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1、专题01 辅助圆定点定长（专项训练）1如图，四边形ABCD中，ABACAD，若CAD76，则CBD度【答案】38【解答】解：ABACAD，点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，CBD是弧CD对的圆周角，CAD是弧CD对的圆心角；CAD76，CBDCAD76382如图，在RtABC中，ABC90，AB4，D是BC边上一动点，将ABD沿AD对折，得到ABD，当点B落在AC边上时，点D停止运动，若ABAC，则在点D的运动过程中，点B的运动路径长为 【答案】【解答】解：由折叠知ABAB，ABAC，ABAC，sinC，C30，BAC60，点B的运动路径长为，故答案为：3如图，在菱
2、形ABCD中，ABC60，BC3，将菱形ABCD绕点B逆时针旋转，得到菱形ABCD，求出当点D在BA的延长线上时，点C运动的路径长【解答】解：如图，由旋转的性质可知，BCBC，点C在以点B为圆心，BC长为半径的圆上运动，当点D在BA的延长线上时，ABCDBCCBC，四边形ABCD是菱形，ABC60，CBC30，BCAB3，点C运动的路径长为4如图，已知四边形ABCD是矩形，BC4，AB2，若CE2，且点E在矩形ABCD的内部，求ABE的取值范围【答案】60ABE90【解答】解：点C为定点，CE为定长，点E在以点C为圆心，CE为半径的圆弧上，如图：当BE与圆C相切时，CBE最大，即ABE最小，此
3、时CEB90，sinCBE，CBE30，ABE+CBE90，ABE60，点E在矩形ABCD内，ABE90，60ABE905如图，在矩形ABCD中，已知AB3，BC4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（）A2BC3D【答案】A【解答】解：连接AM，点B和M关于AP对称，ABAM3，M在以A圆心，3为半径的圆上，当A，M，C三点共线时，CM最短，AC，AMAB3，CM532，故选：A6如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC2，点M为线段AC的中点，连接OM，OM的最大值为 【答案】【解答
4、】解：C为坐标平面内一点，BC2，点C的运动轨迹是在半径为2的B上，如图，取ODOA4，连接OD，点M为线段AC的中点，OM是ACD的中位线，OM，OM最大值时，CD取最大值，此时D、B、C三点共线，此时在RtOBD中，BD4，CD2+4，OM的最大值是1+2故答案为：1+27（2022鱼峰区模拟）如图，M的半径为2，圆心M的坐标为（6，8），点P是M上的任意一点，PAPB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为 【答案】24【解答】解：连接OP，PAPB，APB90，AOBO，AB2PO，若要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，连接OM并延长交M
5、于点P，当点P位于P位置时，OP取得最大值，过点M作MQx轴于点Q，则OQ6，MQ8，OM10，又MP2，OP10+212，AB2OP24，故答案为：248（2022武功县模拟）如图，在矩形ABCD中，AB6，BC5，点E在BC上，且CE4BE，点M为矩形内一动点，使得CME45，连接AM，则线段AM的最小值为 【答案】52【解答】解：如图，作EMC的外接圆O，连接AO，CO，EO，作OFAB，ONBC，BC5，点E在BC上，且CE4BE，BE1，EC4，CME45，EOC90，OEOC2，ONENCN2，BNOF3，AF624，在RtAFO中，AO，当点M是OA与O的交点时，AM最小，AM的
6、最小值OAOE52故答案为：529在RtABC中，A90，ACAB4，D，E分别是边AB，AC的中点，若等腰RtADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtAD1E1，设旋转角为（0180），记直线BD1与CE1的交点为P（1）如图1，当90时，线段BD1的长等于 ，线段CE1的长等于 ；（直接填写结果）（2）如图2，当135时，求证：BD1CE1，且BD1CE1；（3）求点P到AB所在直线的距离的最大值（直接写出结果）【解答】（1）解：A90，ACAB4，D，E分别是边AB，AC的中点，AEAD2，等腰RtADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtAD1E1，设旋转角为（0180），当90时，AE12，E
7、1AE90，BD12，E1C2；故答案为：2，2；（2）证明：当135时，如图2，RtAD1E1是由RtADE绕点A逆时针旋转135得到，AD1AE1，D1ABE1AC135，在D1AB和E1AC中，D1ABE1AC（SAS），BD1CE1，且D1BAE1CA，记直线BD1与AC交于点F，BFACFP，CPFFAB90，BD1CE1；（3）解：如图3，作PGAB，交AB所在直线于点G，D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，PD12，则BD12，故ABP30，则PB2+2，故点P到AB
8、所在直线的距离的最大值为：PG1+10，P是O外的一点，直线PO分别交O于点A、B，则PA是点P到O上的点的最短距离（1）如图2，在O上取一点C（不与点A、B重合），连PC、OC求证：PAPC（2）如图3，在RtABC中，ACB90，ACBC2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 （3）如图4，在边长为2的菱形ABCD中，A60，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN，连接AC，请求出AB长度的最小值（4）如图5，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AEDF连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H若正方形
9、的边长为2，则线段DH的最小值是 如图6，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作A、B，M、N分别是A、B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于 【解答】（1）证明：如图2，在O上任取一点C（不为点A、B），连接PC、OCPOPC+OC，POPA+OA，OAOC，PAPC（2）解：连接AO与O相交于点P，如图3，由已知定理可知，此时AP最短，ACB90，ACBC2，BC为直径，POCO1，AO，AP1，故答案为：1；（3）解：如图4，由折叠知AMAM，又M是AD的中点，可得MAMAMD，故点A在以AD为直径的圆上，由模型可知，当点A在BM上时
10、，AB长度取得最小值，边长为2的菱形ABCD中，A60，M是AD边的中点，MAMAMD，则BMAM，BM，故AB的最小值为：1；（4）解：在正方形ABCD中，ABADCD，BADCDA，ADGCDG，在ABE和DCF中，ABEDCF（SAS），12，在ADG和CDG中，ADGCDG（SAS），23，13，BAH+3BAD90，1+BAH90，AHB1809090，取AB的中点O，连接OH、OD，则OHAOAB1，在RtAOD中，OD，根据三角形的三边关系，OH+DHOD，当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，DH最小值ODOH1故答案为：1；解：作A关于x轴的对称A，连接BA分别交A和B于M
11、、N，交x轴于P，如图6，则此时PM+PN最小，点A坐标（2，3），点A坐标（2，3），点B（3，4），AB，MNABBNAM213，PM+PN的最小值为3故答案为：311如图，在ABC中，ACB90，点D，E分别是AB，BC边上的点，且ACCD3，连接AE，DE，CAE+AEB180（1）当B22.5时，求证：CD平分ACB；（2）当CDBD时，求的值；（3）如图，若点F是线段AC上一点，且AF1，连接DF，EF，EF交CD于点G，求DEF面积的最大值【解答】（1）证明：CAE+AEB180，CEA+AEB180，CAECEA，ACCE，ACCD，ACCDCE，B22.5，ACB90，CAD
12、CDA9022.567.5，ACD180267.545，BCD904545，ACDBCD，CD平分ACB；（2）解：由（1）得：ACCDCE，如图，以点C为圆心，CA长为半径作圆，过点E作EPAB于P，CDBD，DCBB，ACD+BCD90，CAD+B90，ACDCAD，CDAD，ACCD，ACCDAD，ACD是等边三角形，CAD60，CDADBD3，B30，ACB90，ADE180ACB18090135，EDP18013545，DPE是等腰直角三角形，DPEP，设DPEPx，则BP3x，在RtBEP中，tanB，解得：x，ACE90，ACCE，CAE45，CAEPDE，ACEDPE90，AC
13、EDPE，+1；（3）解：由（1）得：ACCDCE，如图，以点C为圆心，CA长为半径作圆，CECD3，CFACAF312，ACB90，EF，为定值，CD为定值，当CDEF时，CG取得最小值，此时，点D到EF的距离取得最大值，即DEF的面积取得最大值，SCEFCFCEEFCG最小，即23CG最小，解得：CG最小，DG最大CDCG最小3，SDEF最大EFG最大（3）312在边长为4的菱形ABCD中，B60，点E，F分别是AB，BC上的动点，将BEF沿EF翻折得到GEF，连接DG（1）如图，若点E是AB的中点当点G落在BC边上时，求sinCGD的值；当点F从点B运动到BC的中点时，求S四边形AEGD
14、的取值范围；（2）如图，若BF2，当点G落在AD边上时，求BE的长【解答】解：（1）如图乙，连接AG、AC，四边形ABCD是边长为4的菱形，ABCBAD4，B60，ABC是等边三角形，点F、点G都在BC上，且点F与点B关于EF对称，点E是AB的中点，EFBG，BFGF，BEGE，EBG是等边三角形，BGBECG2，AGBC，ADBC，DAGAGB90，CGDADG，AGABsin6042，tanCGDtanADG，tanCGD的值为如图乙，连接DE，延长FE交DA的延长线于点R，REFB90，EARB60，AE2，AER30，ERAD，ARAE1，ER，SAEDADER42，DRAD+AR5，
15、DE2，可知S四边形AEGD的大小取决于SGED的大小，由图丙，GEBE2，则点G在以点E为圆心，以2单位长为半径的圆上运动，当GEDE时，SGED最大DEGE222，S四边形AEGD最大2+2；如图丁，连接BG，当点F运动到BC的中点时，SGED最小，BFBEGFGEAECF2，ABCEGF60，BEF和GEF都是等边三角形，BEFGEFBFEGFE60，AEGCFG60，AEG和CFG都是等边三角形，AGECGF60，AGCG2，AGE+EGF+CGF180，点A、点G、点C在同一条上，且点G是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，BGDG，SBEDSAED2，SGED最小SBED2，S四边形AEGD最小2+3，综上所述，S四边形AEGD的取值范围是3S四边形AEGD2+2（2）如图，连接BG，作EHBC于点H，则EHFEHB90，由（1）可知菱形ABCE的对边AD与BC之间的距离是2，EF垂直平分BG，GFBF，点G落在AD边上，且GFBF2，GF的长等于点G到BD的垂线段的长，GFBC，BFG90，BFEGFE45，BFEHEF45，FHEHBHtan60BH，BH+BH2，BH3，BHBEcos60BE，BE2BH62，BE的长为62