《广东惠珠联考2023年高二上学期10月联考数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东惠珠联考2023年高二上学期10月联考数学试题含答案.pdf（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第1页/共6页 学科网（北京）股份有限公司2022 级高二级高二 10 月惠珠联考月惠珠联考数学科试题数学科试题（满分（满分 150 分分 考试时间考试时间 120 分钟）分钟）注意事项：注意事项：1答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上填写在答题卡上.并用并用 2B 铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效.2选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑
2、，如需铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不不按以上要求作答的答案无效按以上要求作答的答案无效.4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回考生必须保
3、持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.一、单选题：本题共一、单选题：本题共 8小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 40 分分.在每小题的四个选项中，只有一项在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求符合题目要求.1.下列说法正确的是（）A.某人在玩掷骰子游戏，掷得数字 5概率是16，则此人掷 6 次骰子一定能掷得一次数字 5B.为了了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式C.一组数据 8，8，7，10，6，8，9 的众数和中位数都是 8D.若甲组数据的方差20.01S=，乙组数据的方差20.1S=，则乙比甲稳定2.祖暅原理的内容为“幂势既同，则积不容异”，其意思
4、是夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等设 A，B为夹在两个平行平面间的两个几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B 在同一高处的截面积总相等根据祖暅原理可知，p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知复数z满足13i34iz+=+，则z=（）A.2 55B.105C.25D.25的广东惠珠联考2023年高二上学期10月联考数学试题第2页/共6页学科网（北京）股份有限公司4.下列说法正确的是（）A.如果直线 l不平行于平面，那么平面 内不存在与 l平行的直线B.
5、如果直线l/平面，平面/平面，那么直线l/平面 C.如果直线 l与平面 相交，平面/平面，那么直线 l与平面 也相交D.如果平面平面，平面平面，那么平面/平面 5.在一个不透明的袋中有 4 个红球和n个黑球，现从袋中有放回地随机摸出 2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为89，则n=（）A.1B.2C.3D.46.已知定义在 R 上的函数()(),1fxfx+是偶函数，()2f x+是奇函数，则()2022f的值为（）A.0B.1C.2D.37.在必修第一册教材“8.2.1 几个函数模型的比较”一节的例 2中，我们得到如下结论：当02x时，22xx，当24x时，22xxB.bacC.ca
6、bD.cba8.已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且5a=，点为其外接圆的圆心.已知5BO AC=，则当角 C 取到最大值时ABC的面积为（）A.5 62B.5 6C.5 52D.5 5二、多选题：本题共二、多选题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的四个选项中，有多项符在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求合题目要求.全部选对全部选对 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错得分，有选错得 0 分分.9.如图，E，F分别是长方体 ABCD-ABCD的棱 AB，CD的中点，化简下列结果正确的是（）A.AACBAD=B
7、.AAABBBDC+=C.0ABADB D=+D.ABCFAF+=第3页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 10.有一组样本数据12345,x xx xx，已知5110iix=，52130iix=，则该组数据的（）A.平均数为 2 B.中位数为 2 C.方差为 2 D.标准差为 2 11.抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用a表示黄色骰子朝上的点数，b表示白色骰子朝上的点数，用(),a b表示一次试验的结果，该试验的样本空间为，事件A=“010ab+”，事件B=“4a=”，事件C=“4b”则（）A.A与B互斥 B.A与D对立 C.B与C相互独立 D.B与D相互独立 12.如图，已知正方体111
8、1ABCDABC D的棱长为 1，点M为棱AB的中点，点P在侧面11BCC B及其边界上运动，则下列选项中正确的是（）A.存在点P满足15PMPD+=B.存在点P满足12D PM=C.满足1APD M的点P的轨迹长度为4 D.满足1MPD M的点P的轨迹长度为24 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.直线l斜率为，且()3,1k，则直线l的倾斜角的取值范围是_ 14.一只蚂蚁在如图所示树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为_ 的的 第4页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 15.如图
9、，正三棱柱111ABCABC的各棱长均为1，点O为棱BC上的中点，点E为棱11AB上的动点，则OE 在11BC 上的投影向量的模的取值范围为_ 16.圆台及其内切球的体积分别为1V、2V，则21VV的取值范围为_ 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知四棱柱1111ABCDABC D在空间直角坐标系中，A 在原点，()()()12,0,0,0,4,0,2,4,4BDA，四边形ABCD矩形 （1）求三棱锥1DCA A的体积；（2）求1AC与1BC所成角的余弦值 18.
10、在四边形ABCD中，A、B、C、D四点共圆，5AB=，3BC=，3cos5ABC=（1）求四边形ABCD外接圆的半径；（2）若2 5sin5ACD=，求AD的长 19.如图，,O A B三点不共线，2OCOA=，3ODOB=，设OAa=，OBb=.是 第5页/共6页 学科网（北京）股份有限公司（1）试用,a b 表示向量OE；（2）设线段,AB OE CD的中点分别为,L M N，试证明,L M N三点共线.20.某校对 2023 年高一下学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取 100 名学生，将分数按照)30,50，)50,70，)70,90，)90,110，)110,130，1
11、30,150分成 6 组，制成了如图所示的频率分布直方图，现从)50,70和)70,90的两组中，用分层随机抽样的方法抽取 5 名学生 请完成以下问题：（1）从这 5名学生中再随机抽取 2名学生进行问卷调查，求抽取的这 2 名学生至少有 1 人成绩在)50,70内的概率；（2）观察抽取5 名学生的成绩，计算出选自)50,70中的样本的均值为 55，方差为 26，选自)70,90中的样本的均值为 85，方差为 11，请计算被选的这 5名学生成绩的方差 21.某校高三举办“三环杯”排球比赛活动，现甲、乙两班进入最后的决赛，决赛采用三局两胜的赛制，决出最后的冠军，甲班在第一局获胜的概率为12，从第二
12、局开始，甲班每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局甲班获胜的概率增加()01pp，若上局未获胜，则该局甲班获胜的概率减小()01pp，且甲班前两局连胜两场的概率为516（每局比赛没有平局）.（1）求甲班2:1获胜的概率；（2）若冠军奖品为 16个排球，且在甲班第一局获胜的情况下，由于不可抗拒力的原因，比赛被迫取消，请问：你认为甲、乙如何分配奖品比较合理.22.如图所示，长方形ABCD中，1AD=，2AB=，点M是边CD的中点，将ADM沿AM翻折到PAM，连接PB，PC，得到图的四棱锥PABCM 的 第6页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 （1）求四棱锥PABCM的体积的最大
13、值；（2）若棱PC的中点为N，Q为BN上的点，当CQ平面PAM时，求BQBN的值；（3）设PAMD的大小为，若0,2，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值 第1页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 2022 级高二级高二 10 月惠珠联考月惠珠联考 数学科试题数学科试题（满分（满分 150 分分 考试时间考试时间 120 分钟）分钟）注意事项：注意事项：1答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上填写在答题卡上.并用并用 2B 铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填
14、涂的，答卷无效铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效.2选择题每小题选出答案后，用选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液应位置上；如需改动，先划掉原来的
15、答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不不按以上要求作答的答案无效按以上要求作答的答案无效.4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.一、单选题：本题共一、单选题：本题共 8小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 40 分分.在每小题的四个选项中，只有一项在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求符合题目要求.1.下列说法正确的是（）A.某人在玩掷骰子游戏，掷得数字 5 的概率是16，则此人掷 6次骰子一定能掷得一次数字 5 B.为了了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式 C.一组数据 8，8
16、，7，10，6，8，9 的众数和中位数都是 8 D.若甲组数据的方差20.01S=，乙组数据的方差20.1S=，则乙比甲稳定【答案】C【解析】【分析】对于 A，根据概率的概念可判断；对于 B，根据抽样方法的理解可判断，对于 C，根据中位数，众数的概念可判断；对于 D，方差越小数据越稳定，可判断.【详解】A选项，概率表示随机事件发生可能性大小，所以此人掷 6次骰子不一定能掷得一次数字 5，故A错误；B选项，为了解全国中学生的心理健康情况，应该采取抽样调查更合理，故 B错误；C选项，根据中位数，众数的概念可判断其正确；D选项，根据方差越小数据越稳定，故 D错误.故选：C.第2页/共22页 学科网（
17、北京）股份有限公司 2.祖暅原理的内容为“幂势既同，则积不容异”，其意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等设 A，B为夹在两个平行平面间的两个几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B 在同一高处的截面积总相等根据祖暅原理可知，p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据祖暅原理可证明必要性成立，再证明充分性不成立即可.【详解】由祖桓原理可知，由,A B在同一高处的截面积总相等，可得,A B的体积相等，即qp，必要性成立；反之：若两
18、几何体,A B的体积相等，但两几何体,A B在同一高处的截面积不一定相等，即pq，充分性不成立，p是q的必要不充分条件 故选：B 3.已知复数z满足13i34iz+=+，则z=（）A.2 55 B.105 C.25 D.25【答案】D【解析】【分析】由已知可求得34 33 34i2525z+=+，进而得出z，然后计算复数的模即可得出答案.【详解】由已知可得，13i34iz+=+(13i)(34i)34 3(3 34)i(34i)(34i)25+=+34 33 34i2525+=+，第3页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 所以，34 33 34i2525z+=，所以，z=2234 33 3
19、4225255+=.故选：D.4.下列说法正确的是（）A.如果直线 l不平行于平面，那么平面 内不存在与 l平行的直线 B.如果直线l/平面，平面/平面，那么直线l/平面 C.如果直线 l与平面 相交，平面/平面，那么直线 l与平面 也相交 D.如果平面平面，平面平面，那么平面/平面 【答案】C【解析】【分析】根据直线与平面的关系判断 A，根据线面平行、面面平行的性质判断 B，由直线与平面相交即平面平行的性质判断 C，根据平面垂直的性质判断 D.【详解】如果直线 l不平行于平面，例如l，则平面 内存在与 l平行的直线，故 A 错误；如果直线l/平面，平面/平面，那么直线l/平面 或l，故 B
20、错误；如果直线 l与平面 相交，平面/平面，直线 l与平面 也相交，故 C 正确；如果平面平面，平面平面，那么平面/平面 或与相交，故 D 错误.故选：C 5.在一个不透明的袋中有 4 个红球和n个黑球，现从袋中有放回地随机摸出 2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为89，则n=（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为19，据此可得答案.【详 解】由 题 可 得 取 出 的 球 中 没 有 红 球 的 概 率，即 两 次 都 摸 出 黑 球 的 概 率 为19，则()()()()222219424440294n
21、nnnnnn=+=+.故选：B 第4页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 6.已知定义在 R 上的函数()(),1fxfx+是偶函数，()2f x+是奇函数，则()2022f的值为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】根据已知条件可知()f x关于点()2,0中心对称，结合偶函数定义可推导得到()f x的周期，根据周期性和奇偶性可得()()202202=ff=.【详解】()1f x+为偶函数，()()1=1f xfx+fx的图像关于1x=对称，()()2f xfx+=；()2f x+是奇函数，()()+22fxf x=+，可知()f x关于点()2,0中心对称，()(
22、)22ff=()20f=，()()()()42,2,f xf xf xf x+=+=()()()()()42,f xf xf xf x+=+=fx是周期为 4 的周期函数，()()()20224 505+220fff=故选：A.7.在必修第一册教材“8.2.1 几个函数模型的比较”一节的例 2中，我们得到如下结论：当02x时，22xx，当24x时，22xx B.bac C.cab D.cba【答案】B【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简()131 ii22+，即可得到2c=，结合已知条件得到ba，再由对数函数的性质得到ac，即可判断.【详解】因为()213131313131 iiii
23、ii2222222222+=+=+，.第5页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 所以()221313131 ii2222222c=+=+=，又322222 23=，因为032，所以()2322log 2log3，即23log 3，即ba，综上可得bac.故选：B 8.已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且5a=，点为其外接圆的圆心.已知5BO AC=，则当角 C 取到最大值时ABC的面积为（）A.5 62 B.5 6 C.5 52 D.5 5【答案】A【解析】【分析】利用外心的性质，5BO AC=可转化为221122BCBA ，再由余弦定理及均值不等式求出cosC的最小值
24、，即可得解.【详解】点O为其外接圆的圆心，,OM ON分别是,BA BC的中垂线，如图，()2211|22BO ACBOBCBABNBCBMBABCBA=，2211522ac=，即15c=.由2222101110cos221010105abcbbbCabbbb+=+=，当110bb=，即10b=时取等号，此时角C取到最大值，此时222(15)(10)5+=，即ABC为直角三角形，所以当角C取到最大值时，ABC的面积为115 61510222bc=，故选：A.第6页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 二、多选题：本题共二、多选题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分
25、分.在每小题给出的四个选项中，有多项符在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求合题目要求.全部选对全部选对 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错得分，有选错得 0 分分.9.如图，E，F分别是长方体 ABCD-ABCD的棱 AB，CD的中点，化简下列结果正确的是（）A.AACBAD=B.AAABBBDC+=C.0ABADB D=+D.ABCFAF+=【答案】AB【解析】【分析】根据空间向量线性运算的性质逐一判断即可.【详解】A：AACBAAADAD=+=，因此本选项正确；B：AAABB CBA DBAD +=+=，因此本选项正确；C：0ABADB DADADDD+=，因此本选项
26、不正确；D：ABCFABEBAEAF+=，因此本选项不正确，故选：AB 10.有一组样本数据12345,x xx xx，已知5110iix=，52130iix=，则该组数据的（）A.平均数为 2 B.中位数为 2 C.方差为 2 D.标准差为 2【答案】AC【解析】【分析】结合题设中的数据，根据平均数、中位数和方差的定义和计算方法，即可求解.【详解】由题意知，样本数据12345,x xx xx，且5110iix=，52130iix=，数据的平均数为1234510255xxxxxx+=+=，所以 A正确；根据中位数的定义，数据的中位数为中间的数据，所以不确定，所以 B不正确.数据的方差为2222
27、22123451(2)(2)(2)(2)(2)5sxxxxx=+第7页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 2222212345123451()4()205xxxxxxxxxx=+1304 102025=+=，所以 C 正确；标准差为2s=，所以 D 错误；故选：AC.11.抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用a表示黄色骰子朝上的点数，b表示白色骰子朝上的点数，用(),a b表示一次试验的结果，该试验的样本空间为，事件A=“010ab+”，事件B=“4a=”，事件C=“4b”则（）A.A与B互斥 B.A与D对立 C.B与C相互独立 D.B与D相互独立【答案】BCD【解析】【分析】列举出事件A、
28、B、C、D所包含的基本事件，利用互斥事件的定义可判断 A选项；利用对立事件的定义可判断 B 选项；利用独立事件的定义可判断 CD选项.【详解】由题意可知，事件A包含的基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、()1,5、()1,6、()2,1、()2,2、()2,3、()2,4、()2,5、()2,6、()3,1、()3,2、()3,3、()3,4、()3,5、()3,6、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4、()4,5、()5,1、()5,2、()5,3、()5,4、()6,1、()6,2、()6,3，共30个基本事件，事件B包含基本事件有：()4,1、()4,2
29、、()4,3、()4,4、()4,5、()4,6，共6个基本事件，事件C包含的基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()2,1、()2,2、()2,3、()3,1、()3,2、()3,3、()4,1、()4,2、()4,3、()5,1、()5,2、()5,3、()6,1、()6,2、()6,3，共18个基本事件，事件D包含的基本事件有：()4,6、()5,5、()5,6、()6,4、()6,5、()6,6，共6个基本事件，所有的基本事件共2636=个.对于 A选项，()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5AB=，所以，A与B不互斥，A错；对于 B选项，由上可知，A与
30、D对立，B对；的 第8页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 对于 C选项，事件BC包含的基本事件有：()4,1、()4,2、()4,3，共3个基本事件，则()313612P BC=，又因为()61366P B=，()181362P C=，所以，()()()P BCP B P C=，故B与C相互独立，C对；对于 D选项，因为()4,6BD=，则()()()1113666P BDP B P D=，故B与D相互独立，D对.故选：BCD.12.如图，已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，点M为棱AB的中点，点P在侧面11BCC B及其边界上运动，则下列选项中正确的是（）A.存在点P满足
31、15PMPD+=B.存在点P满足12D PM=C.满足1APD M的点P的轨迹长度为4 D.满足1MPD M的点P的轨迹长度为24【答案】ABD【解析】【分析】假定152PMPD=，结合条件可得1BP=，112C P=，然后利用圆的位置关系可判断 A，利用坐标法可得点 P 在11BCC B中心时，10D P MP=可判断 B，利用线面垂直的判定定理结合条件可得点P 的轨迹可判断 CD.第9页/共22页 学科网（北京）股份有限公司【详解】对于 A选项，假设152PMPD=，因为222211()2PMBMBP=+=+，又12BM=，且BM始终垂直平面11BCC B，所以1BP=，点P在以 B 为圆
32、心，半径为 1 的圆上，同理152PD=，111DC=，则112C P=，点 P 在以 C1为圆心，半径为12的圆上，如图 1，又因为11112122BC=），画出球内切于圆台的轴截面，利用图形中的长度关系可求出球的半径，再根据球和圆台的体积公式表示出2V、1V，再由基本不等式计算可得.【详解】设圆台的上，下底面半径分别为r，R（Rr），球内切于圆台的轴截面如图：第13页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 则ADr=，BCR=，DCRr=+，22()()2ABrRRrRr=+=，AB为球的直径（圆台的高），球的半径为Rr，则球的体积()3243VRr=，圆台的体积()221123RrrRR
33、rV=+，所以()()3222122431232VRRrRrrRrRrVrRRr+=，因为222RrrR+，所以22222032rRRrRRrRrrRr+=+，即21VV的取值范围为20,3.故答案为：20,3【点睛】关键点睛：本题的关键是找到圆台的高与上、下底面半径的关系，再由球、圆台的体积公式得到目标式子.四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知四棱柱1111ABCDABC D在空间直角坐标系中，A 在原点，()()()12,0,0,0,4,0,2,4,4BDA，
34、四边形ABCD是矩形 （1）求三棱锥1DCA A的体积；（2）求1AC与1BC所成角的余弦值【答案】（1）163 （2）3010【解析】第14页/共22页 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用已知条件先判定1AC 平面ABCD，结合等体积法计算棱锥体积即可；（2）利用空间向量数量积的坐标表示计算异面直线夹角即可.【小问 1 详解】由题易知()2,4,0C，则()10,0,4AC=是面 ABCD 的一个法向量，即1AC 平面ABCD，故111111162 4 43323D CA AAACDACDVVSAC=；【小问 2 详解】向量加法法则易得：()114,8,4ACAAAC=+=，且()
35、1112,0,4BCB BBCAAAD=+=+=，故1AC与1BC所成角的余弦值为1111ACBCAC BC=8 1630.109620=18.在四边形ABCD中，A、B、C、D四点共圆，5AB=，3BC=，3cos5ABC=（1）求四边形ABCD外接圆半径；（2）若2 5sin5ACD=，求AD的长【答案】（1）5 134 （2）65AD=【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出AC的长，求出sinABC的值，再利用正弦定理可求出四边形ABCD外接圆的半径；（2）分析可知ADCABC=，求出sinADC的值，再利用正弦定理可求得AD的长.【小问 1 详解】在ABC中，5AB=，3BC=，3co
36、s5ABC=由余弦定理可得22232cos2592 5 3525ACABBCAB BCABC=+=+=，所以，2 13AC=，又因为2234sin1 cos155ABCABC=，的 第15页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 故四边形ABCD外接圆的半径为2 135 1382sin45ACrABC=.【小问 2 详解】因为A、B、C、D四点共圆，则ADCABC=，所以，()4sinsin sin5ADCABCABC=，在ACD中，2 13AC=，4in5sADC=，2 5sin5ACD=，由正弦定理sinsinADACACDADC=可得2 52 13sin5654sin5ACACDADAD
37、C=.19.如图，,O A B三点不共线，2OCOA=，3ODOB=，设OAa=，OBb=.（1）试用,a b 表示向量OE；（2）设线段,AB OE CD的中点分别为,L M N，试证明,L M N三点共线.【答案】（1）4355OEab=+；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由B，E，C三点共线，可得到一个向量等式，由A，E，D三点共线可得到另一个等式，第16页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 两者结合即可解决（1）；（2）欲证三点共线，可先证明两向量共线得到 详解】解：（1）B，E，C三点共线，(1)2(1)OExOCx OBxax b=+=+，同理，A，E，D三点共线，可得
38、3(1)OEyay b=+，比较，得213(1)xyxy=解得25x=，45y=，4355OEab=+（2）2abOL+=，143210abOMOE+=，123()22abONOCOD+=+=，61210abMNONOM+=，210abMLOL OM+=，6MNML=，L，M，N三点共线【点睛】本题考查平面向量的基本定理和平面向量的共线定理的应用，通过共线定理证明三点共线，考查转化思想和运算能力.20.某校对 2023 年高一下学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取 100 名学生，将分数按照)30,50，)50,70，)70,90，)90,110，)110,130，130,150
39、分成 6 组，制成了如图所示的频率分布直方图，现从)50,70和)70,90的两组中，用分层随机抽样的方法抽取 5 名学生 请完成以下问题：（1）从这 5名学生中再随机抽取 2名学生进行问卷调查，求抽取的这 2 名学生至少有 1 人成绩在)50,70【第17页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 内的概率；（2）观察抽取的 5 名学生的成绩，计算出选自)50,70中的样本的均值为 55，方差为 26，选自)70,90中的样本的均值为 85，方差为 11，请计算被选的这 5 名学生成绩的方差【答案】（1）710 （2）233【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图及分层抽样的定义，结合古典概型
40、的概率的计算公式即可求解；（2）利用分层抽样的平均数和方差公式即可求解.【小问 1 详解】由频率分布直方图可知，得)50,70分数段的人数为100 0.005 2010=人，)70,90分数段的人数为100 0.0075 2015=人.由分层抽样可知，需在)50,70分数段抽取的人数为510225=人，分别记为12,a a，需在)70,90分数段抽取的人数为515325=人，分别记为123,b b b，从这 5 名学生中再随机抽取 2名学生进行问卷调查的样本空间为 121 11 21 32 1222 31 21 32 3,a aab ab ab a b a b a b bb bb b b=，共
41、有10个样本点，设“抽取的这 2 名学生至少有 1 人成绩在)50,70内的事件”为A，则 121 11 21 32 1222 3,Aa aab ab ab a b a b a b=,包含7个样本点，由古典概型的概率计算公式知，()710P A=.所以抽取的这 2 名学生至少有 1 人成绩在)50,70内的概率为710.【小问 2 详解】由(1)知，选自)50,70分数段抽取的人数为2人，样本的均值为 55，方差为 26，选自)70,90分数段抽取的人数为3人，样本的均值为 85，方差为 11，被选的这 5 名学生成绩的平均数为2355857355z=+=，被选的这 5 名学生成绩的方差为()
42、()2222326557311857323355s=+=.21.某校高三举办“三环杯”排球比赛活动，现甲、乙两班进入最后的决赛，决赛采用三局两胜的赛制，决出最后的冠军，甲班在第一局获胜的概率为12，从第二局开始，甲班每局获胜的概率受上局比赛结果的 第18页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 影响，若上局获胜，则该局甲班获胜的概率增加()01pp，若上局未获胜，则该局甲班获胜的概率减小()01pp，且甲班前两局连胜两场的概率为516（每局比赛没有平局）.（1）求甲班2:1获胜的概率；（2）若冠军奖品为 16个排球，且在甲班第一局获胜的情况下，由于不可抗拒力的原因，比赛被迫取消，请问：你认为甲
43、、乙如何分配奖品比较合理.【答案】（1）316 （2）甲班级应获得 13个排球，乙获得 3 个排球比较合理【解析】【分析】（1）先求出18p=，再利用互斥事件得概率加法公式和相互独立事件得概率乘法公式计算即可；（2）先求出再甲第一局获胜的情况下，甲输掉比赛的事件概率，即可求解.【小问 1 详解】令事件iA：甲第i局获胜，1,2,3i=.甲连胜两局的概率为：12115()2216PP A Ap=+=，所以18p=，则甲2:1获胜的概率为：123123()()PP A A AP A A A=+131131328228216=+=【小问 2 详解】由题意知，在甲第一局获胜的情况下，甲输掉比赛事件为：
44、甲接下来的比赛中连输两场，即23313(?)8216PP A A=，故而甲、乙应按照13:3的比例来分配比赛奖金，即甲班级应获得 13 个排球，乙获得 3 个排球比较合理 22.如图所示，长方形ABCD中，1AD=，2AB=，点M是边CD的中点，将ADM沿AM翻折到PAM，连接PB，PC，得到图的四棱锥PABCM 在 第19页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 （1）求四棱锥PABCM的体积的最大值；（2）若棱PC的中点为N，Q为BN上的点，当CQ平面PAM时，求BQBN的值；（3）设PAMD的大小为，若0,2，求平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值【答案】（1）24 （2）23 （3
45、）1111【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到当平面PAM 平面ABCM时，P点到平面ABCM的距离最大，四棱锥PABCM的体积取得最大值，求出1222PGAM=，从而得到体积最大值；（2）取PA中点H，取PB中点G，连接,MH HG CG，证明/CG平面PAM，得Q为重心即可；（3）作出辅助线，得到PGD为PAMD的平面角，即PGD=，建立空间直角坐标系，求解平面PAM和平面PBC的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得即可.【小问 1 详解】解：取AM的中点G，连接PG，因为PAPM=，则PGAM，第20页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 当平面PAM 平面ABCM时，P点到平面ABC
46、M的距离最大，四棱锥PABCM的体积取得最大值，此时PG 平面ABCM，且1222PGAM=，底面ABCM为梯形，面积为13(12)122+=，则四棱锥PABCM的体积最大值为13223224=；【小问 2 详解】取PA中点S，取PB中点T，连接,MS ST CT，则/STABMC，12STMCAB=，所以四边形STCM是平行四边形，所以/CTSM，CT 平面PAM，SM 平面PAM，则/CT平面PAM，又,BN CT为PBC的中线，则Q为重心，则23BQBN=【小问 3 详解】连接DG，过P作PHDG于点H，DADMPMPA=，所以,AMPG AMDG，PGDGG=，PG 平面PDG，DG
47、平面PDG，则AM平面PDG，则AMPH，AMDGG=，AM 平面ABCD，DG 平面ABCD，则PH 平面ABCM，所以PGD为PAMD的平面角，即PGD=，0,2 第21页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 则222,sin,cos222PGPHHG=，2(1 cos)2DH=过点D作Dz 平面ABCD，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(1A,0,0)，(0M,1,0)，(1B,2,0)，(0C,2,0)，112(1 cos),(1 cos),sin222P，设平面PAM的法向量为1111(,)nx y z，又(1,1,
48、0),s112(1 co)(cos1)sin22,2AMPA=+，则1111101 coscos12sin0222xyxyz+=+=，令12z=，则1(tan,tan,2)n=，设平面PBC的法向量为22(nx=,2y,2)z，又因为cos1 cos32(1,0,0),sin222CBPC+=，则22220cos1cos32sin0222xxyz=+=，令22siny=，可得：2(0,2sin,3cos)n=+，设两平面夹角为，则212122212sin23 22coscos|cos,|2tan2 2sin6cos9|n nn nnn+=+2|3cos1|11 cos6cos+=213 cos3120180coscos3339+=+第22页/共22页 学科网（北京）股份有限公司 2380201113 cos9 cos33+=+，令1,0,12cos3t=+，所以3(,34t，所以29cos80609tt=+，当3t=时，cos有最小值1111，所以平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值为1111.