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1、专题五中点与角平分线的常见模型图形中出现中点,可以引起我们丰富的联想:它和三角形的中线、中位线紧密联系,可以和平行线一起构造全等三角形,另外,中点还可以与中心对称、圆中的垂径定理相联系.解答中点问题的关键是通过联想,恰当地添加辅助线,如构造三角形中位线、作直角三角形斜边上的中线、作倍长中线、构造中心对称图形等.角平分线往往是解决复杂平面问题的切入点,当题目中出现角平分线(或容易得到角平分线)时,首先考虑利用角平分线定理构造与角有关的对称图形,若另有平行或垂直等条件,则可以考虑构造等腰三角形或对称图形求解.目录一、与中点有关的常见模型模型1利用中点和平行线构造全等三角形模型2利用多个中点构造中位
2、线模型3在等腰三角形中,构造“三线合一”模型4在直角三角形中,构造斜边上的中线模型5在圆中,利用中点构造垂径定理(见圆有关章节)二、与角平分线有关的常见模型模型1构造与角有关的对称图形模型2“角平分线、平行线、等腰三角形”知二得一典例精析一、与中点有关的常见模型模型1利用中点和平行线构造全等三角形典例1(2020北京改编)在ABC中,ACB=90,ACBC,D是AB的中点.E是线段CA的延长线上一个动点,连接DE.过点D作DFDE,交BC的延长线于点F,连接EF.求证:AE2+BF2=EF2.【答案】如图,过点B作BMAC,与ED的延长线交于点M,连接MF.AED=BMD,CBM=ACB=90
3、.D是AB的中点,AD=BD.在ADE和BDM中,AED=BMD,ADE=BDM,AD=BD,ADEBDM(AAS),AE=BM,DE=DM.DFDE,EF=MF.在RtBMF中,BM2+BF2=MF2,AE2+BF2=EF2.如图1,若D是BC的中点,ACBE,则ACDEBD.如图2,若AD是ABC的中线,过点B作AC的平行线,交三角形的中线AD的延长线于点E,则AD=DE,这其实就是我们常讲的倍长中线法.模型2利用多个中点构造中位线典例2如图,在ABC中,分别以AB,AC为腰向外侧作等腰RtADB与等腰RtAEC,DAB=EAC=90,连接DC,EB相交于点O,BE=BC,且G,F分别是D
4、B,EC的中点,求GFBC的值.【答案】取DE的中点H,连接GH,FH.DAB=EAC=90,BAE=DAC.在BAE和DAC中,AB=AD,BAE=DAC,AE=AC,BAEDAC(SAS),ABE=ADC,BE=CD.BAD=90,DOB=90,即BECD.G是BD的中点,GHBE,GH=12BE.同理,FHCD,FH=12CD.BE=CD,BECD,GH=FH,GHFH,HGF为等腰直角三角形,GF=2GH.GH=12BE,GF=22BE.BE=BC,GFBC=22.对于图形中有多个中点的情况,连接同一个三角形两边上的中点,构造中位线.特别是已知四边形的对边中点,常取第三边的中点或对角线
5、的中点构造中位线,如图:模型3在等腰三角形中,构造“三线合一”典例3如图,在平行四边形ABCD中,AD=2,AB=6,B是锐角,AEBC于点E,F是AB的中点,连接DF,EF.若EFD=90,求AE的长.【答案】延长EF交DA的延长线于点Q,连接DE,设BE=x.四边形ABCD是平行四边形,DQBC,Q=BEF.AF=BF,AFQ=BFE,QFAEFB(AAS),AQ=BE=x,QF=EF.EFD=90,DFQE,DE=DQ=x+2.AEBC,BCAD,AEAD,EAD=AEB=90.AE2=DE2AD2=AB2BE2,(x+2)24=6x2,整理得2x2+4x6=0,解得x=1或x=3(舍去
6、),BE=1,AE=AB2-BE2=6-1=5.当等腰三角形有底边上的中点时,通常作底边上的中线,利用“三线合一”的性质解题.模型4在直角三角形中,构造斜边上的中线典例4如图,在ABC中,C=25,点D在边BC上,且DAC=90,AB=12DC,求BAC的度数.【答案】取CD的中点E,连接AE.DAC=90,AE=EC=12DC,EAC=C=25,AED=25+25=50.又AB=12DC,AB=AE,B=AED=50,BAC=180BC=1805025=105.当直角三角形中有斜边上的中点时,常作斜边上的中线,利用“斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD=AD=BD=12AB来解题.有时有直角
7、无中点,要找中点,可简记为“直角+中点,等腰必呈现”.此模型作用:证明线段相等或求线段长;构造角相等进行等量代换.模型5在圆中,利用中点构造垂径定理(见圆有关章节)二、与角平分线有关的常见模型模型1构造与角有关的对称图形典例5如图,在四边形ABCD中,AB=14,CD=8,BAD=45,BCD=90,BD平分ABC,求BC的长.【答案】过点D作DEAB于点E.BD平分ABC,DE=CD=8.BAD=45,DEAB,AE=DE=8,BE=ABAE=6,BC=BE=6.若P是AOB平分线上一点,通常利用角的对称性构造对称图形.若PCOA于点C,则作PDOB于点D,如图1;若C是OA上任意一点,则在
8、OB上取点D,使OD=OC,连接PD,如图2;过点P作OP的垂线分别交OA,OB于点C,D,如图3.模型2“角平分线、平行线、等腰三角形”知二得一典例6如图,在ABCD中,AE平分BAD,交CD于点F,交BC的延长线于点E,连接BF.求证:BE=CD.【答案】四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AB=CD,EAD=E.AE平分BAD,BAE=EAD,BAE=E,AB=BE.又AB=CD,BE=CD.如图,AD平分EAC,ADBC,AB=AC,把其中两个作为条件,第三个作为结论的命题都是真命题,可简记为“平平等”.针对训练1.如图,P是AOB的平分线OC上一点,PDOB,垂足为D.若PD=2,
9、则点P到边OA的距离是( B )A.1B.2C.3D.4【解析】过点P作PEOA,垂足为E.P是AOB的平分线OC上一点,PDOB,PEOA,PE=PD=2.2.如图,在RtABC中,ACB=90,CD为中线,延长CB至点E,使BE=BC,连接DE,F为DE中点,连接BF.若AC=8,BC=6,则BF的长为( B )A.2B.2.5C.3D.4【解析】在RtABC中,ACB=90,AC=8,BC=6,AB=AC2+BC2=82+62=10.又CD为中线,CD=12AB=5.F为DE中点,BE=BC,即B是EC的中点,BF=12CD=2.5.3.如图,在ABCD中,按以下步骤作图:以点A为圆心,
10、任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;分别以点M,N为圆心,大于12MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;作射线AP交边CD于点Q.若DQ=2QC,BC=2,则ABCD的周长为10.【解析】由作图知,AQ是BAD的平分线,BAQ=DAQ.又四边形ABCD是平行四边形,ABCD,DQA=BAQ,DAQ=DQA,DQ=DA=2.DQ=2QC,QC=1,ABCD的周长为2(BC+CD)=25=10.4.(2021江苏泰州)如图,在四边形ABCD中,AB=CD=4,且AB与CD不平行,P,M,N分别是AD,BD,AC的中点,设PMN的面积为S,则S的范围是00.MEMP=2,0SPMN2.5.如
11、图,E是ABCD的边AD的中点,连接CE并延长交BA的延长线于点F.若CD=6,求BF的长.解:E是ABCD的边AD的中点,AE=DE.四边形ABCD是平行四边形,AB=CD=6,ABCD,F=DCE.在AEF和DEC中,F=DCE,AEF=DEC,AE=DE,AEFDEC(AAS),AF=CD=6,BF=AB+AF=12.6.如图,ABC和ECD是等腰直角三角形,CEBC于点C,取BD的中点N,连接EN并延长交BC于点M,连接AN,AM,AE.(1)直接写出:AN与EM的位置关系是ANEM,AN与EM的数量关系是AN=12EM.(2)请证明上述关系.解:(2)DEC=BCE=90,DEBC,
12、EDN=MBN.又DN=BN,END=MNB,ENDMNB(ASA),MN=EN,BM=DE.ABC是等腰直角三角形,AB=AC,ACB=45.BCE=90,ACE=45=ABM.AB=AC,ABM=ACE,BM=CE,ABMACE(SAS),AM=AE,BAM=CAE,MAE=BAC=90.MN=EN,ANEM,AN=12EM.7.在ABC中,如图1,D,E分别是线段AB,AC上的点,G,F,H分别是DE,BE,BC的中点.(1)证明:A+GFH=180.(2)若AB=AC,AD=AE,将ADE绕点A逆时针旋转一定的角度,其他条件不变,连接BD,CE,GH,如图2.求证:FGH是等腰三角形.
13、解:(1)G,F,H分别是DE,BE,BC的中点,FG,FH分别是BDE和BCE的中位线,FGBD,FHCE,ABE=EFG,EFH=EBC+BHF=EBC+C,GFH=ABE+EBC+C=180A,A+GFH=180.(2)由旋转的性质知DAE=BAC,DAB=EAC.又AD=AE,AB=AC,DABEAC(SAS),BD=CE.又FG,FH分别是BDE和BCE的中位线,FG=12BD,FH=12CE,FG=FH,即FGH是等腰三角形.8.(2021山东东营)已知O是线段AB的中点,P是直线l上的任意一点,分别过点A和点B作直线l的垂线,垂足分别为C和D.我们定义垂足与中点之间的距离为“足中
14、距”.(1)【猜想验证】如图1,当点P与点O重合时,请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是OC=OD.(2)【探究证明】如图2,当P是线段AB上的任意一点时,“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立,若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(3)【拓展延伸】如图3,当P是线段BA延长线上的任意一点时,“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立,若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.若COD=60,请直接写出线段AC,BD,OC之间的数量关系.解:(2)数量关系依然成立.理由:如图1,过点O作EFCD,交BD于点F,交AC的延长线于点E.EFCD,DCE=E=CDF=90,四边形CEFD为矩形,DFO=90,CE=DF.由(1)知OE=OF.在COE与DOF中,CE=DF,OEC=OFD,OE=OF,COEDOF(SAS),OC=OD.(3)结论成立.理由:如图2,延长CO交DB的延长线于点E.ACCD,BDCD,ACBD,ACO=E.O为AB的中点,AO=BO.又AOC=BOE,AOCBOE(AAS),OC=OE.CDE=90,OD=12CE,OC=OD.AC+BD=3OC.