《2023年云学新高考联盟学校高二年级10月联考数学试卷含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年云学新高考联盟学校高二年级10月联考数学试卷含答案.pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 第 1 页 共 4 页 2023 年云学新高考联盟学校高二年级年云学新高考联盟学校高二年级 10 月联考数学试卷月联考数学试卷 一一选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的 1.若2iz=，则2zz+=（）A.6 B.37 C.38 D.7 2.一组数据按从小到大的顺序排列如下：9,10,12,15,16,17,22,25,26，则该组数据的中位数与75%分位数之和等于（）A.36 B.37 C.38 D.39 3.已知单位向量12,e e 是平
2、面内的一组基底，且12,3e e=，若向量123aee=+与12bee=+垂直，则的值为（）A.75 B.75 C.1 D.1 4.过点()1,0与圆2240 xyxm+=相切的两条直线垂直，则m=（）A.12 B.-1 C.1 D.12 5.已知直线()():2110lmxmym+=，若直线l与圆22:(1)4Cxy+=交于,A B两点，则AB的最小值为（）A 2 B.2 C.2 2 D.4 6.如图，在平行六面体1111ABCDABC D中，1111,60ABADAABADA ABA AD=，E为1CC的中点，则点E到直线1AC的距离为（）A.2 33 B.33 C.35 D.36 7.若
3、点A B在圆221:(2)3Cxy+=上运动，2 2,ABP=为AB的中点Q点在圆222:(2)1Cxy+=上运动，则PQ的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4 8.三棱锥PABC中，2 2,1,ABBCABBC=，直线PA与平面ABC所成的角为 30，直线PB与平面ABC所成的角为45，则三棱锥PABC体积的最大值是（）.第 2 页 共 4 页 A 266+B.263+C.133+D.22 33+二二多选题：本题共多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得目要求，
4、全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0分分 9.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，()()2,2,4,0AB，下列说法正确的是（）A.OAB为等腰三角形 B.OAB中，AB边上的中线所在的直线方程为30 xy=C.OAB的重心G的坐标为22,3 D.OAB的重心G到直线AB的距离为23 10.如图，在正四棱柱1111ABCDABC D中，122,AAABO=为四边形11DCC D对角线的交点，点E在线段1D D上运动（不含端点），下列结论正确的是（）A.直线AO与直线1CC所成角的余弦值为23 B.点1B到平面1AOD的距离为43 C.线段1D
5、 D上存在点E，使得1AE 平面1AOD D.正四棱柱外接球的表面积为6 11.某市教育局为了解该市高中各年级学生的文学经典名著的年阅读量，采用样本比例分配的分层随机抽样抽取了一个容量为 100的样本其中，从高三年级抽取容量为 20的样本，平均数为 4，方差为 9；从高二年级容量为 40的样本，平均数为 7，方差为 15；从高一年级抽取容量为 40的样本，平均数为 9，方差为 21，据此估计，三所学校的学生文学经典名著的年阅读量的（）A.均值为 6.2 B.均值为 7.2 C.方差为 19.56 D.方差为 20.56 12.在平面直角坐标系中，()()4,0,1,4AB，点M在圆22:(4)
6、16Cxy+=上运动，下列说法正确的是（）A.点M到直线AB的距离最大值是225.第 3 页 共 4 页 B.过直线AB上任意一点作圆C两条切线，切点分别为,P Q，直线PQ过定点32,2 C.MA MB 的最小值为564 185 D.2MAMB+的最小值为 10 三三填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 20 分分 13.甲乙丙三人参加一次面次，他们通过面试的概率分别为2 3 1,3 4 5，所有面试是否通过互不影响那么三人中恰有两人通过面试的概率是_ 14.已知点(),A x y在曲线24yx=上运动，则4yx+的最大值为_ 15.正方体1111AB
7、CDABC D棱长为2,O为平面11ABB A的中心，点P在侧面11BCC B内运动且1DOOP，则BP最小值是_ 16.若非零实数对(),a b满足关系式2217715ababab+=+=+，则ab=_ 四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17.已知直线l过点()2,1P（1）若直线l与直线230 xy+=垂直，求直线l的方程（2）若直线l在两坐标轴的截距互为相反数，求直线l的方程 18.已知ABC内角,A B C的对边分别为,4a b c c=，且()()()sinsin4sinabAbc
8、BbC+=+（1）求ABC外接圆半径.（2）求ABC周长的最大值 19.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面,ABCD E F分别是,PC AD中点（1）求证：DE/平面PFB；（2）若PB与平面ABCD所成角为45，求平面PFB与平面EDB夹角的余弦值 的的 第 4 页 共 4 页 20.已知定点(1,3)A，点 B 为圆22(1)(1)4xy+=上的动点（1）求 AB的中点 C的轨迹方程：（2）若过定点1,12P的直线l与 C的轨迹交于 M，N两点，且|3MN=，求直线l的方程 21.为了模拟“田忌赛马”故事中，双方的对阵情况甲乙分别拥有 3张写有数字的卡片，甲
9、的 3张卡片上的数字分别为,X Y Z乙的 3张卡片上的数字分别为,x y z，已知XxYyZz他们按“田忌赛马”故事中规则做一个“出示卡片，比数字大小”的游戏：甲乙各出示 1 张卡片，比较卡片上的数字的大小，然后丢弃已使用过的卡片他们共进行了三次，直至各自用完 3张卡片，且在出示卡片时双方都不知道对方所出示的卡片上的数字，三次“出示卡片，比数字大小”之后，认定至少有两次数字较大的一方获得胜利（1）若甲，乙二人按照“田忌赛马”故事中双方第一次对阵出牌，即第一次甲出示的卡片上写有数字 X，乙出示的卡片上写有数字 z，后两次则任意出牌，求甲最终获得胜利的概率：（2）记事件 A=“第一次甲出示的卡片
10、上的数字大”，事件 B=“乙获得胜利”，计算事件 A和 B 的概率，并说明事件 A 与事件 B 是否相互独立 22.在平面直角坐标系中，圆M为过点()()()1,3,2,2,4,0ABC的圆（1）求圆M标准方程：（2）过点()1,0D作直线1l，交圆M于P Q两点，P Q不在x轴上 过点D作与直线1l垂直的直线2l，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的取值范围：设直线,OP CQ相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程：若不是，说明理由 的 第 1 页 共 15 2023 年云学新高考联盟学校高二年级年云学新高考联盟学校高二年级 10 月联考数学月联考数学答案
11、答案 1.B【解析】()2i2ii226zz+=+=，故236 137zz+=+=.故选：B 2.C【解析】该组数据的中位数为 16，因为75%96.75=所以该组数据75%分位数22，所以该组数据的中位数与75%分位数之和等于38，故选：C 3.A【解析】12,e e 为单位向量且12,3e e=，所以211e=，221e=，12121cos32e ee e=，向量123aee=+与12bee=+垂直，所以0a b=，即()()222121121233(301)eeeeeee e+=+=+，即13(123)0+=+，解得75=.故选:A 4.D【解析】()22224024xyxmxym+=+
12、=+，设该圆的圆心为()2,0A，半径为()44mm+，设点()1,0为点B，如图所示：过()1,0B 与圆A相切的直线为,BC BD，切点为,C D，连接,AC AD，显然,ACBC ADBD，由题意可知相切的两条直线垂直，所以四边形ACBD是矩形，又因为ACAD=，所以四边形ACBD正方形，因此有123242ABADmm=+=，故选：D 是 第 2 页 共 15 5.C【解析】直线()():2110lmxmym+=，即()1210 xymxy+=，令10210 xyxy+=，解得01xy=，所以直线l过定点()0,1P，圆22:(1)4Cxy+=的圆心()1,0C，半径2r=，因为1 12
13、2PC=+=，所以点()0,1P在圆C内，则圆心C到直线l的距离2=dPC（PCl时取等号），所以2222 422 2ABrd=（PCl时取等号），所以AB的最小值为2 2.故选：C.6.D【解析】设1,ABa ADb AAc=，因为1111,60ABADAABADA ABA AD=，所以111 122a ba cb c=，11ACABBCCCabc=+=+，1CCc=，因为()211111222AC CCabcca cb cc=+=+=+=，()222212221 1 1 1 1 1 16ACabcabca ba cb c=+=+=+=第 3 页 共 15 所以11111126cos,36
14、1AC CCAC CCACCC=，因此211163sin1 cos,193AC CAC CC=，所以点E到直线1AC的距离为11133sin236ECAC C=，故选：D 7.B【解析】点A B在圆221:(2)3Cxy+=上运动，2 2AB=，AB中点P到圆心1(2,0)C的距离为2312AB=，由圆的定义可知，点P的运动轨迹为以1(2,0)C，半径1的圆22(2)1xy+=，又Q点在圆222:(2)1Cxy+=PQ的最小值为：121 12C C =.故选：B.8.D【解析】过点P作PD平面ABC于点D，连接,BD AD，则45,30PBDPAD=，因2 2,1,ABBCABBC=，所以12
15、2ABCSAB BC=，设PDh=，则,3,2,2BDh ADh PBh PAh=，在平面ABC上，ADBDAB且ADBDAB+，即32 23hhhh+，解得6262h+，在PBA中，,PAPBAB PAPBAB，即222 2,222 2hhhh，解得2 222 22h+，综上，6262h+，故三棱锥PABC体积()1222 32623333P ABCABCVShh+=+=.为 第 4 页 共 15 故选：D 9.ABC【解析】A：因为()2222222 2,4,2422 2OAOBAB=+=+=，所以OAAB=，因此该三角形是等腰三角形，因此本选项正确；B：AB中点的坐标为()3,1，所以A
16、B边上的中线所在的直线方程为1303yxxy=，故本选项正确；C：因为()()()2,2,4,0,0,0ABO，所以OAB的重心G的坐标为240 200,33+，即22,3，所以本选项正确；D：直线AB的方程为22402024yxxy=+=，所以OAB的重心G到直线AB的距离为222242 23311+=+，所以本选项不正确，故选：ABC 10.AB【解析】构建如下图示的空间直角坐标系Dxyz，则11(1,0,0),(0,1),(0,1,0),(0,1,2)2AOCC，所以11(1,1),(0,0,2)2AOCC=，则11122|cos,|33|22AO CCAO CCAO CC=，所以直线A
17、O与直线1CC所成角的余弦值为23，A 对；由11(0,0,2),(1,1,2)DB，则1(1,0,2)AD=，若(,)mx y z=是面1AOD一个法向量，第 5 页 共 15 故110220m AOxyzm ADxz=+=+=，令1z=，则(2,2,1)m=，而1(0,1,2)AB=，所以点1B到平面1AOD的距离1|43|m ABm=，B对；由1(1,0,2),(0,0,)AEt且02t，则1(1,0,2)EAt=，显然不可能与(2,2,1)m=平行，C错；由正四棱柱的外接球半径为体对角线的一半，即为62，故外接球的表面积为264()62=，D错.故选：AB 11.BC【解析】AB 选项
18、，三所学校的学生文学经典名著的均值为 20 440 740 97.2100+=，A 错误，B正确；CD 选项，三所学校的学生文学经典名著的方差为()()()222204040947.21577.22197.219.56100100100+=，C正确，D 错误.故选：BC 12.BCD【解析】由圆的方程22:(4)16Cxy+=可得，圆心(4,0)C，半径4r=，由()()4,0,1,4AB得，43ABk=，所以直线AB的方程为4(4)3yx=，即43160 xy+=，对选项 A，圆心C到直线AB的距离为：22|4 4 16|32543d =+，第 6 页 共 15 所以点M到直线AB的距离最大
19、值是3252455+=，故选项 A错误；对选项 B，设N为直线AB上任意一点，过点N作圆C的两条切线，切点分别为,P Q，连接,CP CQ CN，如图所示：由直线与圆相切的性质可知：,CPPN CQQN，所以,C P N Q在以CN为直径的圆上，其圆心为,C N的中点，设为1C，设(),N a b，所以14,22abC，()22|4CNab=+，半径为()224|22abCN+=，所以,C P N Q所在圆1C的方程为：()222244224ababxy+=，整理得()22440 xaxybya+=，将圆C与圆1C的方程联立()()2222416440 xyxaxybya+=+=，作差得直线P
20、Q的方程()440axbya+=，因为点(),N a b在直线AB上，所以43160ab+=，41633ba=+，代入直线PQ的方程得()4164()4033axaya+=，第 7 页 共 15 整理得4164(4)033a xyxy+=，所以440316403xyxy+=+=解得232xy=，所以直线PQ恒过定点32,2，故选项 B 正确；对选项 C，由(),M x y在22:(4)16Cxy+=上，所以可设44cos,x=+4sin,y=)0,2，所以()84cos,4sinMA=，()54cos,44sinMB=，所以()()()()84cos54cos4sin44sinMA MB=+，
21、化简可得，224052cos16sin16sin16cosMA MB=+，即5652cos16sinMA MB=，所以()564 185sinMA MB=+，其中134sin,cos185185=，故当()sin1+=时，MA MB 的最小值为564 185，故选项 C正确；对选项 D，1222MAMBMAMB+=+，设存在定点(),0D t，使得点M在圆22:(4)16Cxy+=上运动时均有12MDMA=，设(),M x y，则有()()2222142xtyxy+=+，化简可得()2223388164xyt xt+=，又因为22:(4)16Cxy+=，即2280 xyx+=，代入化简可得()
22、282164txt+=，即()()2220txt+=，所以2t=，所以()12222MAMBMAMBMDMB+=+=+，因为5MDMBBD+=，当,M B D三点共线，且M在线段BD上时，5MDMBBD+=，第 8 页 共 15 所以()2210MAMBMDMB+=+，所以2MAMB+的最小值为 10，故选项 D 正确.故选：BCD.三三填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 20 分分 13.2960【解析】三人中恰有两人通过面试，可能情况为甲和乙通过、丙未通过；甲和丙通过、乙未通过；乙和丙通过、甲未通过.根据事件互斥性可知所求概率为2312312312
23、11291113453453455302060+=+=.故答案为：2960 14.33【解析】24yx=变形为224(0)xyy+=，它是以原点为圆心，2 为半径的上半圆，如图，(),A x y在上半圆上，4yx+表示点(),A x y与()4,0M 连线的斜率，由题意得，当直线与半圆相切时斜率最大，设直线与半圆相切时直线斜率为k，直线方程()4yk x=+，即40kxyk+=，因此2421kk=+，解得33k=（由图33k=舍去），所以4yx+的最大值为33.故答案为：33 15.2 55【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，()()()()()110,0,2,2,2,0,2,0,2,2,0
24、,2DBAP xzx z，第 9 页 共 15 因为O为平面11ABB A的中心，所以()2,1,1O，()()12,1,1,2,1,1DOOPxz=，因为1DOOP，所以()()12211022DO OPxzzx=+=，()()()2222226422225128555BPxzxxxxx=+=+=+=+，当62,55xz=时，BP有最小值42 555=，故答案为：2 55 16.34或43【解析】由2217715ababab+=+=+，可得222217715abababab+=+，221abab+可以看成点()1,1A到直线10axby+=的距离1d，22771abab+可以看成点()7,7
25、B到直线10axby+=的距离2d，因为222217715abababab+=+，所以125dd=.因为10AB=，1210dd+=，所以当点A，B在直线10axby+=同侧时，直线AB与直线10axby+=平行，第 10 页 共 15 当点A，B在直线10axby+=异侧时，A，B关于直线10axby+=对称，因为直线AB的斜率1 741 73k+=，直线10axby+=的斜率为ab，所以43ab=或413ab =，所以43ab=或34ab=.故答案为：34或43.四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分解答应写出文字说明分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或
26、演算步骤 17.【解析】（1）因为直线l与直线230 xy+=垂直，所以可设直线l的方程为20 xym+=，因为直线l过点()2,1P，所以()2210m +=，解得4m=，所以直线l的方程为240 xy=（2）当直线l过原点时，直线l的方程是2xy=，即20 xy+=当直线l不过原点时，设直线l的方程为xya=，把点()2,1P代入方程得3a=，所以直线l的方程是30 xy=综上，所求直线l的方程为20 xy+=或30 xy=18.【解析】（1）设ABC外接圆半径为R，因为()()()sinsin4sinabAbcBbC+=+，2sinsinsinabcRABC=,4c=，所以sin,sin
27、,sin222abcABCRRR=，则()()()222abcabbccbRRR+=+，即()()()ab abc bcb c+=+，整理得222abcab+=，第 11 页 共 15 所以由余弦定理可得，2221cos222abcabCabab+=，因为0C，所以3sin2C=，故ABC外接圆半径1144 32 sin2332cRC=.（2）因为2222coscababC=+，所以22216()3abababab=+=+，即2()163abab+=，又因为22abab+，22()16332ababab+=，所以2()164ab+，即8ab+，当且仅当4ab=等号成立.又因为4c=，8412a
28、bc+=，故ABC的周长的最大值为12 19.【解析】(1)设G为PB中点，连接,GE FG，又,E F分别是PC AD中点，所以11,22FDAD GEBC=，/GEBC，又底面ABCD是正方形，所以FDGE=，/GEFD，故四边形FDEG为平行四边形，则DE/FG，由DE 平面,PFB FG 平面PFB，则DE/平面PFB.(2)由题意知45PBD=，以D为原点，构建空间直角坐标系，令1AB=，则2PDDB，第 12 页 共 15 所以()()()1211,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2222BDEFP，所以()()1211,1,0,0,1,1,2,1,0222DBDEPBFB
29、=，令(),mx y z=为平面EDB的一个法向量，则012022m DBxym DEyz=+=+=，令2y=，即()2,2,1m=，令(),na b c=为平面PFB的一个法向量，则20102n PBabcn FBab=+=+=，令2a=，即22,1,2n=，所以77 552cos,551152m nm nm n=，即平面PFB与平面EDB夹角的余弦值7 5555 20.【解析】(1)设C点的坐标为(),x y，则点B的坐标为()21,23xy+，点B为圆22(1)(1)4xy+=上的动点，22(21 1)(23 1)4xy+=化简得22(2)1xy+=，故C的轨迹方程为22(2)1xy+=
30、(2)由圆22(2)1xy+=可得，圆心坐标为(0,2)，半径1r=，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为12x=，此时圆心到直线12x=的距离是12，所以212 1=32MN=，满足条件；第 13 页 共 15 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为112yk x+=，化简得1102kxyk=，因为3MN=，故圆心到直线l的距离231122d=，由圆心到直线l的距离公式得()2202112211kkdkk=+，所以211221kk=+，即22112kk=+，平方得224 1+14kkk=+，整理得430k=，解得34k=，直线l的方程为31142yx+=，即68110 xy=，故直线l的方
31、程为12x=或68110 xy=21.【解析】（1）由于第一次甲出示的卡片上的数字较大，故第二次或第三次甲出示的卡片上的数字必须较大才能获得胜利，即Y要对y，甲才能获得胜利 所以甲获得胜利为事件M，则()1111122222P M=+=（2）在第一次出示的卡片中，样本空间为第一次双方出示的卡片上的数字匹配情况，则,xX xY xZ yX yY yZ zX zY zZAxX yX yY zX zY zZ=所以()6293P A=记()1,=bxX yY zZ()2,=bxX yZ zY()3,=bxY yX zZ()4,=bxY yZ zX()5,bxZ yX zY=，第 14 页 共 15 (
32、)6,bxZ yY zX=，则三次出示卡片甲乙卡片上数字匹配情况的样本空间为123456,b b b b b b=B=“乙获得胜利，则 4=Bb，所以()16P B=()()()213618P ABP AP B=故事件A与事件B不独立 22.【解析】（1）设圆M的标准方程为222()()xaybr+=222222222(1)(3)2(2)(2)0(4)(0)2abraabrbabrr+=+=+=圆M的标准方程为22(2)4xy+=（2）设直线1l方程为1xmy=+，即10 xmy=则圆心M到直线1l的距离1211dm=+2221432 4211mPQmm+=+（i）若0m=，则直线2lx轴，此
33、时2 3,4PQEF=，则14 32SPQ EF=，若0m，则直线2l为11xym=+，即110 xym+=则圆心M到直线2l的距离222221134,2 4211111mdEFmmm+=+()()()()22222222234431122 122 1212112mmmSPQ EFmmmm+=+=+2212mm+，当且仅当21m=时取等 22110142mm+(4 3,7S 的为 第 15 页 共 15 综上所述：4 3,7S（ii）设()()1122,P x yQ xy，联立方程组可得：()12222221222111230(2)431myyxmymmymyxyy ym+=+=+=+直线OP方程为11yyxx=，直线CQ方程为()2244yyxx=，联立可得G的横坐标12212443Gmy yyxyy+=+由可知()121232my yyy=+()122122121212126444622333Gyyymy yyyyxyyyyyy+=+点G在定直线2x=上.