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1、 对称性质在最值问题中的应用1. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，DAB60，E是AB边上的一点，且AE1，点Q为对角线AC上的动点，则BEQ周长的最小值为_第1题图 第2题图2. 在O中，AB是O的直径，AB8 cm，M是AB上一动点，CMDM的最小值是_3. 如图，已知点C(1，0)，直线yx7与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是AB，OA上的动点，当CDE周长最小时，点D坐标为_第3题图 第4题图4. 如图，矩形ABCD中，AB20，BC10，若在AC，AB上各取一点M，N，使BMMN的值最小，则这个最小值为_5.如图，在矩形ABCD中，AB4，BC2，E，F分别是AB，CD上的
2、动点，且EFAC.连接EC，AF，则ECAF的最小值为_第5题图6. 如图，抛物线的顶点D的坐标为(1，4)，抛物线与x轴相交于A，B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C(0，3)若点E的坐标为(0，3)，在抛物线的对称轴上有一点F，使得CEF的周长最小，请求出点F的坐标第6题图参考答案1. 1【解析】如解图，作点E关于AC的对称点E，连接EQ，EE，EB，且EB交AC于点Q.四边形ABCD为菱形，点E在AD上点E与点E关于AQ对称，QEQE.EB为定值，当EQ与BQ和最小时，QEB的周长最小QEQBQEQBQEBQBE，当点E，Q，B在一条直线上时，QEB的周长最小AEAE，DAB60，AE
3、E为等边三角形EEAAEE60，EEAE.AB2，AE1，EBAE，EEEB.EEBEBEEEA30，AEB90.EB.QEB的周长的最小值为EBBE1.第1题解图2. 8 cm【解析】如解图，作点C关于AB的对称点C，连接CD与AB相交于点M，连接CM，CC，CMDMCMDMCD，当M与M重合时，CMDM的值最小，由垂径定理，AB为直径，CD为直径，CMDM的最小值是8 cm.第2题解图3. (，)【解析】如解图，作点C关于OA的对称点C，点C关于直线AB的对称点C，连接CC交AB于点F，直线AB的解析式为yx7，OAOB7，AB7，C(1，0)，BC6，易得BCFBAO，即，BF3，易知A
4、BO为等腰直角三角形，过点F作FGx轴于点G，FGBG3，F(4，3)，F是CC中点，可得C(7，6)连接CC与AO交于点E，与AB交于点D，此时DEC周长最小，C(1，0)，C(7，6)，设直线DE的解析式为ykxb，解得，直线DE的解析式为yx，联立直线AB和直线DE的解析式可得，解得，点D的坐标为(，)即CDE周长最小时，点D的坐标为(，)第3题解图4. 16【解析】如解图，作点B关于直线AC的对称点B，交AC于点E，连接BM，过点B作BGAB于点G，交AC于点F，由对称性可知，BMMNBMMNBG，当且仅当点M与点F、点N与点G重合时，等号成立，AC10，点B与点B关于AC对称，BEA
5、C，SABCACBEABBC，得BE4，BB2BE8，BBGCBEACBCBE90，则BBGACB，又BGBABC90，得BGBABC，BG16.BMMN的最小值是16.第4题解图5. 5【解析】如解图，过点A作AAEF，且AAEF，连接AE，连接AC交AB于点E，四边形AAEF为平行四边形，AFAE，ECAFECAE，当A，E，C三点共线时，ECAF最小，最小值为AC.过点E作EGCD于点G，FEGEFG90，EFAC，EFGDCA90，FEGDCA，AB4，BC2，tanDCA，tanFEG，FG1，EF，AA.EFAC，AAEF，AAAC，在RtABC中，由勾股定理易得AC2，在RtAAC中，AC5.ECAF的最小值为5.第5题解图6. 解：设抛物线的表达式为：ya(x1)24，把x0，y3代入得：3a(01)24，解得：a1，抛物线的表达式为y(x1)24x22x3，如解图，作C关于对称轴的对称点C，连接EC交对称轴于点F，此时CFEF的值最小，则CEF的周长最小C(0，3)，对称轴为直线x1，C(2，3)，设直线CE的解析式为ykxb，将点C(2，3)，E(0，3)代入得，解得，则CE的解析式为y3x3，当x1时，y3(1)30，F(1，0)第6题解图