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1、考点十二 导数的概念及其运算知识梳理1导数的概念在数学中，称瞬时变化率为函数yf(x)在x0点的导数，通常用符号f(x0)表示，记作f(x0) .2导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)3函数f(x)的导函数如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x)：f(x) ，则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数4基本初等函数的导数公式(1) C0 (C为常数)；(2) (x)x1(为实数)；(3) (sin x
2、 )cos_x；(4) (cos x)sin_x；(5) (ax)axln_a(a0，a1)；(6) (ex )ex；(7) (logax)(a0，且a1)；(8) (ln x).5.导数的运算法则(1) f(x)g(x)f(x)g(x)；(2) f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3) (g(x)0)典例剖析题型一 导数的运算例1求下列函数的导数(1)yexln x；(2)yx；(3)y解析 (1)y(exln x)exln xexex(ln x)(2)yx31，y3x2.(3)y.变式训练 求下列函数的导数(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sin x；解析(1)
3、y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，y18x210x4.(2)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.解题要点 求函数的导数一般有如下法则：(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，可以避免使用商的求导法则，减少运算量题型二 曲线的切线问题例2曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程为_答案5xy20解析易知点(0，2)在曲线上，又因为y|x05e05，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y(2)5(x0)，
4、即5xy20.变式训练 若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_答案(ln 2，2)解析设P(x0，y0)，yex，yex，点P处的切线斜率为kex02，x0ln 2，x0ln 2，y0eln 22，点P的坐标为(ln 2，2)例3若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a等于_答案1或解析因为yx3，所以y3x2，设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，则在该点处的切线斜率为k3x，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x.又(1,0)在切线上，则x00或x0.当x00时，由y0与yax2x9相切，可得a，当x0时，由yx与ya
5、x2x9相切，可得a1.变式训练 已知函数f(x)x33x，若过点A(0,16)且与曲线yf(x)相切的直线方程为yax16，则实数a的值是_答案9解析点A(0,16)不在曲线yf(x)上，先设切点为M(x0，y0)，则切点在曲线上有y0x3x0，求导数得到切线的斜率kf(x0)3x3，又切线l过A、M两点，所以k，则3x3，联立可解得x02，y02，从而实数a的值为ak9.解题要点 解决切线问题的理论依据是：导数的几何意义是切点处切线的斜率.解题时需弄清所给点是否为切点，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者常见题型有三种：(1)已知切点为A(x0，f(x0
6、)，求切线方程，则先求出斜率kf(x0)，从而切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k；(3)已知过某点M(x1，f(x1)(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0)，利用k求解当堂练习1已知函数f(x)cosx，则f(x)_答案 解析 f(x)cosx.2若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则切线l的方程为_答案 4xy30解析 设切点为P(x0，y0)，则斜率k4x4，x01，故切点为P(1,1)，所求切线方程为y14(x1)，即4xy30.3. 若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程
7、是xy10，则_(填序号) a1，b1 a1，b1 a1，b1 a1，b1答案 解析 y2xa，曲线yx2axb在(0，b)处的切线方程斜率为a，切线方程为ybax，即axyb0.a1，b1.4已知函数f(x)xsin(x)，则f()_答案 解析 f(x)xsin(x)xcosx，f(x)cosxxsinx，f()cossin.5已知曲线yx4ax21在点(1，a2)处切线的斜率为8，则a_答案 6解析 由题意知y|x1(4x32ax)|x142a8，则a6课后作业一、 填空题1曲线yxln x在点(e，e)处的切线与直线xay1垂直，则实数a的值为_答案 2解析 y1ln x，y|xe1ln
8、 e2，21，a2.2函数f(x)(x2a)(xa)2的导数f(x)_答案 3(x2a2)解析 f(x)(xa)2(x2a)2(xa)3(x2a2)3若曲线yx3在点P处的切线的斜率为3，则点P的坐标为_答案(1,1)或(1，1)解析y3x2，3x23.x1.当x1时，y1，当x1时，y1.4与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程是_答案2xy10解析对yx2求导得y2x.设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为k2x0.由2x02得x01，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.5若f(x)xex，则f(1)_答案 2e解析 f(x) exxex，f(1)2e6曲线y在点(1，1)处的
9、切线方程为_答案 y2x1解析 因为y，所以，在点(1，1)处的切线斜率ky|x12，所以，切线方程为y12(x1)，即y2x1.7曲线yx21在P处的切线的倾斜角为_答案 45解析 y2x，y|x1.切线的倾斜角为45.8曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形面积为_答案 解析 ye2x(2)，ky|x02;切线方程为y22x，即y2x2，由得S1.9若抛物线yx2xc上的一点P的横坐标是2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为_答案4解析y2x1，y|x25.又P(2,6c)，5.c4.10 (2015新课标文)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1
10、，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.答案1解析f(x)3ax21，f(1)13a，f(1)a2.(1，f(1)处的切线方程为y(a2)(13a)(x1)将(2,7)代入切线方程，得7(a2)(13a)，解得a1.11设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_答案(1,1)解析yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01，设P(m，n)，y(x0)的导数为y (x0)，曲线y (x0)在点P处的切线斜率k2 (m0)，因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1,1)二、解答题12求下列函数的导数：(1)y；(2)
11、y3xex2xe.解析 (1)y.(2)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln 33xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.13已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标解析(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21.f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y613(x2).即y13x32.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，y0xx016，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016，整理得，x8，x02，y0(2)3(2)1626，得切点坐标(2，26)，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)