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1、山东省郓城一中等学校2019届高三数学第三次模拟考试试题 理（含解析）一、选择题1.已知集合Ax|2x3，函数f（x）ln（1x）的定义域为集合B，则AB（ ）A. 2，1B. 2，1）C. 1，3D. （1，3【答案】B【解析】分析】求出集合，再利用交集运算得解【详解】由得：，所以集合，又所以.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题。2.若复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（ ）A.B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】利用已知求得，再利用复数的乘法、除法运算计算即可得解。【详解】 ，复数在复平面内的对应点关于虚轴对称， ， 故选:B【点睛】本题主要考查了复数的
2、对称关系，还考查了复数的除法、乘法运算，属于基础题。3.若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由及可求得，整理得， 问题得解。【详解】由得：又所以故选：A【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系及诱导公式，还考查了二倍角公式，考查计算能力，属于中档题。4.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以湉冷庐杂识写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部七巧新谱若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形
3、上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾（阴影部分）的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设包含7块板的正方形边长为，其面积为，计算雄鸡的鸡尾面积为，利用几何概型概率计算公式得解。【详解】设包含7块板的正方形边长为，其面积为则雄鸡的鸡尾面积为标号为的板块，其面积为所以在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾（阴影部分）的概率为.故选：C.【点睛】本题主要考查了几何概型概率计算，考查观察能力，属于基础题。5.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为1的正方形，正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，则此几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据
4、几何体的三视图，得该几何体是正四棱锥，再由公式球体积即可.【详解】根据几何体的三视图，得该几何体是底面边长1,高为的正四棱锥， 所以该几何体的体积为.【点睛】本题主要考查几何体的体积，属于基础题型.6.如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ）A. y2xx21B. y2xsinxC. D. y（x22x）ex【答案】D【解析】【分析】对B选项的对称性判断可排除B. 对选项的定义域来看可排除，对选项中，时，计算得，可排除，问题得解。【详解】 为偶函数，其图象关于轴对称，排除B.函数的定义域为，排除.对于，当时，排除故选：D【点睛】本题主要考查了函数的对称性、定义域、函数值的判断与计算，考
5、查分析能力，属于中档题。7.函数的图象可由函数的图象（ ）A. 向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到B. 向右平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到C. 向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变得到D. 向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变得到【答案】D【解析】【分析】合并得：，利用平移、伸缩知识即可判断选项。【详解】由得：将它的图象向左平移个单位，可得函数的图象，再将上述图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变得到：图象.故选：D【点睛】本题主要考查了三角
6、函数图象的平移、伸缩变换，考查了两角差的正弦公式，属于中档题。8.已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是25，则的系数为（ ）A. 14B. 14C. 240D. 240【答案】C【解析】【分析】由二项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是25可得：，令展开式通项中的指数为，即可求得，问题得解。【详解】二项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是25，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系数为故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题。9.在边长为1的等边三角形ABC
7、中，点P是边AB上一点，且BP2PA，则（ ）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】利用向量的加减法及数乘运算用表示，再利用数量积的定义得解。【详解】依据已知作出图形如下：.所以故选：C【点睛】本题主要考查了向量的加减法及数乘运算，还考查了数量积的定义，考查转化能力，属于中档题。10.一个各面均为直角三角形的四面体容器，有三条棱长为2，若四面体容器内完全放进一个球，则该球的半径最大值为（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】依据题意可得，该四面体是正方体中的四面体，利用等体积法即可求得它的内切球半径，问题得解。【详解】依据题意可得，该四面体是如下图正方体中的四
8、面体其中.四面体容器内完全放进一个球，当该球与四面体各个表面相切时，该球的半径最大.将球心与四个顶点相连，可将四面体分成以球半径为高，四面体的四个表面为底面的四块三棱锥.由等体积法可得：.即：解得：故选：A【点睛】本题主要考查了锥体体积计算及等体积法求内切球的半径，考查空间思维能力及计算能力，属于中档题。11.已知P为双曲线C：（a0，b0）上一点，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，若|PF1|F1F2|，且直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】依据题意作出图象，由双曲线定义可得，又直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切，
9、可得，对在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即可求得，联立，即可求得，问题得解。【详解】依据题意作出图象，如下：则，又直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切，所以,所以由双曲线定义可得：，所以，所以整理得：，即：将代入，整理得：，所以C的渐近线方程为故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，考查计算能力及方程思想，属于难题。12.已知函数，若对任意，总存在，使，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】记函数的值域为集合，函数的值域为集合，由题可得：.利用导数求得，对与的大小分类求得函数的值域，问题得解。【
10、详解】记函数的值域为集合，函数的值域为集合，若对任意，总存在，使，则.又当，恒成立，所以函数在上单调递增，所以集合，当时，（）的值域为：此时，满足.即：时，满足题意.当，（）的值域为：，（）值域为.函数的值域为集合 要使得，则即：，解得：.综上所述：或故选：C【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的值域，还考查了转化思想及计算能力，考查了分类思想，属于难题。二、填空题13.焦点在x轴上，短轴长等于16，离心率等于的椭圆的标准方程为_【答案】【解析】【分析】由短轴长等于16可得，联立离心率及即可求得，问题得解。【详解】由题可得：，解得：又，解得：所以所求椭圆的标准方程为.【点睛】本题主要考查了椭圆
11、的简单性质，考查计算能力，属于基础题。14.若x，y满足约束条件，则zx2y的最大值为_【答案】10【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，利用线性规划知识求解。【详解】作出不等式组表示的平面区域如下：作出直线 ，当直线往下平移时，变大，当直线经过点时，【点睛】本题主要考查了利用线性规划求目标函数的最值知识，考查作图及计算能力，属于基础题。15.如图，边长为1的正方形ABCD，其中边DA在x轴上，点D与坐标原点重合，若正方形沿x轴正向滚动，先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD的某个顶点落在x轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转设顶点C（
12、x，y）滚动时形成的曲线为yf（x），则f（2019）_【答案】0【解析】【分析】由题可得：是周期为的函数，将化为，问题得解。【详解】由题可得：是周期为的函数，所以.由题可得：当时，点恰好在轴上，所以，所以.【点睛】本题主要考查了函数的周期性及转化能力，属于中档题。16.在锐角中，角所对的边为，若 ，且，则的取值范围为_【答案】【解析】【详解】因为,所以可化为：又，所以，所以，解得：由正弦定理得：，又所以，所以在锐角中，,所以所以.所以的取值范围为【点睛】本题主要考查了三角恒等变形及正弦定理，还考查了两角和的正弦公式，考查计算能力及三角函数的性质，属于中档题。三、解答题17.设数列满足（1）求
13、的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在中，将代得： ，由两式作商得：，问题得解。（2）利用（1）中结果求得，分组求和，再利用等差数列前项和公式及乘公比错位相减法分别求和即可得解。【详解】（1）由n1得，因为，当n2时，由两式作商得：（n1且nN*），又因为符合上式，所以（nN*）（2）设，则bnnn2n，所以Snb1b2bn（12n）设Tn2222323+（n1）2n1n2n，所以2Tn22223（n2）2n1（n1）2nn2n1，得：Tn222232nn2n1，所以Tn（n1）2n12所以，即【点睛】本题主要考查了赋值法及方程思想，还考查了分组求和法
14、及乘公比错位相减法求和，考查计算能力及转化能力，属于中档题。18.如图所示的多面体中，四边形为菱形，且，为的中点（1）求证：平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连结BD，交AC于M，连结FM，MG，证明即可解决问题。（2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量及，利用空间向量夹角公式即可求得直线EC与平面ACF所成角的正弦值，问题得解【详解】证明：（1）连结BD，交AC于M，连结FM，MG，因为BCAD2EF，EFBC，BCAD，所以，在ACD中，M，G分别为AC，CD的中点，所以，所以，所以四边形EFMG是平行四边形，所
15、以EGFM，又因为FM平面ACF，EC平面ACF，所以EG平面ACF（2）取AB的中点O，连结FO，OC，因为AFBFBC，ABC60，四边形ABCD为菱形，所以FOAB，OCAB，因为平面ABF平面ABCD，所以FO平面ABCD，故以O为原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，设AFBFBC2EF2则A（1，0，0），C（0，0），F（0，0，），E（，），（1，0），设是平面ACF的一个法向量，则，令yz1，则，故（，1，1），设直线EC与平面ACF所成角为，则，所以直线EC与平面ACF所成角的正弦值为【点睛】本题主要考查了线面平行的证明，还考查了利用空间向量求线面角的正弦值
16、，考查空间思维能力及转化能力，考查计算能力，属于中档题。19.某高校为增加应届毕业生就业机会，每年根据应届毕业生的综合素质和学业成绩对学生进行综合评估，已知某年度参与评估的毕业生共有2000名，其评估成绩近似的服从正态分布现随机抽取了100名毕业生的评估成绩作为样本，并把样本数据进行了分组，绘制了频率分布直方图：（1）求样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若学校规定评估成绩超过分的毕业生可参加三家公司的面试（）用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，请利用估计值判断这2000名毕业生中，能够参加三家公司面试的人数；（）若三家公司每家都提供甲、乙、丙
17、三个岗位，岗位工资表如下：公司甲岗位乙岗位丙岗位9600640052009800720054001000060005000李华同学取得了三个公司的面试机会，经过评估，李华在三个公司甲、乙、丙三个岗位的面试成功的概率均为,李华准备依次从三家公司进行面试选岗，公司规定：面试成功必须当场选岗，且只有一次机会李华在某公司选岗时，若以该岗位工资与未进行面试公司的工资期望作为抉择依据，问李华可以选择公司的哪些岗位？ 并说明理由附：，若随机变量，则【答案】（1）70，161；（2）（）317人；（）李华可以选择公司的甲岗位，公司的甲、乙岗位，公司的三个岗位【解析】【分析】（1）由样本平均数定义直接计算即可得
18、到平均数，由样本方差公式直接计算即可得到样本方差，问题得解。（2）（）利用正态分布的对称性直接求解。（）利用表中数据求得B公司的工资期望为7260（元），C公司的工资期望为6800（元），由表中数据即可抉择。【详解】（1）由所得数据绘制的频率直方图，得：样本平均数450.05550.18650.28750.26850.17950.0670；样本方差s2（4570）20.05（5570）20.18（6570）20.28（7570）20.26（8570）20.17（9570）20.06161；（2）（i）由（1）可知，故评估成绩Z服从正态分布N（70，161），所以在这2000名毕业生中，能参加三
19、家公司面试的估计有20000.1587317人（ii）李华可以选择A公司的甲岗位，B公司的甲、乙岗位，C公司的三个岗位理由如下：设B、C公司提供的工资为XB，XC，则XB，XC都为随机变量，其分布列为公司甲岗位乙岗位丙岗位XB980072005400XC1000060005000P0.30.30.4则B公司的工资期望：E（XB）98000.372000.354000.47260（元），C公司的工资期望：E（XC）100000.360000.350000.46800（元），因为A公司的甲岗位工资9600元大于B、C公司的工资期望，乙岗位工资6400元小于B、C公司的工资期望，故李华先去A公司面试
20、，若A公司给予甲岗位就接受，否则去B公司；B公司甲、乙岗位工资都高于C公司的工资期望，故B公司提供甲、乙岗位就接受，否则去C公司；在C公司可以依次接受甲、乙、丙三种岗位中的一种岗位【点睛】本题主要考查了平均数、方差、期望知识，考查了正态分布中的概率计算，考查了期望的应用，属于中档题。20.已知抛物线的焦点为，直线：交抛物线于两点，（1）若的中点为，直线的斜率为，证明：为定值；（2）求面积的最大值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线方程可得：x1x24k，即可求得AB中点坐标为T（2k，1），问题得证。（2）由弦长公式得：
21、，再求得点M到直线距离为，由（1）可得，即可得，记：，令，则，利用导数即可求得，问题得解。【详解】（1）证明：联立，消去y得，x24kx4b0，16k216b0，即k2b0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得x1x24k，x1x24b，因为|AF|BF|4，由抛物线定义得y11y214，得y1y22，所以AB的中点坐标为T（2k，1），所以，所以（2）由（1）得|x1x2|2（x1x2）24x1x216（k2b），设点M到直线距离为d，则，而由（1）知，y1y2kx1bkx2bk（x1x2）2b4k22b2，即2k2b1，即b12k2，由16k216b0，得0k21，所以，记：
22、令tk2，0t1，则记f（t）（1t）2（1t）1tt2t3，0t1，f（t）12t3t2（t1）（3t1），当时，f（t）0，f（t）为增函数；当时，f（t）0，f（t）为减函数；当，所以，SABM的最大值为【点睛】本题主要考查了方程思想及韦达定理，考查了中点坐标公式及弦长公式，还考查了点到直线距离公式，考查了利用导数求函数的最值及换元法，考查转化能力及计算能力，属于难题。21.已知函数（无理数）（1）若在单调递增，求实数取值范围；（2）当时，设函数，证明：当时，（参考数据）【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由函数的单调性与导数的关系可得：在（1，）恒成立，转化成h（x
23、）（xx2）ex1 在（1，）恒成立，利用导数判断的单调性，从而可得，问题得解。（2）当时，利用导数可得，由及即可判断存在，），使，即：，由函数单调性可得：，结合二次函数的性质即可证得 ，问题得解。【详解】（1）函数f（x）的定义域为（0，） 在单调递增， 在（1，）恒成立，设h（x）（xx2）ex1，由题意h（x）0在（1，）恒成立，h（x）ex1（x23x1），当x（1，）时，x23x10，故h（x）0，h（x）在（1，）单调递增，所以h（x）h（1）2，故20， 2，综上（，2（2）当0时，f（x）xex1，g（x）exx2x，g（x）ex2x1，设m（x）ex2x1，则m（x）ex2，
24、令m（x）0，解得xln2，当x（0，ln2）时，m（x）0，m（x）单调递减，当x（ln2，）时，m（x）0，m（x）单调递增因此m（x）m（ln2）eln22ln2112ln20，即g（ln2）12ln20，又g（0）0，故存在x0（ln2，），使g（x0）0，即，当x（0，x0）时，g（x）0，g（x）单调递减，x（x0，）时，g（x）0，g（x）单调递增，由于x0（ln2，），函数单调递减，故所以，当x0时，【点睛】本题主要考查了函数与导数的关系，还考查了利用导数判断函数的单调性及利用导数求函数的最值，考查转化能力及计算能力，还考查了二次函数的性质，属于难题。选做题（请考生在22、23
25、两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线的极坐标方程为（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；（2）若是曲线上的动点，为线段的中点，求点到直线的距离的最大值【答案】（1）,；（2）.【解析】【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式即可求得直线直角坐标方程，将曲线C的参数方程消参数即可求得曲线的普通方程，问题得解。（2）求出点的直角坐标，再利用椭圆的参数方程表示点的坐标为，利用点到直线距离公式及两角差的正弦公式即可整理点P到直线的距离，问题得解。【详解】（1
26、）因为直线的极坐标方程为，即sincos40由xcos，ysin，可得直线直角坐标方程为xy40将曲线C的参数方程消去参数，得曲线C的普通方程为（2）设N（，sin），0，2）点M的极坐标（，）化为直角坐标为（2，2）则所以点P到直线的距离，所以当时，点M到直线的距离的最大值为【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程互化，还考查了参数方程化为普通方程，考查了点到直线的距离公式及两角差的正弦公式，还考查了正弦函数的性质，考查计算能力，属于中档题。23.已知函数f（x）|ax2|，不等式f（x）4的解集为x|2x6（1）求实数a的值；（2）设g（x）f（x）f（x3），若存在xR，使g（x）
27、tx2成立，求实数t的取值范围【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求得2 6，对的正负分类讨论，结合不等式的解集为列方程，即可得解（2）由（1）可得，将转化成，分别作出及的简图，“存在,使成立”，转化成的图象与直线ytx2相交，由图列不等式即可得解。【详解】（1）由| 2|4得4 24，即2 6，当0时，所以，解得1；当0时，所以，无解所以实数的值为1（2）由已知g（x）f（x）f（x3）|x1|x2|，不等式g（x）tx2转化成g（x）tx2，由题意知的图象与直线ytx2相交，作出对应图象由图得，当t0时，tkAM；当t0时，tkBM，又因为kAM1，所以t1或，即t（，1，）.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及分类思想、方程思想，还考查了思想结合思想及转化能力，考查了作图能力及计算能力，属于中档题。