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1、中考数学一轮复习资料五合一核心考点重点题型高分秘籍题组特训过关检测 (全国通用版)第21讲圆核心考点1：圆的基本概念1与圆有关的概念和性质1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角6）弦心距：圆心到弦的距离2注意1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个3）任意三角形的
2、三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆核心考点2：垂径定理1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形2推论1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧核心考点3：圆心角、弧、弦的关系1定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立2推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等核心考点4：圆
3、周角定理及其推论1定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半2推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 2）直径所对的圆周角是直角 圆内接四边形的对角互补在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等核心考点5：与圆有关的位置关系1点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d(1)dr点在O外判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可2直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系drd=rdr由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置
4、或计算题中常常出现分类讨论多解的情况核心考点6：切线的性质与判定1切线的性质1）切线与圆只有一个公共点2）切线到圆心的距离等于圆的半径3）切线垂直于经过切点的半径利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题2切线的判定1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线判定常用的证明方法：知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径核心考点7：三角形与圆1三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆
5、的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等2三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等核心考点8：正多边形的有关概念正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距核心考点9：与圆有关的计算公式1弧长和扇
6、形面积的计算：扇形的弧长l=；扇形的面积S=2圆锥与侧面展开图1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2r，圆锥的侧面积为S圆锥侧=圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=rl+r2=r（l+r）在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解核圆中最重要的有三个考点：其一，圆周角定理；其二，切线的性质与判定定理;其三,与圆有关的计算1考查圆周角定理1如图，是的两条半径，点在上，若，则的度数为（）ABCD【答案】B【分析】根据圆周角定
7、理求解即可【详解】解：，故选：B【反思】本题考查了圆周角定理，熟练掌握一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半是解题的关键2如图，中，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（）AB2CD【答案】A【分析】首先证明点P在以为直径的上，连接交于点P，此时最小，再利用勾股定理求出即可解决问题【详解】解：，又，点P在以为直径的上，连接交于点P，此时最小，在中，最小值为，故选：A【反思】本题考查点与圆的位置关系、圆周角定理、动点线段最值问题等知识，解题的关键是确定点P的位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型2考查直线与圆的位置关系3如图，为的弦，点P在弦上，点O到的C距离为5，则
8、长为（）A7B8CD【答案】C【分析】过点O作，垂足为点C，根据垂径定理得到，从而得到，根据勾股定理计算即可【详解】解：过点O作，垂足为点C，因为，点O到的距离为5，所以，所以，所以故选：C【反思】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键3考查垂径定理4如图，是的直径，弦垂直于点，连接，则下列结论不一定成立的是（）ABCD【答案】B【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可【详解】解：是的直径，弦垂直于点，而不一定成立，故选：B【反思】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键5如图，已知的半径为，正三角形的边长为6，为
9、边上的动点，过点P作的切线，切点为，则的最小值为（）A5BCD6【答案】A【分析】连接、，过点作于，根据切线的性质得到，根据勾股定理求出，根据等边三角形的性质求出，根据垂线段最短解答即可【详解】解：连接、，过点作于，是的切线，当时，最小，取最小值，为等边三角形，的最小值为：，故选：A【反思】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键5考查切线的性质定理6如图，是的切线，B为切点，连接交于点C，延长交于点D，连接若，且，则的长度是（）A1BCD【答案】B【分析】如图，连接由圆周角定理可得，等量代换可得，进而可得，根据切线的定义得出，利用勾股
10、定理求出，则【详解】解：如图，连接由圆周角定理可得，是的切线，故选B【反思】本题主要考查圆周角定理、切线的定义、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，利用圆周角定理得出是解答本题的关键6考查正多边形与圆7如图，正六边形内接于，的半径为2，则边心距的长为（）A1BCD【答案】B【分析】证明是等边三角形，得出，由等边三角形的性质求出，再由勾股定理求出即可【详解】解：如图所示，连接，六边形为正六边形，是等边三角形，故选：B【反思】本题考查了正多边形和圆，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键6考查圆锥的侧面积8圆锥的底面半径为，母线长，则它的侧面展开图的圆心角度数是（）ABCD【答案】A【分析】根据圆
11、锥的底面半径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用已知的母线长求得圆锥的侧面展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心角即可.【详解】圆锥的底面半径为圆锥的侧面展开扇形的弧长为母线长圆锥的侧面展开扇形的面积为解得，侧面展开图的圆心角度数为故答案选A【反思】本题考查圆锥的底面半径，侧面积，明确圆锥的侧面展开扇形与圆锥的侧面关系解题的关键7考查切线的判定定理9如图，是的直径，C，D是上两点，是的中点，过点C作的垂线(1)求证：是的切线；(2)若，求的值【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接交于点G，可证明四边形是矩形，可求得，即可得证；（2）连接，设，利用，设，
12、利用的性质求出利用勾股定理求出半径，进而求解【详解】（1）证明：连接交于点G，点C是的中点，垂直平分，是的直径，四边形是矩形，是的半径，是的切线；（2）解：连接，设，设，由（1）得， 是的直径，解得（不符合题意，舍去）， ， 在中，由勾股定理得， 解得， 【反思】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质等知识，解决本题的关键是能够利用圆的对称性，得到垂直平分，利用相似与勾股定理的性质求出边，即可解答10如图1，AB是的直径，点D，F在上，延长至点C，连接，交于点E，连接，(1)证明：是O的切线；(2)如图2，连接，G是的中点，连接，若，求的值【分析】（1）如图1，连接OF由等边对等角可得
13、， 由对顶角相等可得，则由题意知，可证，则，即，进而结论得证（2）如图2，过点G作于点H由题意知，则，有，由，可得，进而可证为的中位线，即，可得，在中，计算求解即可【详解】（1）证明：如图，连接OF，又， ，即，又OF是半径，CF是O的切线（2）解：如图2，过点G作于点H由题意知，为中点，为的中位线，在中，【反思】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，垂径定理，中位线，正切等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握并灵活运用11如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为的下半圆弧的中点，连接交于F，若(1)求证：是的切线；(2)若，求阴影部分的面积【分析】（1）连接、，易
14、得，证明，即可得证；（2）连接，利用，进行求解即可【详解】（1）证明：连接、，D为弧的中点， ，为半径，是切线；（2）解：连接，在中，在中，【反思】本题考查圆周角定理，垂径定理的推论，切线的判定和性质，求阴影部分的面积熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键学会一题多解,一题多解很多同学在学习数学时,感觉数学很难,其实学习数学并不像你想像的那样难,只要你做到从不同角度思想同一个问题,做到学会一题多解,一题多解,你的数学成绩一定会突飞猛进!秘籍十五：学会一题多解,一题多解一、选择题1如图，点，是上的点，则的长是（）ABCD2如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧经过格点A，
15、B，C，的延长线经过格点D，则的长为（）ABCD3如图，在圆内接四边形中， ，为直径，若四边形的面积是S，的长是x，则S与x之间的数关系式是（）A BCD4如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线；分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线直线与相交于点O，若以点O为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（）A点B在上B是的外接圆C是的弦D是的切线5如图，点，在上，连接交于点，则的度数是（）A108B109C110D1126如图，在边长为正方形中，点在以为圆心的弧上，射线交于，连接，若，则=（）ABCD7如图，正五边形内接
16、于，其半径为1，作交于点，则的长为（）ABCD8如图，扇形中，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为（）ABCD9已知圆锥的底面半径为，设圆锥的母线与高的夹角为（如图所示），且的值为，则侧面积为（）A B C D 10如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，圆心的坐标为，与轴相切于原点，若将圆沿轴向右移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点的个数是（）A2B3C4D5二、填空题11如图，中，点P从C点出发，沿运动到点B停止，过点B作射线的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为_12如图，P是矩形对角线上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作若且，当与矩形的边相切时，的长为_1
17、3如图，的内切圆（圆心为点）与各边分别相切于点，连接，以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线下列说法正确的是_（填代码即可） A射线一定过点B点是三条中线的交点C若是等边三角形，则D点是三条边的垂直平分线的交点14如图，正方形和等边都内接于圆O，与分别相交于点G，H若，则的长为_15如图，在矩形中，点E是的中点，连接，点O是线段上一点，的半径为1，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 _16如图，在矩形中，为矩形的对角线的交点，以为圆心，半径为1作，为上的一个动点，连接、，则面积的最大值为_三、解答题17如图
18、，为的直径，为上的两点，C为的中点，于D(1)求证：是的切线；(2)若，求的长18如图，是的直径，是的切线，切点为B，连接PO，过点C作交于点A，连接(1)求证：是的切线；(2)若，的半径为3，求的长19如图，是的直径，C，E在上，平分，垂足为D，的延长线交于点F(1)求证：是的切线；(2)若，求图中阴影部分的面积20如图，分别与相切于E，F，G三点，且为的直径(1)延长交于点P，若，求图中阴影部分的面积；(2)连接，与交于点M，若，求的值一、选择题1如图，是的外接圆，若，半径为，则劣弧的长为()ABCD2如图，点A、B、C是上的三点，连接，若的半径是13，且，的值是（）ABCD3如图，在平面
19、直角坐标系中，点在轴的正半轴，点在轴的负半轴，经过四点，若，则点的坐标为（）ABCD4如图，在中，以边为直径作交于点，过点作的切线，交于点，交的延长线于点；若半径为3，且，则线段的长是（）AB5CD5如图，是的直径，是的切线，切点为点，过点的直线与交于点，则下列结论错误的是（）AB如果平分，C如果平分，那么D如果，那么也是的切线6如图，不等边内接于，I是其内心，内切圆半径为（）A4BCD7如图，在正方形中，E、F分别是、上一点，交对角线于点G，交于点G，现给出下列结论：；其中正确的是（）ABCD8如图，是四边形ABCD的外接圆，点E在CD的延长线上，若，则的度数是（）A60B80C90D100
20、9如图，边长为的正方形内接于，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（）ABCD10如图，扇形纸片的半径为2，沿折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（）ABCD二、填空题11如图1是博物馆展出的战国时期车轮实物，周礼考工记记载：“故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸”据此，为验证博物馆展出车轮类型，我们可以通过计算车轮的半径推断如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为作弦的垂线，D为垂足，经测量，则此车轮半径为_通过单位换算（在战国时期，一尺大约是左右），得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮 12如图，四边
21、形是的内接四边形，若，则的度数为_13已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是_14如图，网格中每个小正方形的边长为1，点P是外一点，连接交于点A，与相切于点N，点P，A，O均在格点上（）切线长PN等于_；（）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中作的切线PM，并简要说明切点M的位置是如何找到的（不要求证明）_15刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他首次提出“割圆术”，利用圆内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆周率，方法如图：作正六边形ABCDEF内接于，取的中点G，与交于点H；连接、；依次对剩余五段弧取中点可得一个圆内接正十二边形，记正十二边形的面积为，正六边形的面积为，则_三、解答
22、题16如图，已知点D是上一点，点C在直径的延长线上，与相切，交的延长线于点E，且(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径；求的长17如图，已知等边，以为直径的与边相交于点过点作，垂足为；过点作，垂足为(1)求证：是的切线；(2)若，求直径的长18如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F连接并延长交于点M(1)求证：直线是的切线；(2)若，求的长19如图，半圆与的边相切于点，与，边分别交于点，是半圆的直径(1)求证：是半圆的切线；(2)若，求和的长20如图，点在的平分线上，与相切于点(1)求证：是的切线；(2)与相交于点，直线交于点，若，求的半径学科
23、网（北京）股份有限公司中考数学一轮复习资料五合一核心考点+重点题型+高分秘籍+题组特训+过关检测 (全国通用版)第21讲圆题组特训详解一、 选择题1如图，点，是上的点，则的长是（）ABCD【答案】A【分析】根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系，得出，代入弧长计算公式即可【详解】所对的圆周角，所对的圆心角为，的长是，故选：A【点睛】本题考查同弧所对的圆周角与圆心角的关系及弧长的计算公式，解题的关键是求出2如图所示，在由边长为1的小正方形组成的网格图中，一段圆弧经过格点A，B，C，的延长线经过格点D，则的长为（）ABCD【答案】D【分析】如图，作的垂直平分线，两线交于O，F为的中点, 连接,由垂径定
24、理可得 ,，再运用勾股定理求得，再根据和弧长公式即可解答【详解】解：如图，作的垂直平分线，两线交于O，F为的中点，连接由垂径定理得： ,是直径根据网格图形可知：， ，是等腰直角三角形，所对的圆心角是，弧的长是故选：D【点睛】本题主要考查了垂径定理、弧长公式等知识点，根据题意找到圆心是解答本题的关键3如图，在圆内接四边形中， ，为直径，若四边形的面积是S，的长是x，则S与x之间的数关系式是（）A BCD【答案】C【分析】延长到E，使，连接，先证明，得到，再证明，最后得到【详解】解：如图，延长到E，使，连接，四边形是圆内接四边形，在和中，即，故选：C【点睛】本题考查了圆的内接四边形，全等三角形的判
25、定与性质，解题的关键是作辅助线，构造4如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线；分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线直线与相交于点O，若以点O为圆心，为半径作圆，则下列说法错误的是（）A点B在上B是的外接圆C是的弦D是的切线【答案】D【分析】根据作图可得直线与分别为的垂直平分线，从而得到是的外接圆，即可求解【详解】解：根据题意得：直线与分别为的垂直平分线，点O到的三个顶点的距离相等，是的外接圆，故B选项正确，不符合题意；点A、B、C在上，故A选项正确，不符合题意； ，是的弦，故C选项正确，不符合题意；D选项错误，符
26、合题意；故选：D【点睛】本题主要考查了尺规作图，三角形的外接圆，熟练掌握相关知识点是解题的关键5如图，点，在上，连接交于点，则的度数是（）A108B109C110D112【答案】B【分析】连接，由已知条件求得，由，得，继而求得，再根据三角形内角和性质，即可求得【详解】如解图，连接，故选B【点睛】本题考查了圆心角定理，圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角，熟悉以上知识是解题的关键6如图，在边长为正方形中，点在以为圆心的弧上，射线交于，连接，若，则=（）ABCD【答案】C【分析】设射线交于点，连接，证明，勾股定理得出，进而根据，列出方程，解方程即可求解【详解】解：如图所示，设射线交于点，连接，
27、是的直径，四边形是正方形，故选：C【点睛】本题考查了直角所对的弦是直角，正弦的定义，正方形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键7如图，正五边形内接于，其半径为1，作交于点，则的长为（）ABCD【答案】C【分析】求出弧所对圆心角的度数，代入弧长公式即可求得【详解】解：多边形为正五边形，的度数相等，的度数，的度数，的长度故选C【点睛】本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题关键8如图，扇形中，点为的中点，将扇形绕点顺时针旋转，得到扇形，则图中阴影部分的面积为（）ABCD【答案】B【分析】过点作于点，过点作交的延长线于点，设交于点，交于点，根据题意得出，进而根据即可求解【详解】解：如图所示，过
28、点作于点，过点作交的延长线于点，设交于点，交于点，则四边形是正方形，在中，故选：B【点睛】本题考查了求扇形面积，旋转的性质，正方形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键9已知圆锥的底面半径为，设圆锥的母线与高的夹角为（如图所示），且的值为，则侧面积为（）A B C D 【答案】C【分析】由题意可知圆锥母线长为，求出底面圆周长，再由圆锥侧面展开图是一个扇形，利用扇形面积公式求解即可得到答案【详解】解：的值为，圆锥的底面半径为，母线长为，底面圆周长为，圆锥的侧面积，故选：C【点睛】本题考查求圆锥侧面积，涉及三角函数求边长、圆周长及扇形面积公式，熟记圆锥侧面展开图是一个扇形是解决问题的关键10如图，直
29、线与轴、轴分别相交于、两点，圆心的坐标为，与轴相切于原点，若将圆沿轴向右移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点的个数是（）A2B3C4D5【答案】B【分析】先判断图中的特殊直角三角形，画出与该直线相切时的位置，再在圆和直线相交过程中找到所有整数点即可【详解】在上，令；令Rt中如图所示，当在P点和点时和直线相切，切点分别为M，N当与该直线相交时，横坐标为整数的点即线段之间的三个点故选：B【点睛】此题考查圆与切线的关系，结合平面直角坐标系求点的坐标，解题关键是画出两种可能性，看图选整数点即可二、填空题11如图，中，点P从C点出发，沿运动到点B停止，过点B作射线的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为
30、_【答案】#【分析】由，得点Q在以为直径的O上运动，运动路径为弧，连接，代入弧长公式即可计算【详解】，四点共圆，点Q在以为直径的O上运动，运动路径为弧，连接，弧的长为，故答案为：【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，确定点Q在以为直径的O上运动是解题的关键12如图，P是矩形对角线上的一个动点，以点P为圆心，长为半径作若且，当与矩形的边相切时，的长为_【答案】或【分析】由锐角的正切求出的长，分两种情况，由相似三角形的性质即可求出的长【详解】解：由题意知只能与，相切，作与M，于N，令，当与相切时，四边形是矩形，；当与相切时，的长是或故答案为：或【点睛】本题考查切线的性质，矩形的性质，解直角三
31、角形，相似三角形的判定和性质，关键是要分两种情况讨论13如图，的内切圆（圆心为点）与各边分别相切于点，连接，以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线下列说法正确的是_（填代码即可） A射线一定过点B点是三条中线的交点C若是等边三角形，则D点是三条边的垂直平分线的交点【答案】ACD【分析】根据三角形内切圆和外接圆的性质逐一判断即可【详解】解： A、的内切圆圆心为O，点O是三条角平分线的交点，以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线，由此可得BP是角平分
32、线，所以射线一定过点O，说法正确，故此选项符合题意；B、都在上，是的外接圆，点O是三条边的垂直平分线的交点，故此选项不符合题意；C、当是等边三角形时，则，与相切于点D，三点共线，点D是的中点，同理点E是的中点，是的中位线，故此选项符合题意；D、都在上，是的外接圆，点O是三条边的垂直平分线的交点，故此选项符合题意；故答案为：ACD【点睛】本题考查了三角形内切圆和外接圆的特点和性质，三角形中位线定理，解题的关键是能与其它知识联系起来，加以证明选项的正确14如图，正方形和等边都内接于圆O，与分别相交于点G，H若，则的长为_【答案】#【分析】连接与交于P点，则它们的交点为O点，如图，利用正方形和等边三
33、角形的性质得到，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，从而得到，然后利用为等腰直角三角形得到，从而得到【详解】解：连接与交于P点，则它们的交点为O点，如图，正方形和等边都内接于圆O，在中，为等腰直角三角形，故答案为：【点睛】本题考查了三角形的外心与外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了等边三角形和正方形的性质15如图，在矩形中，点E是的中点，连接，点O是线段上一点，的半径为1，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 _【答案】【分析】根据题意，需要分分别与边相切两种情况下，计算出长度即可解答【详解】解：设与相切于点F，连接， ，中，即
34、，若与相切时，和一定相交；若与相切时，和一定相离同理当与相切于点M时，连接，计算得，此时， 当时，与矩形的各边都没有公共点，故答案为：【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是分两种情况计算16如图，在矩形中，为矩形的对角线的交点，以为圆心，半径为1作，为上的一个动点，连接、，则面积的最大值为_【答案】14.5【分析】当P点移动到过点P的直线平行于且与相切时，面积的最大，由于P为切点，得出垂直于切线，进而得出，根据勾股定理先求得的长，进而求得的长，根据，求得的长，从而求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求得【详解】当P点移动到过点P的直线平行于且与相切时，面积
35、的最大，如图，过点P的直线是的切线，垂直于切线，延长交于M，则，在矩形中，的最大面积，故答案为：【点睛】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定与性质，判断出点P处于什么位置时面积最大是解题关键三、解答题17如图，为的直径，为上的两点，C为的中点，于D(1)求证：是的切线；(2)若，求的长【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，利用弧与圆周角的关系可得，从而结合等腰三角形的性质和平行线的判定可得，然后利用切线的判定定理进行证明；（2）通过证明，然后利用相似三角形的性质分析求解【详解】（1）证明：连接，点C是的中点， ，即：，是的切线；（2）解
36、：连接，是的切线，为的直径，又，即， ，即，【点睛】本题考查切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相关性质定理，准确添加辅助线是解题关键18如图，是的直径，是的切线，切点为B，连接PO，过点C作交于点A，连接(1)求证：是的切线；(2)若，的半径为3，求的长【答案】(1)见解析(2)AC的长为【分析】（1）连接，证明，可得，由是的切线，可得，进而可证结论成立；（2）连接交于点D，可证垂直平分，设，利用勾股定理求出x的值，由圆周角定理可知，再利用勾股定理可求出的长【详解】（1）连接，是的切线，是的切线；（2）连接交于点D的半径为3，垂直平分，设，解得，是的直径，【点睛】本题考查了切线的判
37、定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，以及锐角三角函数的知识，正确作出辅助线是解答本题的关键19如图，是的直径，C，E在上，平分，垂足为D，的延长线交于点F(1)求证：是的切线；(2)若，求图中阴影部分的面积【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据角平分线的意义和等边对等角得出，继而根据平行线的判定与性质求出，根据切线的判定证明即可；（2）作于点P，利用特殊角的三角函数值求出，进而求出，最后根据求解即可【详解】（1）证明：如图，连接平分，是的半径，是的切线；（2）如图，作于点P，则四边形是矩形，【点睛】本题考查了角平分线的意义和等边对等角，平行线的判定与性
38、质，切线的判定，解直角三角形等知识连接常用的辅助线是解题关键20如图，分别与相切于E，F，G三点，且为的直径(1)延长交于点P，若，求图中阴影部分的面积；(2)连接，与交于点M，若，求的值【答案】(1)(2)【分析】（1）连接根据切线的性质和切线长定理可知，即易证，得出，从而可求出再根据，即可证明，说明O、B、P、C四点共圆，由圆内接四边形的性质可知，即可求出，易证，得出，从而可求出，进而可求出，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求出，由扇形的面积公式可求出又易求出，从而可求出，最后由求解即可；（2）连接，过点B作于点H，交于点P由（1）可知，设，则，由所作辅助线结合题意可知四边形为矩形，即得出，从而可求出再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x的值，即得出，易证，得出，代入数据即可求出又易证，即得出【详解】（1）解：如图，连接分别与相切于E，F，G三点，又，O、B、P、C四点共圆，即，