题1（2022福建福州三模）已知函数，以下结论中错误的是（）A是偶函数B有无数个零点C的最小值为D的最大值为【答案】C【分析】由奇偶性定义可判断出A正确；令可确定B正确；根据定义域为，可知若最小值为，则是的一个极小值点，根据可知C错误；由时，取得最大值，取得最小值可确定D正确.【详解】对于A，定义域为，为偶函数，A正确；对于B，令，即，解得：，有无数个零点，B正确；对于C，若的最小值为，则是的一个极小值点，则；，不是的极小值点，C错误；对于D，；则当，即
19、时，取得最大值，D正确.故选：C.2（2022北京模拟预测）已知函数，且，则的零点个数为（）A个B个C个D个【答案】C【分析】解三角方程求得的零点即可解决【详解】由可得或，又，则，或，或则的零点个数为3故选：C3（2022安徽芜湖一中一模（理）声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数若某声音对应的函数可近似为，则下列叙述正确的是（）A为的对称轴B为的对称中心C在区间上有3个零点D在区间上单调递增【答案】D【分析】利用知关于直线对称的性质验证A；求得可判断B；化简，令，得，进而判断C；利用导数研究函数的单调性可判断D.【详解】对于A，由已知得，即，故不关于对称，故A错误；对于B
20、，故B错误；对于C，利用二倍角公式知，令得或，即，所以该函数在区间内有4个零点，故C错误；对于D，求导，令，由，知，即，利用二次函数性质知，即，可知在区间上单调递增，故D正确；故选：D.4（2022全国高三专题练习）已知函数，则函数零点个数为（）A0B1C2D3【答案】A【分析】当时和时，分别化简函数的解析式可直接判断零点的个数.【详解】当时，所以不存在零点；当时，也不存在零点，所以函数的零点个数为0.故选：A.二、多选题5（2022海南海口模拟预测）已知函数，则（）A的定义域为RB 是奇函数C在上单调递减D 有两个零点【答案】BC【分析】根据函数解析式，结合函数性质，对每个选项进行逐一分析，
21、即可判断和选择.【详解】对：的定义域为，错误；对：，且定义域关于原点对称，故是奇函数，正确；对：当时，单调递减，正确；对：因为，所以无解，即没有零点，错误故选：.6（2022全国高三专题练习）已知函数，下列说法正确的是（）.A是周期函数B若，则（）C在区间上是增函数D函数在区间上有且仅有一个零点【答案】AB【分析】写出的分段函数形式，A应用正余弦函数的性质判断的周期性，B由已知可得，则，（），即可判断正误；根据解析式，应用特殊值法判断C、D的正误.【详解】将函数化作分段函数，即，A，是周期为的函数，对；B，由得，则，此时，（），可得，对；C，由解析式得，在上不单调，错；D，由解析式知，即在上至
22、少有两个零点，错.故选：AB.7（2022全国高三专题练习）若和都是定义在上的函数，且方程有实数解，则下列式子中可以为的是（）ABCD【答案】ACD【分析】由方程有实数解可得，再用替代，即 有解，逐个判断选项即可得出答案.【详解】由方程有实数解可得，再用替代，即 有解.对于A，即，方程有解，故A正确；对于B，即，方程无解，故B错误；对于C，当令，因为，由零点的存在性定理可知，在上存在零点，所以方程有解，故选项C正确；对于D，当时，为方程的解，所以方程有解，故选项D正确.故选：ACD.8（2022全国高三专题练习（理）关于函数有下述四个结论，则（）A是偶函数B的最小值为C在上有4个零点D在区间单
23、调递增【答案】ABC【分析】对A：根据偶函数的定义即可作出判断；对B：由有界性，且时即可作出判断；对C：当时，可得函数有两个零点，根据偶函数的对称性即可作出判断；对D：当时，利用三角函数的图象与性质即可作出判断.【详解】解：对A：因为，所以是偶函数，故选项A正确；对B：因为，所以，而时，所以的最小值为，故选项B正确；对C：当时，令，可得，又由A知函数为偶函数，所以函数在区间上也有两个零点，所以函数在区间上有4个零点，故选项C正确；对D：当时，因为，所以，而在上单调递增，在上单调递减，故选项D错误.故选：ABC.三、填空题9（2022福建模拟预测）已知函数，其中，若在区间(，)上恰有2个零点，则
24、的取值范围是_.【答案】或.【分析】先求出零点的一般形式，再根据在区间(，)上恰有2个零点可得关于整数的不等式组，从而可求的取值范围.【详解】令，则，故，故，因为在区间(，)上恰有2个零点，所以存在整数，使得：，若为偶数，则，整理得到：，因为，故，当时，故无解，当时，有即.若为奇数，则，整理得到：，因为，故，当时，故无解，当时，有，无解.当时，有，故.综上，或.故答案为：或.【点睛】思路点睛：对于正弦型函数的零点个数问题，可先求出零点的一般形式，再根据零点的分布得到关于整数的不等式组，从而可求相应的参数的取值范围.10（2022河南襄城县教育体育局教学研究室二模（文）已知函数有3个零点，则实数
25、m的取值范围为_【答案】0,1)【分析】根据m的范围分类讨论f(x)的零点即可.【详解】m0时，令f(x)0，则x0或x3或x1，即f(x)有三个零点，满足题意；m0时，令f(x)0，则x0时，则(*)，x0时，(*)，显然x0时的方程(*)最多有两个负根，而x0时的方程(*)最多只有一正根，为了满足题意，则x0时必有1根，则1m0，且根为x，m1；x0时方程必然有两个负根，则，0m1；综上所述，m.故答案为：.四、解答题11（2022全国模拟预测（文）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，证明在上有且仅有两个零点.【分析】（1）求得，分、三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的
26、增区间和减区间；（2）由可得出，由结合判别式可判断出方程的根的个数，由此可证得结论成立.(1)解：函数的定义域为，.当时，则，由可得，由可得，此时函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，由可得或.当时，由可得或，由可得，此时函数的单调递减区间为、，单调递增区间为；当时，由可得，由可得或，此时函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.(2)解：由可得，因为，则，即关于的方程有两个不等的实根，所以，当时，在上有且仅有两个零点.【点睛】思路点睛：讨论含参
27、函数的单调性，通常注意以下几个方面：（1）求导后看最高次项系数是否为，须需分类讨论；（2）若最高次项系数不为，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或两根相等的情况；（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较.12（2022四川省高县中学校模拟预测（文）已知函数.(1)当时，判定的零点的个数；(2)是否存在实数，使得当时，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)个(2)存在，且的取值范围是.【分析】（1）解方程，即可得解；（2）由，分析可知当且时，由可得，分、三种情况分析，结合一次函数的基本性质可得出关于实数的不等式，
28、综合可求得实数的取值范围.(1)解：当时，令，可得或，此时函数有个零点.(2)解：当时，由.当时，对任意的，满足题意；当且时，由可得，若，则有，合乎题意；若，当时，则对任意的不可能恒成立，舍去；若，则有，解得，此时.综上所述，当时，当时，恒成立.题型三：数形结合法判段函数零点个数一、单选题1（2022安徽淮南二模（文）已知函数，则下列关于函数的描述中，其中正确的是（）当时，函数没有零点；当时，函数有两不同零点，它们互为倒数；当时，函数有两个不同零点；当时，函数有四个不同零点，且这四个零点之积为1ABCD【答案】C【分析】画出函数图象即可判断，令解方程即可判断，将零点问题转化成函数图象交点的问题
29、，利用数形结合即可判断和.【详解】当时，函数图象如下图所示，由此可知该函数只有一个零点，故不正确；当时，则函数的零点为和，函数有两个不同零点，由函数的图象可知，解得，当时，则函数的零点为和，此情况不存在有两不同零点，则函数有两不同零点时的取值范围是，设对应的两个零点为，即或，解得，则，所以它们互为倒数，故正确；当时，函数解析式为，令，解得，令，解得或，由此可知函数有三个零点，故不正确；当时，则函数的零点为和，函数有四个不同零点，由函数的图象可知，解得，当时，则函数的零点为和，此情况不存在有两不同零点；设对应的两个零点为，即或，解得，当时，整理得，当时，则该方程存在两个不等的实数根和，由韦达定理
30、得，所以，则故正确；故选：.2（2022河南安阳模拟预测（文）已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（）A且B且C且D且【答案】C【分析】令，利用换元法可得，由一元二次方程的定义知该方程至多有两个实根、，作出函数的图象，结合题意和图象可得、，进而得出结果.【详解】令，作出函数的图象如下图所示：由于方程至多两个实根，设为和，由图象可知，直线与函数图象的交点个数可能为0234，由于关于x的方程有7个不同实数解，则关于u的二次方程的一根为，则，则方程的另一根为，直线与函数图象的交点个数必为4，则，解得.所以且.故选：C.3（2022安徽模拟预测（文）已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范
31、围是（）ABCD【答案】A【分析】在同一坐标系中作出的图象，根据有4个零点求解.【详解】解：令，得，在同一坐标系中作出的图象，如图所示：由图象知：若有4个零点，则实数a的取值范围是，故选：A4（2022河南河南三模（理）函数的所有零点之和为（）A0B2C4D6【答案】B【分析】结合函数的对称性求得正确答案.【详解】令，得，图象关于对称，在上递减.，令，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称，在上递增，所以与有两个交点，两个交点关于对称，所以函数的所有零点之和为.故选：B二、多选题5（2022广东普宁市华侨中学二模）对于函数，下列结论中正确的是（）A任取，都有B，其中；C对一切恒成立；
32、D函数有个零点；【答案】ACD【分析】作出函数的图象.对于A：利用图象求出，即可判断；对于B：直接求出，即可判断；对于C：由，求得，即可判断；对于D：作出和的图象，判断出函数有3个零点.【详解】作出函数的图象如图所示.所以.对于A：任取，都有.故A正确；对于B：因为，所以.故B错误；对于C：由，得到，即.故C正确；对于D：函数的定义域为.作出和的图象如图所示：当时,;当时,函数与函数的图象有一个交点;当时,因为,，所以函数与函数的图象有一个交点,所以函数有3个零点.故D正确.故选：ACD6（2022江苏南京市宁海中学模拟预测）已知是定义在R上的偶函数，且对任意，有，当时，则（）A是以2为周期的
33、周期函数B点是函数的一个对称中心CD函数有3个零点【答案】BD【分析】首先根据函数的对称性求出的周期和对称中心，然后求得.利用图象法即可判断D.【详解】依题意，为偶函数，且，有，即关于对称，则，所以是周期为4的周期函数，故A错误；因为的周期为4，关于对称，所以是函数的一个对称中心，故B正确；因为的周期为4，则，所以，故C错误；作函数和的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，所以函数有3个零点，故D正确.故选：BD.三、填空题7（2022四川成都七中三模（文）已知函数，则函数的零点个数是_个【答案】3【分析】函数的零点个数等价于函数函数与的交点个数，作出函数与的图象，结合图象即可求出
34、结果.【详解】函数有的零点个数等价于函数函数与的交点个数，作出函数与的图象，如图：，由图可知，函数与有3个交点，故函数有的零点个数为3，故答案为：3.8（2022内蒙古呼和浩特一模（理）下面四个命题：已知函数的定义域为，若为偶函数，为奇函数，则；存在负数，使得恰有3个零点；已知多项式，则；设一组样本数据的方差为，则数据的方差为其中真命题的序号为_.【答案】 【分析】对于利用函数奇偶性性质求解即可；对于数形结合判断即可；对于利用二项式定理求解即可；对于利用平均数和方差公式求解即可.【详解】对于：因为为偶函数，即，令，所以，又因为为奇函数，所以，令，所以，所以，故正确；对于：存在负数，使得恰有3个
35、零点等价于和，有三个不同交点，且恒过点，画出图像如下所示：根据图像判断至多有两个交点，故不正确；对于：，所以的系数为：5，故正确；对于：设的平均数为，则其方差为：，则的平均数为，则其方差为：，故不正确.故答案为： .9（2022四川成都二模（文）定义在R上的奇函数f（x）满足，且当时，则函数的所有零点之和为_【答案】【分析】判断出的对称性、周期性，画出的图象，结合图象求得的所有零点之和.【详解】依题意，定义在R上的奇函数f（x）满足，所以关于对称，所以是周期为的周期函数.，所以关于点对称.关于点对称.当时，画出的图象如下图所示，由图可知，有个公共点，所以的所有零点和为.故答案为：10（2022
36、全国高三专题练习）已知，给出下列四个结论：（1）若，则有两个零点；（2），使得有一个零点；（3），使得有三个零点；（4），使得有三个零点以上正确结论的序号是 _【答案】（1）（2）（4）【分析】将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，作图可解.【详解】函数的零点的个数可转化为函数与直线的交点的个数；作函数与直线的图象如图，若，则函数与直线的图象在与上各有一个交点，则有两个零点，故（1）正确；若，则当函数与直线的图象相切时，有一个零点，故（2）正确；当时，函数与直线的图象至多有两个交点，故（3）不正确；当且足够小时，函数与直线的图象在与上分别有1个、2个交点，故（4）正确；故答案为：
37、（1）（2）（4）四、解答题11（2022北京高三学业考试）给定集合，为定义在D上的函数，当时，且对任意，都有_从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，补充在横线处，使存在且唯一确定条件：；条件：；条件：解答下列问题：（1）写出和的值；（2）写出在上的单调区间；（3）设，写出的零点个数【分析】判断条件不合题意.选择条件、则先求得当时，的表达式，然后结合函数的解析式、单调性、零点，对（1）（2）（3）进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意的定义域为，当时，.对于条件，对任意，都有，以替换，则，这与矛盾，所以条件不合题意.若选条件，当时，.（1）.（2）对于函数，任取，其中，当时，所以
38、在上递减.当时，所以在上递增.所以在区间，.同理可证得：在上递增，在上递减，.当时，由上述分析可知，在上递增，在上递减.且.（3），由（2）的分析可画出的大致图象如下图所示，所以，当或或时，的零点个数是0；当或时，的零点个数是1；当或时，的零点个数是2若选条件，当时，由得，（1）.（2）对于函数，根据上述分析可知：在上递减，在上递增，且在区间，.对于，任取，.其中.当时，递增；当时，递减.所以的增区间为，减区间为.且.（3），结合上述分析画出的大致图象如下图所示，所以当时，的零点个数是0；当时，的零点个数是2【点睛】利用函数的单调性的定义求函数的单调性，主要是计算出的符号.求解函数零点问题，可
39、利用分离参数法，结合函数图象来进行求解.12（2021河北高三阶段练习）已知函数的最小正周期为.（1）求函数的单调递增区间；（2）若先将函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将其图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，求方程在上根的个数.【答案】（1），；（2）4.【分析】（1）由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求出，可求出解析式，进而结合函数函数的图象与性质即可求出单调递增区间；（2）根据伸缩变换求得的解析式，进而本题等价于求和在上交点的个数，作出函数图象，数形结合即可求出结果.【详解】解：（1）;因为的最小正周期，所以，故.令，得，所以的单
40、调递增区间为，.（2）由题意可得.方程在上根的个数，即方程的根的个数.结合和的图像，如图所示：因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以结合图像可知函数在上有4个零点，即方程在上根的个数为4.13（2021辽宁高三阶段练习）已知函数的最小正周期为（I）求函数的解析式；（II）若先将函数的图象向左平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的零点个数【答案】（I）；（II）函数在上有个零点【分析】（I）由已知解析式，应用二倍角余弦公式、辅助角公式可得，由最小正周期即可求，写出的三角函数解析式.（II）由图像平移可得，在上的零点即为和图象交点的横坐标
41、，应用数形结合及对数函数、正弦函数的性质即可判断交点的个数.【详解】（I）由题意得：的最小正周期，故，（II）由（I）得：，求函数在上的零点个数，即求方程的根的个数和的图象，如下图示，在上单调递减，在上单调递增，且，又，由图象知：函数在上有个零点题型四：转化法判断函数零点个数一、单选题1（2022安徽巢湖市第一中学高三期中（文）已知函数，则函数的零点个数为（）A3B4C5D6【答案】B【分析】由的性质求出对应区间的值域及单调性，令并将问题转化为与交点横坐标对应值的个数，结合数形结合法求零点个数即可.【详解】令，当时，且递增，此时，当时，且递减，此时，当时，且递增，此时，当时，且递增，此时，所以，的零点等价于与交点横坐标对应的值