《江苏省句容市第三中学、海安实验中学2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省句容市第三中学、海安实验中学2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题含答案.pdf（26页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、句容三中、海安实中高三年级联合测试数学句容三中、海安实中高三年级联合测试数学一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数i i 1z，则z（）A.1B.2C.3D.22 已知集合2log1Axx，3Bx yx，则（）A.AB RB.ABAC.ABAD.ABB3.已知lg2a，310b，则5log 6（）A.1abbabB.1abaabC.1abaabD.1abbab4.在ABC中，“90C”是“cossincossinAABB”的（
2、）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设x，y为正实数，若5224xyxy，则2xy的最小值是（）A 4B.3C.2D.16.棱台的上、下底面面积分别为 4 和 9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是（）A.12B.13C.23D.347.如图是一个近似扇形的鱼塘，其中OAOBr，弧AB长为l（lr）.为方便投放饲料，欲在如图位置修建简易廊桥CD，其中34OCOA，34ODOB.已知1(0,)2x时，3sin3!xxx，则廊桥CD的长度大约为（）.江苏省句容市第三中学、海安实验中学2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题A.323432
3、rrlB.323432llrC.32324llrD.32324rrl8.已知函数()f x及其导函数 fx的定义域均为R，且满足()2(6)f xfx，()2(4)fxfx，(3)1f ，若()(3)5g xfx，则 181kgk（）A.18B.20C.88D.90二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.下列命题为真命题的是（）A.*2,N 2nnn
4、B.“ab”是“22acbc”的充分条件C.若0ab,则22aabbD.若0,0abcd,则11acbd10.已知函数 sin(0,0,)2f xAxA的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）A.函数()f x的图像关于点,06中心对称B.函数()f x的图像关于直线512x 对称C.函数()f x在2,36上单调递减D.函数()f x的图像向右平移3个单位可得函数2sin2yx的图像11.在ABC中，60B，7AC，则下列判断正确的是（）A.ABC的周长有最大值为 21B.B的平分线长的最大值为7 32C.若11cos14A，则AC边上的中线长为129D.若8BC，则该三角形有两解12.已知
5、12,x x分别是函数 e2xf xx和 ln2g xxx的零点，则（）A.122xxB.12eln2xxC.122ex x D.22123xx三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.集合22,2,Z,Zx y xyxy的真子集的个数是_.14.已知二次函数1yaxxa甲同学：0y 的解集为1,aa；乙同学：0y 的解集为1,aa；丙同学：y 的对称轴大于零在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则 a 的范围为_15.已知sincossin,sincossin2,0,2 ，则cos _16.已知直线(,0)yaxb abR是曲线 e
6、xf x 与曲线 ln2g xx的公切线，则ab的值为_.四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知函数 2cos3sin cos1xxxf x，xR.（1）求函数 yf x的单调递增区间；（2）求0,2x时，函数 yf x的值域.18.已知函数4()2xxaf x.（1）若 f x为偶函数，求a的值；（2）若函数()()1g xf xa在1,1上有 2 个不同零点，求a的取值范围.19.在数列 na中，1232331nnaaana（1）求 na的通项公式；（2）若12nnn na
7、b，求数列 nb的前n项和nS20.如图，四棱锥PABCD中，ABD是等边三角形，PAPBPD，BCCD（1）证明：BDPC；（2）若2 3BD，7CDAP，求点 A 到平面PCD距离21.已知ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且2 cosabbC.（1）求证：2CB.（2）求acb的取值范围.22.已知函数 ln1sinf xaxx（1）若 f x在,4 2 上单调递减，求a取值范围；（2）证明：当1a 时，f x在,2上有且仅有一个零点的的的句容三中、海安实中高三年级联合测试句容三中、海安实中高三年级联合测试数学数学一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题
8、小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数i i 1z，则z（）A.1B.2C.3D.2【答案】B【解析】【分析】先求共轭复数，再求模即可.【详解】i i 11 iz ，则1 iz ，即2z；故选：B.2.已知集合2log1Axx，3Bx yx，则（）A.AB RB.ABAC.ABAD.ABB【答案】C【解析】【分析】首先解对数不等式求出集合A，再求出集合B，最后根据交集、并集的定义计算即可.【详解】由2log1x，得22loglog 2x，解得02x，所以2log1|02Axxxx
9、，又33Bx yxx x，所以3ABx xB，|02xxAAB.故选：C3.已知lg2a，310b，则5log 6（）A.1abbabB.1abaabC.1abaabD.1abbab【答案】A【解析】分析】利用指数与对数的互换表示出lg3，然后利用换底公式以及对数的运算法则求解即可【详解】由题可得31log 10lg3b，即1lg3b原式51lg6lg2lg31log 6lg51 lg21aabbabab故选：A 4.在ABC中，“90C”是“cossincossinAABB”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据90C 与
10、cossincossinAABB的推出关系判断.【详解】若90C，则90AB，则coscos 90sin,sinsin 90cosABBABB，所以cossincossinAABB，所以充分性成立；若cossincossinAABB，即2sin452sin45AB，因为4545225,4545225AB，所以4545AB或 4545180AB，所以AB或90AB，即AB或90C，所以必要性不成立.故“90C”是“cossincossinAABB”的充分非必要条件.故选：A5.设x，y为正实数，若5224xyxy，则2xy的最小值是（）A.4B.3C.2D.1【答案】D【解析】分析】由22(21
11、)(1)1xyxyxy，令21mx，1ny，即可得到94mn，则22xymn，利用基本不等式计算可得.【详解】解：因为x，y为正实数，且522(21)(1)14xyxyxy，令21mx，1ny，则94mn，则22221xymnmn，当且仅当mn，即12y，14x 时取等号.故选：D6.棱台的上、下底面面积分别为 4 和 9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是（）A.12B.13C.23D.34【答案】B【解析】【分析】设出棱台的高与截得它的棱锥的高，利用面积之比等于相似比的平方，化简求出结果【详解】设棱台的高为h与截得它的棱锥的高H，作出草图，如下图所示：由相似关系可得，111SOOC
12、SOOC，所以2211122SSOOCSOOCS上下，则249HhH 即2419hH，可得 21133hH.故选：B【点睛】本题考查棱台的结构特征，计算能力，是基础题7.如图是一个近似扇形的鱼塘，其中OAOBr，弧AB长为l（lr）.为方便投放饲料，欲在如图【位置修建简易廊桥CD，其中34OCOA，34ODOB.已知1(0,)2x时，3sin3!xxx，则廊桥CD的长度大约为（）A.323432rrlB.323432llrC.32324llrD.32324rrl【答案】B【解析】【分析】设圆心角lr，取CD中点E，连接OE，可得2sin2CDOD，结合题目给定数据即可求解.【详解】取CD中点E
13、，连接OE，由题OECD，设圆心角lr，1,(0,)222llrr，所以333()2sinsin2223!248lllllrrrrr，所以3332332sin2()24248432lllCDODrlrrr.故选：B【点睛】此题考查扇形中的圆心角半径弧长之间的关系，考查图形中的基本运算，平面几何相关知识及数形结合思想的应用.8.已知函数()f x及其导函数 fx的定义域均为R，且满足()2(6)f xfx，()2(4)fxfx，(3)1f ，若()(3)5g xfx，则 181kgk（）A.18B.20C.88D.90【答案】B【解析】【分析】根据复合函数导数运算求得正确答案.【详解】由()2(
14、6)f xfx得 266fxfxfx，6fxfx，则 fx关于直线3x 对称.另外()2(4),()(4)2fxfxfxfx，则 fx关于点2,1对称.所以4244226fxfxfxfx22462628fxfxfxfx ，所以 4fxfx，所以 fx是周期为4的周期函数.()(3)5g xfx，()(3)g xfx，则(0)(3)1gf，由，令2x，得 222,21ff.所以 121gf ，由，令1x，得(1)(3)2,(1)2(3)3ffff；所以(2)(1)3gf ，由，令4x，得 421ff；令5x，得 513ff.由，令0 x，得(0)(4)2,(0)1fff；令=1x，得(1)(5)
15、2,(1)2(5)1ffff，则(3)(0)1gf ，411gf；5221gff ，6313gff ，以此类推，gx是周期为4的周期函数.所以 1811 3 1 141 320kgk .故选：B【点睛】函数的对称性有多种呈现方式，如f axf ax，则 f x关于直线xa对称；如2faxfx，则 f x关于直线xa对称；如f axf ax，则 f x关于点,0a对称；如2f axf axb，则 f x关于点,a b对称.二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项
16、符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.下列命题为真命题的是（）A.*2,N 2nnn B.“ab”是“22acbc”的充分条件C.若0ab,则22aabbD.若0,0abcd,则11acbd【答案】CD【解析】【分析】关于选项 A,由任意,只需取一反例即可,取3n 时不成立即可排除;关于选项 B,当0c=时不能推出22acbc;关于选项 C,因为0ab,对不等式ab左右两边分别乘以,a b,即可证明;关于选项 D,不等式有同向可加性,将0cd两边同时同时乘以-1,即可证明0acbd,再取倒数即可.【详解】解:关于选项 A,
17、当3n 时,3228,39,不满足22nn,故选项 A 错误;关于选项 B,当,0ab c时,22acbc,不满足题意,故选项 B 错误;关于选项 C,0ab,同时乘以a可得2aab,在ab两边同时乘以b,可得2abb,综上:22aabb成立,故选项 C 正确;关于选项 D,0,0cdcd 0ab,两式相加可得:0acbd,则有110acbd成立,故选项 D 正确.故选:CD10.已知函数 sin(0,0,)2f xAxA的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）A.函数()f x的图像关于点,06中心对称B.函数()f x的图像关于直线512x 对称C.函数()f x在2,36上单调递减D.函
18、数()f x的图像向右平移3个单位可得函数2sin2yx的图像【答案】AB【解析】【分析】根据函数图象求得 f x解析式，再根据三角函数图象性质及伸缩平移变换分别判断各个选项.【详解】由图象得函数最小值为2，故2A，43124T，故T，22T，故函数 2sin 2()fxx，又函数过点,212，故2sin(2)212，解得2,3kkZ，又2，即3，故 2sin(2)3f xx，f x对称中心：2,3xkkZ，解得,62kxkZ，对称中心为(,0),62kkZ，当0k 时，对称中心为(,0)6，故 A 选项正确；f x对称轴：2,32xkkZ，解得,122kxkZ，当1k 时，512x，故 B
19、选项正确；f x的单调递减区间：322,2,322xkkkZ，解得7,1212xkkkZ，又7,122612,3kkkZ，故 C 选项不正确；函数 f x图像上所有的点向右平移3个单位，得到函数 2sin 22sin 2333xxg x，故 D 选项不正确；故选：AB.11.在ABC中，60B，7AC，则下列判断正确的是（）A.ABC的周长有最大值为 21B.B的平分线长的最大值为7 32C.若11cos14A，则AC边上的中线长为129D.若8BC，则该三角形有两解【答案】ABD【解析】【分析】A 选项，由余弦定理和基本不等式求出14ac，从而得到周长的最大值；B 选项，作出辅助线，表 达
20、出3acBDac，由 基 本 不 等 式 求 出BD的 最 值；C选 项，由 三 角 恒 等 变 换 求 出4 3sinsin7CAB，由正弦定理求出8c，再在ABH中，由余弦定理求出答案；D 选项，判断出7sin,ACBCB BC，得到三角形解的个数.【详解】A 选项，22491cos22acBac，故2249acac，变形得到2234934acacac，解得14ac，当且仅当7ac时，等号成立，故ABC的周长有最大值为71421，A 正确；B 选项，如图，BD为三角形ABC的角平分线，故30ABDCBD，过点D作DEAB于点E，DFBC于点F，则12DEDFBD，设DEDFx，则2BDx，
21、11112222ABCABDBDCSSSAB DEBC DFcxax，又13sin24ABCSacBac，所以113224cxaxac，解得33211acxacac，由 A 选项可知2249acac，又222acac，故492acac，49ac，当且仅当7ac时，等号成立，所以111227acac，则3337 3211227acxacac，故B的平分线长的最大值为7 32，B 正确；C 选项，若11cos14A，则25 3sin1 cos14AA，故sinco5 311134 3sinsin1421scosn2si47ABACABB，在ABC中，由正弦定理得sinsincbCB，即7s3704
22、in6c，解得8c，在ABH中，由余弦定理得222497111292cos642 842144BHABAHAB AHA ，解得1292BH，故AC边上的中线长为1292，C 错误；D 选项，若8BC，则3sin84 32BCB ，而74 3,8AC，则该三角形有两解，D 正确.故选：ABD12.已知12,x x分别是函数 e2xf xx和 ln2g xxx的零点，则（）A.122xxB.12eln2xxC.122ex x D.22123xx【答案】ABD【解析】【分析】把函数的零点转化两个函数图像交点的横坐标，再结合反函数图像的特点得到点A 和B关于点C对称，根据()1,1C可判断 A、B 选
23、项；结合反函数的性质可以判断 C 选项；利用特殊值的思路得到1x的范围即可判断 D 选项.【详解】因为1x，2x分别是函数 e2xf xx，ln2g xxx的零点，所以11e2xx，22ln2xx，那么1x，2x可以看做函数exy 和lnyx与函数2yx图像交点的横坐标，如图所示，点A，C，B分别为函数exy，yx，lnyx的图像与函数2yx图像的交点，所以()1,1C，因为函数exy 和lnyx互为反函数，所以函数图像关于yx的图像对称，2yx的图像也关于yx的图像对称，所以点11,exA x和22,lnB xx关于点()1,1C对称，122xx，12ln2xxe，故 AB 正确；由反函数的
24、性质可得12exx，因为 e2xf xx单调递增，13e022f，所以110 x2，所以1121122e2ee1xx xx，故 C 错；当13x 时，函数exy 对应的函数值为3e，函数2yx对应的函数值为53，因为335125327e，所以353e，所以1x的范围为1,13，那么2221211262442,9xxxx，而2639，所以22123xx，故 D 正确.故选：ABD.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.集合22,2,Z,Zx y xyxy的真子集的个数是_.【答案】31【解析】【分析】先求出集合中元素个数，进而求出真
25、子集个数.【详解】22,2,Z,Z0,0,1,0,0,1,1,0,0,1x y xyxy共 5 个元素，则真子集的个数是52131.故答案为：3114.已知二次函数1yaxxa甲同学：0y 的解集为1,aa；乙同学：0y 的解集为1,aa；丙同学：y 的对称轴大于零在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则 a 的范围为_【答案】01a【解析】【分析】利用二次函数的性质分别分析甲乙丙三位同学的论述，从而得解.【详解】若甲正确，则0a 且1aa，即21a，则01a；若乙正确，则a0且1aa，即21a，则1a ；若丙正确，则二次函数的对称轴方程2102axa，可得0a；因为只有一个同学的论述为假命题
26、，所以只能乙的论述错误，故01a.故答案为：01a15.已知sincossin,sincossin2,0,2 ，则cos _的【答案】4 1717【解析】【分析】根据sincos,sincos的关系，即可平方得21 2sin2sin，结合同角关系以及二倍角公式即可求解.【详解】由sincossin平方得212sincossin，结合sincossin2 得221 2sin2sin1 sin2sin2=，所以2cos2sin24sincos=，由于02,，所以cos0,所以2222sin11cossincoscos41coscos4116717=+，故答案为：4 171716.已知直线(,0)y
27、axb abR是曲线 exf x 与曲线 ln2g xx的公切线，则ab的值为_.【答案】2【解析】【分析】由 f x求得切线方程，结合该切线也是 g x的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线yaxb，从而求得正确答案.【详解】设,ett是 f x图像上的一点，exfx，所以 f x在点,ett处的切线方程为eettyxt，e1ettyxt，令 1etgxx，解得etx，elne22ttgt，所以2eeettttt，11ettt，所以0t或1t（此时为eyx，0b，不符合题意，舍去），所以0t，此时可化为110,1yxyx ，所以1 12ab .故答案为：2四、解答题：本题共四、解答
28、题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知函数 2cos3sin cos1xxxf x，xR.（1）求函数 yf x的单调递增区间；（2）求0,2x时，函数 yf x的值域.【答案】（1）,36kkkZ；（2）51,2【解析】【分析】（1）先根据降幂公式以及辅助角公式化简三角函数，令222262kxkkZ即可得出答案；（2）由02x得72666x，由此即可求出答案【详解】解：2cos3sincos1yxxx133cos2sin2222xx3sin 262x；（1）令222262kxkkZ，得36kxkk Z
29、，所以函数 yf x的单调递增区间为,36kkkZ；（2）由02x得72666x，1sin 2,162x，从而函数 yf x值域为51,2【点睛】本题主要考查三角函数的化简以及性质，属于基础题18 已知函数4()2xxaf x.（1）若 f x为偶函数，求a的值；的.（2）若函数()()1g xf xa在1,1上有 2 个不同的零点，求a的取值范围.【答案】（1）1；（2）1,11,22.【解析】【分析】（1）由函数 f x为偶函数，得到()fxf x，进而得出(1)410 xa，即可求得实数a的值；（2）令()0g x，整理得2210 xxa，根据函数()g x在1,1上有 2 个不同的零点
30、，得到10 x，22log(0)xa a，结合定义域，即可求解.【详解】（1）由题意，函数 f x为偶函数，则()fxf x，即4422xxxxaa.整理得(1)410 xa，所以1a.（2）因为函数()()1g xf xa，令()0g x，可得4(1)02xxaa，整理得4(1)20 xxaa，即2210 xxa，由函数()g x在1,1上有 2 个不同的零点，所以10 x，22log(0)xa a，且21log1a，2log0a，解得112a或12a，所以a的取值范围为1,11,22.19.在数列 na中，1232331nnaaana（1）求 na的通项公式；（2）若12nnn nab，求
31、数列 nb的前n项和nS【答案】（1）12 3nnan （2）(21)314nnnS【解析】【分析】（1）先求出1a，然后当2n 时，由已知式子可得1123123(1)31nnaaana，和已知式子相减化简可求得na，再验证1a，即可求得通项公式，（2）由（1）得1(1)3nnbn，然后利用错位相减法可求得nS【小问 1 详解】当1n 时，11312a ，当2n 时，则1232331nnaaana，得1123123(1)31nnaaana，两式相减得，1131 312 3nnnnna ，所以12 3nnan，因为12a 满足上式，所以12 3nnan【小问 2 详解】由（1）得111(1)2
32、3(1)322nnnnn nan nbnn，所以012212 33 34 33(1)3nnnnnS 所以12312 33 34 333(1)3nnnnnS ，所以123123333(321)nnnSn1 31(1)31 3nnn 121322nn，所以211(21)313444nnnnnS20.如图，四棱锥PABCD中，ABD是等边三角形，PAPBPD，BCCD（1）证明：BDPC；（2）若2 3BD，7CDAP，求点 A 到平面PCD的距离【答案】（1）证明见解析 （2）534【解析】【分析】（1）连接AC，交BD于点 O，连接PO，结合题意和三角形全等得到BDOP，利用线面垂直的判定得到B
33、D平面POC，再利用线面垂直的性质即可得证；（2）结合（1）的结论，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平面PCD的法向量和AC所在直线的方向向量，利用空间向量的方法即可求解.【小问 1 详解】如图，连接AC，交BD于点 O，连接PO，由,ADAB CDBC ACAC，可得ABCACD，所以BACDAC，又AOAO，所以AOBAOD，所以BOOD，即 O 为BD中点，在等腰PBD中，可得BDOP，在等腰BCD中，BDOC，又OPOCO，,OP OC 平面POC，所以BD平面POC，又PC 平面POC，所以BDPC【小问 2 详解】由（1）可得，ACBD，又17,32CDODBD，所以22
34、2,33COCDODAOOD，由于PABD为正三棱锥，点 P 在底面ABD的垂足一定在AO上，设垂足为 M，根据正三棱锥的性质可得2222,33AMAOPMAPAM，如图，过点O作PM的平行线，以PM的平行线所在直线为z轴，以,OA OB所在直线为 x 轴，y 轴建立空间直角坐标系 可得(3,0,0),(2,0,0),(0,3,0),(1,0,3)ACDP，(3,0,3),(2,3,0)PCDC 又(5,0,0)AC ，（或(3,3,0),(2,0,3)ADAP ）设平面PCD的法向量(,)nx y z，可得0330300230230n PCxzxzn DCxyxy 不妨令3x，可得(3,2,
35、3)n，所以|534|n ACdn，故所以点 A 到平面PCD的距离为53421.已知ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且2 cosabbC.（1）求证：2CB.（2）求acb的取值范围.【答案】（1）证明见解析 （2）1,5【解析】【分析】(1)结合正弦定理及正弦和角公式得sinsinCBB，结合角度范围即可证明；(2)结合正弦定理及三角恒等变换acb2154 cos44B，结合 B 角范围即可求解.【小问 1 详解】在ABC中，由2 cosabbC及正弦定理得：sinsin2sincosABBC又ABC，sinsin sinsincoscossinABCBCBCBC即s
36、incoscossinsin2sincosBCBCBBCsincoscossin2sincossinBCBCBCB，sinsinCBB0sinsinBCB，0CBC.BCBC，BCB，2CB【小问 2 详解】得：2CB得30,BCB，03B，1cos12B，由题意2 cosabbC，2CB及正弦定理得：2 cossin2sincossinsin2sincossin2sinsinacbbCcBBCCBBCBbbBBsin2sincos2sincos12cos2cos12cos22cossinBBCBBCBBBB 2212 2cos12cos4cos2cos1BBBB 2154 cos44B1co
37、s12B，21514 cos544B，即15acb故acb的取值范围为1,5方法二：由正弦定理得：sinsinsinacACbBABC，ABC，sinsinsinsinsinsinsinsinsinBCCBCCACBBB由（1）得：2CB，故sin2sin2sinBBBacbBsincos2cossin2sin2sinBBBBBBsincos2cos2sincos2sincossinBBBBBBBB2cos22cos2cosBBB2222cos12cos2cos4cos2cos1BBBBB 2154 cos44B由（1）得：2CB得30,BCB，03B，1cos12B，21514 cos544
38、B，即15acb，故acb的取值范围为1,522.已知函数 ln1sinf xaxx（1）若 f x在,4 2 上单调递减，求a的取值范围；（2）证明：当1a 时，f x在,2上有且仅有一个零点【答案】（1）,0；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将问题转化为 0fx在,4 2 上恒成立，即1 cosaxx在,4 2 上恒成立；令 1 cosg xxx，利用导数可求得 min02g xg，由此可得a的范围；（2）当1xe时，由ln1lnsinxex可知 0f x，将问题转化为证明 f x在,12e上有且仅有一个零点，利用导数可说明 f x在,12e上单调递增，结合零点存在定理可说明 f
39、x在,12e上有且仅有一个零点，由此得到结论.【详解】（1）由题意得：cos1afxxx，若 f x在,4 2 上单调递减，则 0fx在,4 2 上恒成立，1 cosaxx在,4 2 上恒成立，令 1 cosg xxx，则 cos1 singxxxx，当,4 2x 时，cos11 tangxxxx，当,4 2x 时，cos0 x，11x，tan1x，0gx，又01 sin102222g，当,4 2x 时，0gx，g x在,4 2 上单调递减，1 cos0222g xg，min0ag x，即a的取值范围为,0；（2）当1a 时，ln1sinf xxx，则 1cos1fxxx，当1xe时，ln1ln1sinxex，0f x在1,e上恒成立，只需证 f x在,12e上有且仅有一个零点；1e，当,12xe时，cos0 x，101x，0fx在,12e上恒成立，()fx在,12e上单调递增，又ln1sinln1102222f，11 sin10f ee，()fx在,12e上有且仅有一个零点，即 f x在,2上有且仅有一个零点.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数研究函数的零点个数；本题证明有且仅有一个零点的基本思路是通过导数求得函数的单调性，从而利用零点存在定理说明函数在区间内有且仅有一个零点.