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1、专题9 分式方程 2023年中考数学一轮复习专题训练（湖南省专用）一、单选题1（2022七上长沙开学考）如果关于x的不等式组m-5x2x-1123(x+12)有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程2-my2-y-8y-2=1有非负数解，则符合条件的所有整数m的和是（） A13B15C20D222（2022九下雨花期中）分式方程12x=2x+3的解是（）Ax=0Bx=1Cx=2Dx=33（2021八上永定期末）关于x的方程 m-1x-1+x1-x=0 有增根，则m的值是（） A2B1C0D-14（2021九上长沙期末）若关于x的分式方程 3x-2= 1 -m2-x 的解为非负数，则m的取值范围是
2、（）Am5Bm5且m3Cm3Dm5且m35（2021八上永州月考）已知关于x的方程3x-1-x+ax(x-1)=0的增根是1，则字母a的取值为()A2B2C1D16（2021八上开福月考）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车快20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了 14 .设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是() A40x+20=3440xB40x=3440x+20C40x+20+14=40xD40x=40x+20-147（2021八上开福月考）如果关于x的方程 x+12x-6+ax6-x=1 有正整数解，且关
3、于y的不等式组 3y-1051a-y1 至少有两个偶数解，则满足条件的整数a有（）个. A0B1C2D38（2021八上新化期中）若关于x 的方程 m-1x-1-xx-1=0 有增根，则m 的值是（）A3B2C1D任意值9（2021九上长沙期中）高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360km的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为x km/h，依题意，下面所列方程正确的是（） A360x-3603x=3B3603x-360x=3C360x-36013x=3D36013x-360x=310（2021怀化）定义 ab
4、=2a+1b ，则方程 3x=42 的解为（） Ax=15Bx=25Cx=35Dx=45二、填空题11（2022岳阳）分式方程3xx+1=2的解为x= .12（2022永州）解分式方程2x-1x+1=0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 .13（2022常德）方程2x+1x(x-2)=52x的解为 .14（2022邵阳）分式方程5x-2-3x=0的根为 15（2022九下长沙月考）若分式方程mx-222-x3无解，则m的值是 .16（2022八下湖南开学考）若关于x的分式方程xx-3+a3-x=-1有增根，则a= .17（2021八上岳阳期末）若关于x的方程 x+1x-2=mx-2 有增根，
5、则m的值是 .18（2021八上永州月考）若数a使关于x的不等式组x3-112(x-1)2x-a3(1-x)有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程3yy-2+a-122-y 1 有整数解，则满足条件的所有a的值之和是 19（2021衡阳）“绿水青山就是金山银山”.某地为美化环境，计划种植树木6000棵.由于志愿者的加入，实际每天植树的棵树比原计划增加了25%，结果提前3天完成任务.则实际每天植树 棵.20（2021八上汉寿期末）某市为绿化环境计划植树3000棵，实际劳动中每天植树的数量比原计划多30%，结果提前5天完成任务.若设原计划每天植树 x 棵，则根据题意可列方程为 . 三、综合题21
6、（2022益阳）在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛已知乙每小时收割的亩数比甲少40%，两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为3%，2%（1）甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？（2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的100亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过2.4%，则最多安排甲收割多少小时？22（2022怀化）去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了
7、400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元.（1）求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？（2）为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售. 优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折：若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折.设今年该部门购买了a套，购买费用为W元，请写出W关于a的函数关系式.（3）在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？23（2021郴州）“七一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生.已知A奖品比
8、B奖品每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍.（1）求A，B奖品的单价；（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，A，B两种奖品共100件，求购买A，B两种奖品的数量，有哪几种方案？24（2021开福模拟）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降.今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元.（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）为了
9、增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金 a 元，要使（2）中所有方案获利相同， a 值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？ 25（2021蒸湘模拟）如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线ACB方可到达.当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，当地政府决定对A，B两地间的道路进行改建，修建一条从A地到景区B
10、的笔直公路，这样由A地沿直线AB行驶，直接可以到达B地.已知A45，B30，BC100千米.（1）公路修建后，求从A地直接到景区B地旅游大约要走多少千米？（结果保留整数）（考数据：2 1.4， 3 1.7）（2）为迎接“五一”旅游旺季的到来，需加快修建公路的速度，于是施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前50天完成了施工任务，请在（1）的条件下，求施工队原计划每天修建多少千米？答案解析部分1【答案】B【解析】【解答】解：原不等式组的解集为 -72xm-25 ， 因为不等式组有且仅有四个整数解，所以 0m-251 ，解得 2m1 ，且 m5 ，因为 m=
11、5 时 y=2 是原分式方程的増根所以符合条件的所有整数 m 的和是 2+3+4+6=15 故答案为：B.【分析】分别求出两个不等式的解集，取其公共部分可得不等式组的解集，结合不等式组有且仅有四个整数解可得关于m的不等式组，求出m的范围，解分式方程表示出y，由分式方程有非负数解可得m的范围，据此可得符合条件的整数m的值，然后求和即可.2【答案】B【解析】【解答】解：方程的两边同乘2x（x+3），得x+3=4x，解得x=1.检验：把x=1代入2x（x+3）=80.原方程的解为：x=1.故答案为：B.【分析】方程的两边同乘2x（x+3）约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检
12、验即可得出答案.3【答案】A【解析】【解答】解：两边都乘（x1），得：m1x0，方程有增根，最简公分母x1=0，即增根是x=1，把x=1代入整式方程，得m=2.故答案为：A.【分析】所谓增根，就是使最简公分母为0的根，据此先求出增根是x=1，再根据分式方程的增根是将分式方程去分母得的整式方程的根，于是将分式方程化为整式方程，将x=1代入整式方程求出m即可.4【答案】B【解析】【解答】解：去分母得，3=x-2+m，解得，x=5-m，分式方程的解为非负数，5-m0，m5，又x2，5-m2，m3，m的取值范围是m5且m3.故答案为：B. 【分析】根据去分母、移项、合并同类项可得方程的解为x=5-m，
13、根据方程的解为非负数可得x=5-m0且x=5-m2，求解即可.5【答案】A【解析】【解答】解：3x-1-x+ax(x-1)=0，去分母得：3x-（x+a）=0，关于x的方程3x-1-x+ax(x-1)=0的增根是1，把x=1代入得：3-（1+a）=0，解得：a=2，故答案为：A.【分析】分式方程的增根就是使其最简公分母为0的根，据此求出x=1，再将分式方程化为整式方程，又分式方程的增根是将分式方程去分母转化成的整式方程的根，然后将x=1代入整式方程求出a值.6【答案】A【解析】【解答】解：设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/时，根据回来时路上所花时间比去时节
14、省了 14 ，得出回来时所用时间为： 34 40x ，根据题意得出：40x+20 = 34 40x.故答案为：A.【分析】设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/时，然后表示出出租车、公共汽车所用的时间，结合回来时路上所花时间比去时节省了 14就可列出方程.7【答案】C【解析】【解答】解：解方程x+12x-6+ax6-x=1 得，x= 18a ， x-60，x6，18a 6，a3，x+12x-6+ax6-x=1 有正整数解，整数a=1，2，6，9，18，解不等式组得 y5ya-1 ，不等式组的解集为： a-1y5 ，关于y的不等式组 3y-1051a-y1 至少
15、有两个偶数解，a-12，a3，满足条件的整数a有两个1，2.故答案为：C.【分析】解关于x的分式方程，用含a的式子表示出x，根据分式有意义的条件可得x6，则a3，由分式方程有正整数解可得a的值；表示出不等式组的解集，根据其至少有两个偶数解可得a3，据此可得满足条件的整数a的值.8【答案】B【解析】【解答】解： m-1x-1-xx-1=0 ， 方程两边都乘以 (x-1) ，得m-1-x=0 ，原方程有增根，最简公分母 x-1=0 ，解得x=1，当x=1时，m=2，故m的值是2.故答案为：B.【分析】给方程两边同时乘以x-1，得m-1-x=0，由分式方程有增根可得x=1，将x=1代m-1-x=0中
16、就可求出m的值.9【答案】A【解析】【解答】解： 设普通列车的平均速度为x km/h， 由题意得： 360x-3603x=3 .故答案为：A.【分析】设普通列车的平均速度为x km/h，根据时间=路程时间，可得普列的时间=360x，高铁的时间=3603x，结合两者的时间差为3h建立方程，即可解答.10【答案】B【解析】【解答】ab=2a+1b , 3x=42 变形为 23+1x=24+12 ,解得 x=25 ，经检验 x=25 是原方程的根，故答案为：B【分析】利用新定义运算，列出方程，然后求出方程的解.11【答案】2【解析】【解答】解：3xx+1=2，3x=2x+2，x=2，经检验x=2是方
17、程的解.故答案为：2.【分析】给方程两边同时乘以(x+1)将分式方程转化整式方程，解整式方程求出x的值，然后进行检验即可.12【答案】x（x+1）【解析】【解答】解： 分式方程2x-1x+1=0的最简公分母为x（x+1）.故答案为：x（x+1）.【分析】观察此分式方程中的分母，可得到此分式方程的最简公分母.13【答案】x=4【解析】【解答】解：方程两边同时乘以2x(x-2)，22(x-2)+2=5(x-2)4x-8+2=5x-10解得x=4经检验，x=4是原方程的解故答案为：x=4.【分析】给方程两边同时乘以2x(x-2)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，然后进行检验即
18、可.14【答案】x=-3【解析】【解答】解：5x-2-3x=0，去分母得：5x-3(x-2)=0，解得：x=-3，检验：当x=-3时，x(x-3)0，所以，原分式方程的解为x=-3.故答案是：x=-3.【分析】给方程两边同时乘以x(x-2)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程，求出x的值，然后进行检验即可.15【答案】2【解析】【解答】解：解分式方程，得x=m+43，因为分式方程无解，所以x=2，所以m+43=2解得m=2.故答案为：2.【分析】首先给方程两边同时乘以(x-2)可得m-2=3(x-2)，表示出x，根据分式方程无解可得x=2，据此求解即可.16【答案】3【解析】【解答】
19、解：xx-3+a3-x=-1，去分母得： xa3-x，由分式方程有增根，得到x30，即x3，代入整式方程得：3a3-3，解得：a3.故答案为：3.【分析】将分式方程化为整式方程可得xa3-x，所谓增根，就是使最简公分母为0的根，据此可得出x的值，分式方程的增根是将分式方程去分母转化成的整式方程的根，据此将x的值代入x-a3-x中求解就可得到a的值.17【答案】3【解析】【解答】解：方程两边都乘x-2，得 x+1=m方程有增根，最简公分母x-2=0，即增根是x=2，把x=2代入整式方程，得 m=3 .故答案为： 3 .【分析】所谓增根，就是使最简公分母为0的根，据此先求出增根是x=2，再根据分式
20、方程的增根是将分式方程去分母得的整式方程的根，于是将分式方程化为整式方程，将x=2代入整式方程求出m即可.18【答案】-18【解析】【解答】解：x3-112(x-1)2x-a3(1-x)，解得x-3，解得x3+a5，不等式组的解集是-3x3+a5.仅有三个整数解-3，-2，-1，-13+a50-8a-3，3yy-2+a-122-y 13y-a+12=y-2.y=a-142，y2，a18又y=a-142有整数解，a=-8，-6，-4，所有满足条件的整数a的值之和是-8-6-4=-18，故答案为：-18.【分析】 分别解出不等式组中的每一个不等式的解集，根据不等式组有且仅有三个整数解，可得-13+
21、a50，求出-8a-3；解出分式方程y=a-142，由分式方程有整数解且y2，求出a的整数解，再相加即可.19【答案】500【解析】【解答】解：设原计划每天植树 x 棵，则实际每天植树 (1+25%)x ， 6000x-60001.25x=3 ，x=400 ，经检验， x=400 是原方程的解，实际每天植树 4001.25=500 棵，故答案是：500. 【分析】设原计划每天植树 x 棵，则实际每天植树 (1+25%)x ，根据计划所用的时间-实际所用的时间=3天，列出方程，求解并检验即可.20【答案】3000x-30001.2x=5【解析】【解答】解：设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（1
22、20%）x1.2x，根据题意可得： 3000x-30001.2x=5 ，故答案为： 3000x-30001.2x=5 .【分析】设原计划每天植树x棵，则实际每天植树（120%）x1.2x，根据“原计划所用时间实际所用时间5”列方程即可.21【答案】（1）解：设甲操控A型号收割机每小时收割x亩水稻，则乙操控B型号收割机每小时收割（140%）x亩水稻，依题意得：6(1-40%)x-6x=0.4，解得：x10，经检验，x10是原方程的解，且符合题意，（140%）x（140%）106答：甲操控A型号收割机每小时收割10亩水稻，乙操控B型号收割机每小时收割6亩水稻（2）解：设安排甲收割y小时，则安排乙收
23、割100-10y6小时，依题意得：3%10y2%6100-10y62.4%100，解得：y4答：最多安排甲收割4小时【解析】【分析】（1）抓住关键已知条件：乙每小时收割的亩数比甲少40%；两人各收割6亩水稻，乙则比甲多用0.4小时完成任务；再利用包含了两个已知条件，据此设未知数，列方程，然后求出方程的解.（2）设安排甲收割y小时，可表示出安排乙收割的时间，根据要求平均损失率不超过2.4%，建立关于y的不等式，然后求出不等式的最大值即可.22【答案】（1）解：设每件雨衣(x+5)元，每双雨鞋x元，则400x+5=350x，解得x=35，经检验，x=35是原分式方程的根，x+5=40，答：每件雨衣
24、40元，每双雨鞋35元；（2）解：据题意，一套原价为35+40=75元，下降20%后的现价为75(1-20%)=60元，则W=a600.9=54a，0a270，购买的套数在a5范围内，即48a+30320，解得a145246.042，答：在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买6套.【解析】【分析】（1）设每件雨衣(x+5)元，每双雨鞋x元，用400元可以购买雨衣的数量为400x+5，用350元可以购买雨鞋的数量为350x，然后根据数量相同列出方程，求解即可；（2） 根据题意可得一套原价为35+40=75元，下降20%后的现价为75(1-20%)=60元，根据套数现价0.
25、9可得一次购买不超过5套时对应的W与a的关系式；购买超过5套时，前5套的钱数为5600.9元，超过5套部分的钱数为(a-5)600.8元，相加可得W与a的关系式；（3）令（2）求出的超过5套的函数关系式中的W320，求解即可.23【答案】（1）解：设A奖品的单价为x元，则B奖品的单价为（x25）元， 由题意得： 800x3 1700-800x-25 ，解得：x40，经检验，x40是原方程的解，则x2515，答：A奖品的单价为40元，则B奖品的单价为15元（2）解：设购买A种奖品的数量为m件，则购买B种奖品的数量为（100m）件， 由题意得： 400.8m720400.8m+150.8(100-
26、m)170 ，解得：22.5m25，m为正整数，m的值为23，24，25，有三种方案：购买A种奖品23件，B种奖品77件；购买A种奖品24件，B种奖品76件；购买A种奖品25件，B种奖品75件.【解析】【分析】（1）设A奖品的单价为x元，分别表示出购买A、B奖品的数量，然后根据购买B奖品的数量是A奖品的3倍可列出关于x的方程，求解即可；（2）设购买A种奖品的数量为m件，则400.8m720，400.8m+150.8(100-m)170，联立求解可得m的范围，然后根据m为正整数可得m的值，据此可得方案.24【答案】（1）解：设今年三月份甲种电脑每台售价 x 元， 100000x+1000=800
27、00x ，解得：x4000经检验：x4000是原方程的根，所以甲种电脑今年每台售价4000元.（2）解：设购进甲种电脑x台， 480003500x+3000(15-x)5000解得6x10因为x的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案（3）解：设总获利为W元， W（4000-3500）x+(3800-3000-a)(a-300)x+12000-15a当a300时，（2）中方案获利相同.此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台时对公司更有利（利润相同，成本最低）.【解析】【分析】（1）抓住关键已知条件：今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，据此设未知
28、数，列方程，然后求出方程的解即可.（2）根据已知条件：公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，包含了两个不等式和一个方程，设未知数，列出不等式组，然后求出不等式组的整数解，可得具体的方案.（3）设总获利为W元，根据题意列出W与x之间的函数解析式，据此可求解.25【答案】（1）解：过点 C 作 CDAB 于 D ， 在 RtBCD 中，ABCD ， sin30=CDBC ， BC=100 千米，CD=BCsin30=10012=50 （千米），BD=BCcos30=10032=503 （千米），在 RtACD 中，A=45 ，ACD=45 ，AD=CD=50 （千米
29、），AB=50+503135 （千米）.答：从 A 地直接到景区 B 地旅游大约要走135千米；（2）解：设施工队原计划每天修建 x 千米，则实际每天修建 (1+25%)x 千米， 依题意得： 135x-135(1+25%)x=50 ，解得 x=0.54 ，经检验 x=0.54 是原分式方程的解.答：施工队原计划每天修建0.54千米.【解析】【分析】（1）过点C作CDAB于点D，在RtBCD中，B=30，可得sin30=CDBC，结合BC=100千米，求得CD=50千米，再利用B的余弦求得BD=503千米；在RtACD中，A=45，进而得AD=CD=50千米，再由AB=AD+CD，即可求得AB长；（2）设施工队原计划每天修建 x 千米，则实际每天修建（1+25%）x千米 ，结合（1）中求得的AB长，及提前50天完成了施工任务可列方程 135x-135(1+25%)x=50，解得x，即可解决问题