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1、5-1纯弯曲1、纯弯曲：剪力Q是横截面切向分布内力的合力；弯矩M是横截面法向分布内力的合力偶矩。所以横弯梁横截面上将同时存在剪应力和正应力。实践和理论都证明，其中弯矩是影响梁的强度和变形的主要因素。Q = 0，M = 常数的弯曲，这种弯曲称为纯弯曲。2、横力弯曲：梁的横截面上同时存在剪力和弯矩时，这种弯曲称为横力弯曲。图6-1所示梁的CD段为纯弯曲；其余部分则为横力弯曲。5-2纯弯曲正应力一、纯弯曲实验：考察等截面直梁。加载前在梁表面上画上与轴线垂直的横线，和与轴线平行的纵线，如图6-2a所示。然后在梁的两端纵向对称面内施加一对力偶，使梁发生弯曲变形，如图图6-2b所示。可以发现梁表面变形具有
2、如下特征：（1）横线（m-m和n-n）仍是曲线，只是发生相对转动，但仍与纵线（如a-a，b-b）正交。（2）纵线（a-a和b-b）弯曲成曲线，且梁的一侧伸长，另一侧缩短。二、平面假设：根据上述梁表面变形的特征，可以作出以下假设：梁变形后，其横截面仍保持平面，并垂直于变形后梁的轴线，只是绕着梁上某一轴转过一个角度。与扭转时相同，这一假设也称平面假设。此外，还假设：梁的各纵向层互不挤压，即梁的纵截面上无正应力作用。中性层：根据上述假设，梁弯曲后，其纵向层一部分产生伸长变形，另一部分则产生缩短变形，二者交界处存在既不伸长也不缩短的一层，这一层称为中性层。如图6-3所示。中性轴：中性层与横截面的交线为
3、截面的中性轴。横截面上位于中性轴两侧的各点分别承受拉应力或压应力；中性轴上各点的应力为零。三、理论分析：1、变形关系：下面根据平面假设找出纵向线应变沿截面高度的变化规律。考察梁上相距为dx的微段（图6-4a），其变形如图6-4b所示。其中x轴沿梁的轴线，y轴与横截面的对称轴重合，z轴为中性轴。则距中性轴为y处的纵向层a-a弯曲后的长度为，其纵向正应变为 （a）式（a）表明：纯弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变沿截面高度线性分布。2物理关系根据以上分析，梁横截面上各点只受正应力作用。再考虑到纵向层之间互不挤压的假设，所以纯弯梁各点处于单向应力状态。对于线弹性材料，根据胡克定律于是有 （b）式中、均
4、为常数，上式表明：纯弯梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的垂直距离z成正比。即正应力沿着截面高度按线性分布，如图6-4d所示。式（b）还不能直接用以计算应力，因为中性层的曲率半径以及中性轴的位置尚未确定。这要利用静力关系来解决。3静力关系弯矩M作用在x-y平面内。截面上坐标为y、z的微面积dA上有作用力。横截面上所有微面积上的这些力将组成轴力N以及对y、z轴的力矩My和Mz： （c） （d） （e）在纯弯情况下，梁横截面上只有弯矩，而轴力和皆为零。将式（b）代入式（c），因为，故有其中 称为截面对z轴的静矩。因为，故有。这表明中性轴z通过截面形心。将式（b）代入式（d），有其中称为截面对
5、y、z轴的惯性积。使的一对互相垂直的轴称为主轴。由于y轴为横截面的对称轴，对称轴必为主轴，而z轴又通过横截面形心，所以y、z轴为形心主轴。将式（b）代入式（e），有得到 （6-1）其中 称为截面对z轴的惯性矩；称为截面的抗弯刚度。式（6-1）表明，梁弯曲的曲率与弯矩成正比，而与抗弯刚度成反比。将式（6-1）代入（b），得到纯弯情况下的正应力计算公式 （6-2）说明：1、 该公式适用条件：（1）线弹性范围内；（2）平面弯曲（即平面假设成立）：对于横截面具有对称轴的梁，只要外力作用在对称平面内，梁便产生平面弯曲；对于横截面无对称轴的梁，只要外力作用在形心主轴平面内，实心截面梁便产生平面弯曲。2、正
6、负规定：正负号与弯矩及点的坐标y的正负号有关，实际计算中用变形判断；3、梁横截面上正应力分布：5-3 横力弯曲正应力一、横力弯曲正应力：梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。由于存在剪应力，横截面不再保持平面，而发生“翘曲”现象。进一步的分析表明，对于细长梁（例如矩形截面梁，为梁长，为截面高度），剪应力对正应力和弯曲变形的影响很小，可以忽略不计，式（6-1）和（6-2）仍然适用。上述公式是根据等截面直梁导出的。对于缓慢变化的变截面梁，以及曲率很小的曲梁（，为曲梁轴线的曲率半径）也可近似适用。二、正应力强度计算：由式（6-1）：为保证梁的安全，梁的最大正应力点应满足强度条件 （6
7、-6）式中为材料的许用应力。对于等截面直梁，若材料的拉、压强度相等，则最大弯矩的所在面称为危险面，危险面上距中性轴最远的点称为危险点。此时强度条件（6-6）可表达为 （6-7）= （6-8）称为抗弯截面系数（或抗弯截面模量），其量纲为长度3。国际单位用m3或mm3。对于宽度为、高度为的矩形截面，抗弯截面系数为 （6-9）直径为的圆截面，抗弯截面系数为 （6-10）内径为，外径为的空心圆截面，抗弯截面系数为， （6-11）对于由脆性材料制成的梁，由于其抗拉强度和抗压强度相差甚大，所以要对最大拉应力点和最大压应力点分别进行校核。5-4 横弯曲剪应力梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力，又有剪应力。
8、但一般情况下，剪应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的剪应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。1矩形截面梁对于图6-5所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力Q。现分析距中性轴z为y的横线上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线两端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力Q的方向一致。由于对称的关系，横线中点处的剪应力也必与Q的方向相同。根据这三点剪应力的方向，可以设想线上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q。又因截面高度h大于宽度b，剪应力的数值沿横线不可能有太大
9、变化，可以认为是均匀分布的。基于上述分析，可作如下假设：1）横截面上任一点处的剪应力方向均平行于剪力。2）剪应力沿截面宽度均匀分布。基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图6-6a的横弯梁中截出dx微段，其左右截面上的内力如图6-6b所示。梁的横截面尺寸如图6-6c所示，现欲求距中性轴z为y的横线处的剪应力。过用平行于中性层的纵截面自dx微段中截出一微块（图6-6d）。根据剪应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力。微块左右侧面上正应力的合力分别为和，其中 （a） (b)式中，为微块的侧面面积，为面积中距中性轴为处的正应力，。由微块沿x方向的平衡条件，得 （c）将式（a）
10、和式（b）代入式（c），得故 因，故求得横截面上距中性轴为y处横线上各点的剪应力为 （6-3）式（6-3）也适用于其它截面形式的梁。式中，Q为截面上的剪力；为整个截面对中性轴z的惯性矩；b为横截面在所求应力点处的宽度；为面积对中性轴的静矩。对于矩形截面梁（图6-7），可取，于是这样，式（6-3）可写成上式表明，沿截面高度剪应力按抛物线规律变化（图6-7b）。在截面上、下边缘处，y=,=0；在中性轴上，z=0，剪应力值最大，其值为 （6-4）式中A=bh,即矩形截面梁的最大剪应力是其平均剪应力的倍。2圆形截面梁在圆形截面上（图6-8），任一平行于中性轴的横线aa两端处，剪应力的方向必切于圆周，并
11、相交于y轴上的c点。因此，横线上各点剪应力方向是变化的。但在中性轴上各点剪应力的方向皆平行于剪力Q，设为均匀分布，其值为最大。由式（6-3）求得 （6-5）式中，即圆截面的最大剪应力为其平均剪应力的倍。3工字形截面梁工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式（6-3）的计算结果表明，在翼缘上剪应力很小，在腹板上剪应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图6-9所示。最大剪应力在中性轴上，其值为式中（S）为中性轴一侧截面面积对中性轴的静矩。对于轧制的工字钢，式中的可以从型钢表中查得。计算结果表明，腹板承担的剪力约为（0.950.97）Q，因此也可用下式计算的近似值式中h为腹板的高度，d为腹板的宽度。4剪应力强度
12、条件：对于某些特殊情形，如梁的跨度较小或载荷靠近支座时，焊接或铆接的壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪能力较差（木梁的顺纹方向，胶合梁的胶合层）等，还需进行弯曲剪应力强度校核。等截面直梁的一般发生在截面的中性轴上，此处弯曲正应力，微元体处于纯剪应力状态，其强度条件为 （6-12）式中为材料的许用剪应力。此时，一般先按正应力的强度条件选择截面的尺寸和形状，然后按剪应力强度条件校核。5-5 薄壁截面的弯曲中心对于薄壁截面梁，若横向力作用在纵向对称面内，梁将发生平面弯曲。若横向力没作用在对称平面内，则力必须通过截面上某一特定的点，该点称为弯曲中心，且平行于形心主轴时，梁才能发生平面弯曲。否则，梁在发生
13、弯曲的同时，还将发生扭转。确定弯曲中心的方法是，先假定在横向力作用下梁发生平面弯曲，研究此时横截面上的剪应力分布，求出剪应力的合力作用点，此即弯曲中心。再根据内外力的关系，确定产生平面弯曲的加载条件。现以图示的槽形截面悬臂梁为例，说明确定弯曲中心的方法。设横向力通过点，且平行于形心主轴y，梁发生平面弯曲而没有扭转（6-10a）。此时梁的横截面上不但有正应力，还有剪应力。除腹板上有垂直剪应力外，在翼缘上还将产生水平剪应力。由于翼缘很薄，对水平剪应力同样假定：（1）剪应力平行于翼缘的周边，（2）沿翼缘厚度均匀分布（图6-10b）。为了分析水平剪应力，以相距为的两横截面及垂直于翼缘中线的纵截面自翼缘
14、上截取一微段，微段横截面上作用有正应力的合力、，在截开的纵截面上作用有剪应力（图6-10c）。其中根据剪应力成对定理和微段沿方向的平衡条件，有得 （a）水平剪应力的计算公式与腹板上垂直剪应力的计算公式完全相同，式中，可见水平剪应力沿翼缘线性分布。同样可求出下翼缘上水平剪应力的方向与分布规律。由图6-11a可以看出，剪应力沿截面中线形成“剪流”。上翼缘水平剪应力的合力 （b）下翼缘水平剪应力的合力，但与的方向相反；腹板垂直剪应力的合力（图6-11b）。根据合力之矩定理，、和的合力作用点应在距腹板中线为的点处。 (c)若横向力通过点，截面上的剪力与外力形成的力偶矢量平行于轴，使梁发生平面弯曲。若外
15、力不通过点，则外力与截面上的剪力不在同一纵向面内，将外力向点平移后，附加的力偶将使梁发生扭转变形。所以弯曲中心是平面弯曲时横截面上剪应力的合力作用点。由式（c）可以看出，弯曲中心的位置只取决于截面的形状和尺寸，而与外力无关。弯曲中心简称为弯心。当截面有两个对称轴时，两个对称轴的交点即为弯曲中心，此时弯曲中心与形心重合，如工字形截面。当截面有一个对称轴时，可假定外力垂直于该对称轴，并产生平面弯曲，求得截面上剪应力合力的作用线，该作用线与对称轴的交点即为弯曲中心，此时弯曲中心一般与形心不重合，如槽形截面。对于没有对称轴的薄壁截面应这样求弯曲中心：（1）确定形心主轴。（2）设横向力平行于某一形心主轴
16、，并使梁产生平面弯曲，求出截面上弯曲剪应力合力作用线的位置。（3）设横向力平行于另一形心主轴，并使梁产生平面弯曲，求出对于此平面弯曲截面上剪应力合力作用线的位置。（4）两合力作用线的交点即为弯曲中心的位置。对于形状较简单的薄壁截面，根据弯心的概念和剪流的特点，可以很快定出弯心的位置，如6-12所示。对于实心截面杆，由于忽略剪应力的影响，故认为弯心与形心重合。开口薄壁截面杆的抗扭刚度较小，如横向力不通过弯曲中心，将引起比较严重的扭转变形，不但要产生扭转剪应力，有时还将因约束扭转而引起附加的正应力和剪应力。对这类杆件进行强度计算时，对弯曲中心的问题应予以足够的重视。5-6 提高弯曲强度的措施弯曲正
17、应力是影响弯曲强度的主要因素。根据弯曲正应力的强度条件 （a）上式可以改写成内力的形式 （b）可以看出，提高弯曲强度的措施主要是从三方面考虑：减小最大弯矩、提高抗弯截面系数和提高材料的力学性能。1减小最大弯矩1）改变加载的位置或加载方式如当集中力作用在简支梁跨度中间时（6-13a），其最大弯矩为；当载荷的作用点移到梁的一侧，如距左侧处（图6-13b），则最大弯矩变为，是原最大弯矩的倍。当载荷的位置不能改变时，可以把集中力分散成较小的力，或者改变成分布载荷，从而减小最大弯矩。例如利用副梁把作用于跨中的集中力分散为两个集中力（图6-13c）,而使最大弯矩降低为。利用副梁来达到分散载荷，减小最大弯矩
18、是工程中经常采用的方法。2）改变支座的位置例如图6-14a所示受均布载荷的简支梁，。若将两端支座各向里移动（图6-14b），则最大弯矩减小为只及前者的。图6-15a所示门式起重机的大梁，图6-15b所示锅炉筒体等，其支承点略向中间移动，都是通过合理布置支座位置，以减小的工程实例。2提高抗弯截面系数1）选用合理的截面形状在截面积相同的条件下，抗弯截面系数愈大，则梁的承载能力就愈高。例如对截面高度大于宽度的矩形截面梁，截面竖放时；而截面平放时，。两者之比是，所以竖放比平放有较高的抗弯能力。当截面的形状不同时，可以用比值来衡量截面形状的合理性和经济性。常见截面的值列于表6-1中。表中的数据表明，材料
19、远离中性轴的截面（如圆环形、工字形等）比较经济合理。这是因为弯曲正应力沿截面高度线性分布，中性轴附近的应力较小，该处的材料不能充分发挥作用，将这些材料移置到离中性轴较远处，则可使它们得到充分利用，形成“合理截面”。工程中的吊车梁、桥梁常采用工字形、槽形或箱形截面，房屋建筑中的楼板采用空心圆孔板，道理就在于此。需要指出的是，对于矩形，工字形等截面，增加截面高度虽然能有效地提高抗弯截面系数；但若高度过大，宽度过小，则在载荷作用下截面会发生扭曲，从而使梁过早的丧失承载能力。对于拉、压许用应力不相等的材料（例如大多数脆性材料），采用字形等中性轴距上下边不相等的截面较合理。设计时使中性轴靠近拉应力的一侧
20、，以使危险截面上的最大拉应力和最大压应力尽可能同时达到材料的许用应力。2）用变截面梁对于等截面梁，除所在截面的最大正应力达到材料的许用应力外，其余截面的应力均小于，甚至远小于许用应力。因此，为了节省材料，减轻结构的重量，可在弯矩较小处采用较小的截面，这种截面尺寸沿梁轴线变化的梁称为变截面梁。若使变截面梁每个截面上的最大正应力都等于材料的许用应力，则这种梁称为等强度梁。考虑到加工的经济性及其他工艺要求，工程实际中只能作成近似的等强度梁，例如机械设备中的阶梯轴（图6-16a），摇臂钻床的摇臂（图6-16c）及工业厂房中的鱼腹梁（图6-16b）等。3提高材料的力学性能构件选用何种材料，应综合考虑安全、经济等因素。低合金钢：近年来低合金钢生产发展迅速，如、钢等。这些低合金钢的生产工艺和成本与普通钢相近，但强度高、韧性好。南京长江大桥广泛的采用了钢，与低碳钢相比节约了的钢材。球墨铸铁：铸铁抗拉强度较低，但价格低廉。铸铁经球化处理成为球墨铸铁后，提高了强度极限和塑性性能。不少工厂用球墨铸铁代替钢材制造曲轴和齿轮，取得了较好的经济效益。