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1、均布扭力矩作用下圆截面圆环的稳定性分析1)摘要圆环在均布扭力矩作用下的变形特殊且容易发生跳跃，不考虑稳定性而得到的一些结论将可能不存在。本文利用最小势能原理导出圆截面圆环在均布扭力矩作用下的平衡路径，并根据系统稳定性的能量判据，对圆环的平衡稳定性、变形与运动过程进行分析，最后得到稳定平衡状态下圆环横截面上的内力最大值。关键词均布扭力矩，圆环，稳定性，能量判据中图分类号：O343文献标识码：Adoi：10.6052/1000-0879-19-188STABILITY OF CIRCULAR RING OF CIRCULAR CROSS-SECTION UNDERUNIFORMLY DISTRIB
2、UTED TORSION1)LI Daokui,2)LIU JunhuZHOU Shiming(National University of Defense Technology,College of Aerospace Science and Engineering,Changsha 410073,China)(Beijing Institute of Space Long March Vehicle,Beijing 100076,China)AbstractThe circular ring will experience a special kind of deformation und
3、er a uniformly distributedtorsion and is apt to jump.The stability is an important factor not to be overlooked.In this paper,theequilibrium path is derived for the circular ring of circular cross-section under the uniformly distributedtorsion based on the principle of the minimum potential energy.Wi
4、th the energy criterion for the systems stability,the stability of the equilibrium,the deformation and the moving process of the circular ring areanalyzed.Finally,the maximum value of the internal force on the circular rings cross-section is obtainedin the stable equilibrium state.Key wordsuniformly
5、 distributed torsion,circular ring,stability,energy criterion在2017年第十一届全国周培源大学生力学竞赛初赛试题1的第(13)题中，要求计算均布扭矩m作用下圆截面圆环(如图1所示，圆环半径为R，横截面半径为r，且r R)横截面上的内力最大值，在所给出的解答2中，根据截面内力(合弯矩M)与扭转角之间的关系，当=时取得最大内力。本文作者3也曾给出相同的结果，其实都是在不考虑稳定性的条件下得到的，没有讨论系统是否可以达到这一状态。黄志龙4曾对均布扭矩作用下任意截面圆环的稳定性及分岔进行了分析，但没有讨论其变形及内力的计算等问题。本文在文献
6、3得到的圆截面圆环在均布扭力矩作用下总势能表达式的基础上，推导出圆环的平衡路径，并根据系统稳定性的能量判据5，对圆截面圆环在均布扭力矩作用下的平衡稳定性、变形与224力学与实践2020 年 第 42 卷运动过程进行分析，进而得到稳定平衡状态下圆环横截面上的内力最大值。mROAAA Ar图1 均布扭力矩作用下的圆环1 系统的总势能与平衡路径圆环在均布扭力矩作用下的总势能等于应变能与外力势能之和3，即=Vp+V=2EIR(1 cos)2Rm(1)式中，E为圆环材料的弹性模量，I=r4/4为圆环横截面对形心轴的惯性矩。由最小势能原理=dd=0(2)将式(1)代入式(2)，再由=0可得m=EIR2si
7、n(3)根据式(2)，图2画出了均布力偶载荷m随横截面的转角的变化关系。从图中可以看出，当0 6 6/2时，m随着的增大而增大；当/2 6 6 时，m随着的增大而减小。这也就是说，当=/2时，m取得极大值，mmax=EI/R2。下面用能量法对变形过程的稳定性进行分析5。BGm0mEIR2pp/2-p/22p5p/2?FECADO3p/2EI R2图2 均布扭力矩m随横截面的转角的变化关系2系统的平衡稳定性分析将式(3)两边对求导两次，得22=2EIRcos(4)(1)当0 6 /2或3/2 0，系统的平衡状态是稳定的。(2)当/2 3/2时，22 0，系统的平衡状态是不稳定的。(3)当=/2或
8、=3/2时，22=0，必须进一步判断33。将式(4)两边再次对求导得33=2EIRsin(5)当=/2时，33 0，系统的平衡状态都是不稳定的。3圆环的变形与运动过程分析根据以上讨论可知，随着横截面转角的增大，平衡状态的稳定性是在发生变化的。在载荷m的作用下，其变形与运动过程是这样的。(1)当0 6 6/2时，m随着的增大而增大，此阶段的平衡状态是稳定的。(2)当=/2时，m取得极大值，mmax=EI/R2，此时平衡状态是不稳定的，圆环将失稳翻转，即文献5中所谓的跳跃。翻转过程中如果保持mmax不变(或继续增大)，将会直接跳跃到=5/2时的C 点。(3)当/2 6，此阶段若因施加某种约束，使得
9、翻转过程很缓慢，m 随着的增大而减小，圆环也有可能在某个位置处于平衡状态，如m=m0的E 点，但这个平衡状态将会是不稳定的，微小扰动下将会直接跳跃回到D 点。(4)当 6 2，此阶段相当于反向加载的情况，若从=2处反向加载至B点，将会直接跳跃到=/2时的G点，这里就不再仔细分析了。4圆环横截面上的内力最大值圆环横截面上的合弯矩为2-3M=2EIRsin2(6)第 2 期李道奎等：均布扭力矩作用下圆截面圆环的稳定性分析225根据以上分析可知，在没有施加其他约束的情况下，截面的转角不能达到，而是在达到/2时圆环就将翻转。因此，截面内力的最大值是在=/2时达到的，即Mmax=2EIR(7)而不是文献
10、23中给出在=时的Mmax=2EI/R。需要说明的是，翻转过程中尽管也会存在=的状态，但此状态转瞬而过，可以不考虑其受力情况。5 结论本文在文献3得到的圆截面圆环在均布扭力矩作用下总势能表达式的基础上，推导得到了圆环的平衡路径，并根据系统稳定性的能量判据，分析了圆截面圆环在均布扭力矩作用下的平衡稳定性、变形与运动过程，得到了稳定平衡状态下圆环横截面上的内力最大值。主要结论如下：(1)均布扭力矩作用下圆截面圆环的平衡状态，在扭转角 0,/2)或 (3/2,2时是稳定的，在 /2,3/2时是不稳定的；(2)当=/2时，扭力矩取得极大值，圆环将失稳翻转；(3)当=/2时，圆环横截面上的内力达到最大值
11、，且直接根据内力表达式得到的最大内力(在=时)因圆环失稳而不存在。参 考 文 献1 湖南大学.第十一届全国周培源大学生力学竞赛初赛试题.力学与实践,2017,39(3):314-318Hunan University.The test paper for the individual event,the 11th National Zhou Peiyuan Competition on Mechan-ics.Mechanics in Engineering,2017,39(3):314-318(inChinese)2 湖南大学.第十一届全国周培源大学生力学竞赛初赛试题答案.力学与实践,2017
12、,39(5):530-543Hunan University.The answer to the test paper for the in-dividual event,the 11th National Zhou Peiyuan Competi-tion on Mechanics.Mechanics in Engineering,2017,39(5):530-543(in Chinese)3 李道奎,肖万伸,任毅如等.一道力学竞赛题的多种解法及其相关问题讨论.力学与实践,2017,39(5):544-547Li Daokui,Xiao Wanshen,Ren Yiru,et al.Vari
13、ous solu-tions to a mechanical contest problem and the discussion onrelated problems.Mechanics in Engineering,2017,39(5):544-547(in Chinese)4 黄志龙.均布扭矩作用下任意截面圆环的稳定性及分叉.力学与实践,1996,18(2):56-57Huang Zhilong.Stability and bifurcation of a ring withany cross sectional area under constant distributed moment.Mechanics in Engineering,1996,18(2):56-57(in Chinese)5 武际可,苏先樾.弹性系统的稳定性.北京:科学出版社,1994(责任编辑:胡 漫)