《2021届高三第三次模拟考试数学（理）试题及答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021届高三第三次模拟考试数学（理）试题及答案.pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）能力测试试题卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本大题共1 2小题，每小题5分，满分6 0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合 A =x -2 x 0 ,5 =x V 一 1 0,|e|5）有两个相邻的极值点分别为和7T 71=-，为了得到函数g（x）=A c o s s的图象，只需将.f（x）图象6 37T7FA.向左平移一个单位长度 B.向右平移一个单位长度3 3冗7 TC.向左平移F个单位长度 D.向右平移B个单位长度6 61 0 .若 魏
2、（%谶在直线上常朴矍建=电移动，则室区的最小值是A.誓 B.、&C.&叵 D.1 1 .下列命题中的假命题是（）A.对于命题，p：3x（）e R,x02+x（）0B.抛物线y =8 f的准线方程是y =-2C.“x =3”是“f 一3%=0 ”的充分不必要条件D.若两直线3x +4y +3=。与6 x+中y +l =。平行，则它们之间的距离为,22 21 2.已知双曲线E:-3=1（。0*0）的焦点在耳，过点FI的直线与两条渐近线的交a b点分别为M、N两点（点6位于点M与点N之间），且 加 =3不，又过点耳作耳P _ L OM于P（点。为坐标原点），且|O N=|O P|,则双曲线E的离心率
3、6=（）A.垂）B.&C.D.3 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.1 3.若（1-3幻”展开式中各项系数的和等于6 4,则展开式中/的系数是.1 4.已知三棱锥P-A8 C中，侧棱B 4J_底面 A B C,A C V B C,P A=A B =2 BC=2,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.1 5 .已知数列 4 满足a“+i=3q,+4,%=1,则=.1 6 .对于函数f（x）,若存在区间勿（a 0/0)的离心率为女，并且经过尸(0,6)点.(1)求椭圆。的方程；(2)设过点P的直线与x轴交于N 点，与椭圆的另一个交点为8,点 8关于x轴的对称点为 3 ，直线交轴于
4、点M，求证：为定值.2 1 n x2 1 .己知函数/(x)=a x-,a w R.x(I)当。=1 时，求 的 图 象 在 点 尸(e,7(e)处的切线方程；(I I)设函数g(x)=4(x)-4,讨论函数g(x)的零点个数.(-)选考题：共 1 0 分.请考生在第2 2、2 3 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.2 2 .选修4 一4：坐标系与参数方程(匹I Y=7 c c q zy在直角坐标系X。)，中，曲线G 的参数方程是 是参数).以原点。为 y=si n a极 点，以 轴 的 正 半 轴 为 极 轴，建 立 极 坐 标 系，曲 线。2的 极 坐 标 方 程 是p
5、si n(e +)=4 夜.(1)求曲线G 的普通方程与曲线。2 的直角坐标方程；(2)设尸为曲线G 上的动点，过 P点且与X垂直的直线交G 于点A，求I P A I 的最小值，并求此时点尸的直角坐标.2 3 .选修4-5：不等式选讲设函数/(x)=|x 2 -|2 x+l|.(1)求不等式/(x)x 的解集；(2)若不等式在2,1 时恒成立，求实数/的取值范围.参考答案1.B根据二次不等式的方法求解集合B,再求解An8即可.【详解】3=了|%2-10=|一14%41,故24口6=|一1/3+3x22=7故 归 一 百 可=近故选：A.点评：向量的模运算的常用方法：（1）定义法；（2）坐标法；
6、（3）用求模.5.C由诱导公式求出cosa,从而由二倍角的余弦公式计算可得.【详 解】3 1 解：sin(a+)=-cosa=-,即有 cos2=2 3 3c c 2 1 7cos2a=2cos a-=.9故 选：C.6.D本题主要考查读图分析能力，结合两图分析，即可作出判断.【详 解】由 图1可 知，河南省的接待游客数量在这8个省中排名第一，江西省的接待游客数量排名第二，A正确；由图2可 知，河南、江西、湖 北 三 省 的 旅 游 收 入 的 平 均 数 为360.71 +398.81 +348.29-._、+_ 小内/田、也必、,-=369.27（亿 兀），江苏、陕西、福建二省的旅游收入的
7、平均数为512.55+25；.06+340.88。369.16（亿 元），显然相差 不 到1亿元，B正确；由 图2可 知，贵州省的旅游收入在这8个省中排名第三，C正确；由 图2可 知，这8个 省 的 旅 游 收 入 的 中 位 数 为 出 史图2*358.71（亿 元），显然低于2河南省的旅游收入360.71（亿 元），D错误.故选：D.7.B所求分成两种情况1名教师，2名学生2名教师，1名学生对每种情况分类计算相加即可【详 解】所求分成两种情况1名教师，2名学生时，有CC；=20种2名教师，1名学生时，有C；C；=5种共25种故选：B点评：组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含
8、有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解.8.A根据线面、面面的关系一一判断；【详解】解：因为两条不同的直线/,加和不重合的两个平面。，尸，且/，对于，由/_L尸,?，可得/?，故正确；对于，若/，氏。/月，可得/_ L a,故正确；对于，若 lA./3,aL/3 ,则有可能/u a,故错误；对于，当时，则有可能m u，故错误.综上，真命题的序号是.故选：A.9.C由两个相邻的极值点分别为-工和2可求得周期，再将点(三，土A)代入
9、，结合|勿四可求3 6 6 2得夕值，进而求得“X)表达式，将不同名的余弦函数转化成正弦函数，结合函数图像平移变换的性质，即可求得【详解】解：:彳=(；)=彳T=7TM=2,将点(7，士A)代入，得sin(；+*)=1,2 6 3 2 6 3 J!/J I J l从而(p=F 2 k兀或e =-F 2 k兀,攵 Z,|例 二 =.6 6 2 6因此/(x)=Asin(2%+-)变换到g(x)=Acos2x=Asin(2x+-)只需向左平移?个单6 2 6位长度.答案选C点评：本题考查三角函数解析式的求法，三角函数诱导公式的使用，三角函数图像的平移变换综合性强，但难度不大，平移变换的前提是函数同
10、名1 0.B【详解】因为 x +2 y =-1,所以 2*+4、2,2*.4,=2也 标=2 J F7=0 -1 1.B对A,根据特称命题的否定是全称命题可判断；对B,可得抛物线准线方程为丁=-点；对C,解出x 2-3 x =0可判断；对D,求出直线间距离可判断.【详解】对A,根据特称命题的否定是全称命题可判断A是真命题，不符合题意；对B,抛物线y =8/的标准方程为无2=y,准线方程为丫 =一 故B是假命题，符合8 3 2题意；对C,由f 3 x =O可解得x =O或3,所 以“X =3”是“2 3 x =O”的充分不必要条件，故C是真命题，不符合题意；|6-1|1对D,直线3 x+4 y
11、+3=O可化为6 x +8 y +6 =0,两直线距离为=L =,故D是真用+8 2 2命题，不符合题意.故选：B.1 2.CM N F M 1由题意知耳 N_ LON,FtN =FtP =-=-,即 R t A M P 月中 s i n/P M K=e，进而求出“加耳，又 R s M N O 中可求N M O N ,可得渐近线的倾斜角大小，进而求离心率.【详解】由题意，可得如下示意图:其中，|ON|=|OP|知：Q P F 三 N F、,又钢=3不 即 耳N J _ O N且R Z Z 7 D M N F】MRN=FF=r=-,Rt Z k MP月中，有 s i n 6 =，得。M K=三,
12、R M 2 6TT h TT.在Rr J VW。中，N M O N =,若=无与x轴夹角为a,即2。=,3 a 3*t an ot=,由 a2 +尸=c 2，即可得 e =a 3 a 3故选：C点评：关键点点睛：利用线段的比例关系，以及垂直关系求两渐近线的夹角大小，进而根据渐近线的斜率求参数a、b的数量关系，即可求离心率.1 3.1 3 5先由各项系数的和，求出，再由二项展开式的通项公式，即可求出结果.【详解】因为(1-3幻”展开式中各项系数的和等于6 4,所以(1 3)=6 4,解得=6；所以(1-3x)6展开式的通项为 J =C；(-3)4,令r=2,得尤2的系数为(-3)2 =135.故
13、答案为135点评：本题主要考查二项展开式中指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.14.8%因 为 侧 棱 P A _ L 底 面 ABC,A C B C ,所 以 三 棱 锥 P-A B C 的外接球等 同 于 以A C,B C,A P 为长、宽、高的长方体的外接球，体对角线即为外接球的直径，即可求解.【详解】因 为 侧 棱 尸 底 面 ABC,A C 1 B C,所以三棱锥P A B C 的外接球等同于以A C,8 c A p 为长、宽、高的长方体的外接球，且 P A =2,A6=2,5C=1,所以 AC=JA B2 _BC2 7*=6，长方体的对角线即为三棱锥P-A B C的外接
14、球的直径，即 2R=（可+12+22=2 V 2，所以外接球的半径为R=应，所以外接球的表面积为：4乃（血 了=8万，故答案为：8万点评：方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.15.3-2利用递推关系式推出数列 4 +2为等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解.【
15、详解】,、an+.+2 Qa“+i=3a“+4,+2=3。“+6=3(。“+2),即彳=3 十乙又=1,4+2=3.凡+2是首项为3,公比为3的等比数歹U，.a“+2=3x3T=3 ,故。“=3-2故答案为：3-2点评：方法点睛：本题考查等比数列的定义和等比数列的通项公式，求数列通项公式常用的方法:(1)由 与S”的关系求通项公式；(2)累加法；(3)累乘法；(4)构造新数列法.考查了学生的转化与数学算能力，属于基础题.1 6.，/、f f(a =a/、当函数/(x)单调递增时，由定义得,;二 人，转化为方程/(x)=x至少有两个实数根来处理，或者找出一个区间可满足题意.【详解】对于中的函数/
16、(尤)=,该函数单调递增，若该函数存在稳定区间时=6可,人),f(b)=b则关于X的方程.f(x)=x至少有两个实根，即方程/=x至少有两个实根,事实上，V xeR,e，x，关于的 方 程 产=无实根，故函数/(%)=，不存在稳定区间”；对于中的函数 刈=3,该函数单调递增，若该函数存在稳定区间M=a,可g。),则/()=f(b)=b，则关于尤的方程/(x)=x至少有两个实根，即方程V=x至少有两个实根,事实上，方程3=有三个实数根，分别为一1、0、1,因此，中的函数存在“稳定区间”；对于中的函数y(x)=c o s号，取 区 间 加=0,1,即当O W x W l时，此jr Y时，O W c
17、 o s 1,所以，中的函数存在“稳定区间”；2对于中的函数/(x)=l n x+l,该函数在(0,+。)上单调递增，若该函数存在稳定区间M=a,b(a 0,x-1 I n x,当且仅当x =l时等号成立，所以，关于X的方程/(x)=x有且只有一个实根，所以，中的函数不存在“稳定区间”.故答案为.点评：本题考查函数中的新定义，考查定义与值域问题，而联系函数的定义域与值域问题的桥梁就是函数的单调性，因此要充分分析函数的单调性来解题，此外，本题较为巧妙地就是将新定义转化为了函数的零点问题，考查了化归与转化思想，综合性较强，属于难题.31 7.(1)最小正周期万，最大值为一；(2)4 /3 .2_
18、2 K(1)逆用二倍角公式化为同名三角函数，再利用丁 二同及正余弦函数的值域即可(2)由q +c=8及余弦定理和面积公式即可得解.【详解】(1)f(x)=V 3 s i nx cos x +s i n2 xV 3 .c 1-cos 2 x.二 s i n 2 x+-=s i n2 21H，2/(x)的最小正周期7 =夸=万当2 x =+时，即*=。+左万(k w Z)时,(2)又6)=2,得2 8工=2攵乃+工 伏e Z)2 6 23/(x)的最大值为5 .即8 =女乃+三(k e Z)jr因为0v3,故3=一3因为/?=4,aABC的周长为12,所以Q+C、=8.由余弦定理得：a1+c2-a
19、c=1 6 即(Q+C)2-3QC=1 6,所 以 碇=16.故S=ac-sin B2ixl6xf=4点评:本题考查三角函数的综合应用和解三角形，要灵活运用三角函数的基本性质、恒等变换、正余弦定理、面积公式等.718.(1)；(2)700；(3)2夜 p l时，可以提高整个系统G的正常工作概率.27(1)由次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出系统需要维修的概率.(2)设X为需要维修的系统的个数，则X 且J=9 0 0 X,由此能求出自的期望E(J).(3)当系统G有5个元件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，G系统正常才正常工作，若前3个电子元件中有1个正常工作，同时
20、新增的两个必须都正常工作，若前3个电子元件中有2个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，若前3个电子元件都正常工作，则不管新增的两个是否正常工作，系统G均能正常工作，由此求出新增两个元件后系统G能正常一作的概率，从能求出P满足什么条件时可以提高整个系统G的正常工作概率.【详解】解：(1)系 统 需 要 维 修 的 概 率 为+以2(1)=2_,3 3 27(2)设X为需要维修的系统的个数，则X 且J=900X,7所以 E(J)=900E(X)=900 x3x=700.(3)当系统G有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有一个元件正常工作，系统G才正常工作 若 前3个电子元件中有1个正常
21、工作，则同时新增的两个必须都正常工作，则概率为2 f 1 Y 2 2 ,G#P=P；若 2个电子元件中有2个正常工作，则同时新增的两个至少有1个正常工作，则概率为cg；c；p(l p)+p 2 =(2p 若前3 个电子元件中3 个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，系统G 均能正常工作，则概率为=:3 27所以新增两个元件后系统G 能正常工作的概率为2 P 298p-2p298+一274+92 8_ )+2一7=令 8P-2 2+刍 解得 2 0 p 2 +0,9 27 27即2-0 7 32故：(x,y,z 2)=4(0,3,-2),据此可得：i y =34,z 2 2 +2即点 M
22、 的坐标为M(7 32,32,-22+2),设平面C MB 的法向量为：勺=(X ，X，Z )，则：nl-C B =(,y1,z1)-(O,-2,O)=-2jI=0 A A,l-3/l,2/l-2)=0，据此可得平面C MB 的一个法向量为：=(2,0,7 3),设平面MB A 的法向量为：=(x,y2,z2),则：A B =(x2,y2,z2)7 V 3,l,o j =y/3 x2+%=0n2-M B-x2,y2,z2y/3 V 3A,1-32,22-2j=0据此可得平面MB A的一个法向量为：足=1,-V3，T L 1-Jc 3/12+二5 1 A 一 5二面角C M 8 A的余弦值为一，
23、故：-17 疗 x J l +3+乌1 7 (1 T)2整理得1 4分-1 9/1 +6=0，解得：2=-2=-.2 72由点M的坐标易知点M到底面A B C D的距离为1或者争点评：本题主要考查线面垂直的判定定理，空间向量在立体几何中的应用，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2 220.(1)-+匕=1；(2)证明见解析.4 3W=ib2(1)由 ,可得答案；C 1a 2(2)设直线PB的方程为y =kx+瓜k w 0),与椭圆方程联立利用韦达定理可得B点坐标,及直线尸夕的方程然后令y =0得M、N,由1 0MH C W|可得答案.【详解】3=1 r 。b=c
24、i 2 2(1)由已知 ，解得 厂所以椭圆。：二+2-=1._ 1 b=y/3 4 3,2(2)证明：由已知斜率存在以下给出证明：由题意，设 直 线 的 方 程 为 二 位+百(心0),尸(0,百)，3(w x),则y),由,3x2+4y2=1 2,y=kx+y/3,得（3+4%2）f+8 左百x =o,所以=卜左百丁o,n_ 8kMXi1 +0 =-3-+-4-4-2-x18k6 8k+r-7，X=7 +/3，3 +4 左 2 7 1 3 +4 F所以8摩-鬻+4-38+%46/-4也3 +E 4+公3垂,直线P9的方程为y-笔 萨 二2-队不、x-3 +4/J（-4辰2-3利必令y =0得
25、x =1 -所以M3（3 +4公）3（3 +4公）、,0 ,7令y =0由y =A x+0得=一3所以N44所以|QI4|ON卜也T-点评：本题考查了椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系，关键点是利用韦达定理表示出B点坐标,考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.22 1.(I )x-y-=0 (I I)见解析e(I)根据导数的几何意义求出斜线的斜率，然后根据点斜式方程可得结果.(I I)根据函数g(x)的单调性和极值、最值得到函数图象的大体形状，在此基础上判断出零点的个数.【详解】(I)当a =l 时，=X所以尸(x)=l左詈，所以r(e)=L又/(e)=e _：.所以函数/(x)的图象在
26、点P(e J(e)处的切线方程为y 卜x -e,即 尤 _,_2 =().e(I I )由题意得且(工)=4(工)一4 =0 2 2 1 1 1 4,定义域为(0,+s),nil,?2(ax2-1则 g=2ax=-X X(i)当QWO时，g(x)0恒成立，故g(x)在(0,+8)上单调递减,令1_ eT,则 g(/)=咻 -2 1 n x()_ 4 _2 1 1 1%4 =0.又 g 6 =a-4 0时，令g(x)0,得x，=.所以g(x)在0,上单调递减，在上单调递增,故 g(x)m m=21nV-3=Inn-3.若a e 3,g(x)mn 0,函数g(x)无零点；若a =e 3,g(x)m
27、 in=，函数g(x)有唯一零点;若0 a e 3,g(x)1 r t l i ，3 1A.2 F 1令e 2 2 1叫 一4 =0.则 g(/)=W _ 2 1 n r 2 -4渥-2/-4 ax；-4 t z-2 x2-4=(%2 +2)(2)2 =0.所以函数g(x)在 2,十)，十，2+：上各有一零点，从而函数g(x)有两个零点.综上可得：当a e 3时，函数g(x)没有零点；当a W O或a =e 3时，函数g(x)有唯一零点;当0a/2 得：p(s i n3+c os 6)=4后，即0(s i n 9+c os 6)=8,所以曲线G的直角坐标方程为：x+y-S=0.（2）由（1）知
28、椭圆G与直线G无公共点，椭圆上的点尸（石cos a,sin a）至IJ直线X+）,-8 =0的距离为d.=|5/3cosa+sin a-8|夜2sm a +一I 3V2-8当 sin(a +2=1时，”的最小值为3A 6,（3 1 A此时1 2 4 1的最小值为6,此 时 点 尸 的 坐 标 为【2 2）23.(1)-,+oc I (2)也 彳 +石22（1）将/（x）写成分段函数的形式,即=C 1X+3,x W 2 3x+1,x 2,进而求解即可;2一x 3,无之2 不 等 式/（X）2/T在X G 2,-1时 恒 成 立 可 转 化 为2广一 恒成立,进而求解即可【详解】解：（1）/（元）=C 1x+3,x 2 3x+1,x 2,2 x 3,x 2 2由/(x)W x,则2，或x+3 xIc v x 22，或-3x+l 2%3x解得0或%x+j(2)依题意得,不等式/(x)2/7在x目2,1时恒成立,则,/(x)m.n t2当 x e 2,1时，/(x)=x+3,则/(x)S x e -2,-l上单调递增，所以/(6讪=/(-2)=2+3=1，则产一/41,解 得 匕5 4，土 叵2 2