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1、绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=l,3,5,7,9,N=x|2 x 7 ,则=A.7,9 B.5,7,9 C.3,5,7,9 D.1,3,5,7,92.为了解某地
2、农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间3.已 知（1 i）?z =3 +2 i,贝ij z =第1页 共1 0页f(x)=停)C./(x)=%2 D.f(x)=x4.下列函数中是增函数的为A.f(x)=-x B.2 25.点(3,0)到双曲线-5=1的一条渐近线的距离为9 -8 r 4A.-B.
3、-C.-D.一5 5 5 56 .青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据乙和小数记录法的数据丫满足L =5 +l gV .已知 某 同 学 视 力 的 五 分 记 录 法 的 数 据 为 4.9,则 其 视 力 的 小 数 记 录 法 的 数 据 约 为(V io 1.2 5 9 )A.1.5B.1.2C.0.8 D.0.67 .在一个正方体中,过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-E F G后，所得多面体的三视图中，正视图如右图所示，则相应的侧视图是正视图9.记 S,为等比数列 4 的前项和
4、.若S?=4,54=6,贝 ij$6 =A.7 B.8 C.91 0 .将 3个 1 和 2个。随机排成一行，则 2个 0不相邻的概率为A.0.3 B.0.5 C.0.6.八兀、c cos a 1 1 .若a w 0,一,tan2 a=-,则 tana=I 2 J 2 sin aD.3D.1 0D.0.8第 2 页 共 1 0 页715 D A/5 也 c 而1 5 5 3 31 2.设/(x)是定义域为R的奇函数，且 1 +X)=/(T).若/二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3 .若向量氏是满足忖=3,、一瓦=5,“与=1,则 同=.1 4 .已知一个圆锥的底面半径
5、为6,其体积为30%,则 该 圆 锥 的 侧 面 积 为.1 5 .已知函数/(x)=2 cos(3+夕)的部分图像如图所示，则/()=1 6 .已知，居 为椭圆C：二+2-=1的两个焦点，P,Q为 C上关于坐标原点对称的两点,1 6 4且|。|=|耳 用，则四边形P F Q F 2的面积为.三、解答题：共 7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(-)必考题：共 60分.1 7 .(1 2 分)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机
6、床各生产了 2 00件产品，产品的质量情况统计如下表：(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？一级品二级品合计甲机床1 5 05 02 00乙机床1 2 08 02 00合计2 7 01 3 04 00第3页 共1 0页(2)能否有9 9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附：吆史-,(a+，)(c +d)(a+c)(h+d)P(K2k)0.05 0 0.01 0 0.001k 3?8 4 1-6.6 3 5-1 0.8 2 81 8.(1 2 分)记Sn为数列 an的前项和，已知an 0 吗=3 q ,且数列 底 是等差数列，证明：4是等差数列.1 9.(1
7、 2 分)已知直三棱柱A B C A4G中，侧面明 8 乃为正方形，A B =B C =2,E,F分别为AC和 CG的中点，BF 1-(1)求三棱锥/一 E6C的体积；(2)已知。为棱上的点，证明：B F L D E.2 0.(1 2 分)设函数/(x)=+以 一 3 1 n x+1 ,其中a 0.(1)讨 论 的 单 调 性；(2)若 y =/(x)的图像与x轴没有公共点，求 的取值范围.2 1.(1 2 分)抛 物 线 C 的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上，直 线/：x =l 交 C 于 P,Q两点，且O P A.O Q.已知点(2,0),且 0 M与/相切.(I)求 C,Q M的方程；(
8、2)设 A，4,4是 c上的三个点，直线A&，A4均与c)M 相切.判断直线4A3 与0 M第 4 页 共 1 0 页的位置关系，并说明理由.（二）选考题：共 10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.2 2 .选修4-4：坐标系与参数方程（1 0分）在直角坐标系x O y 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲 线 C的极坐标方程为0 =2&c o s 6.（1）将 C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点A的直角坐标为（1,0）,M 为 C上的动点，点 尸 满 足 后=夜 丽 7,写出尸的轨迹G的参数方程，并判断c与 a 是否有公共点.
9、2 3 .选修4-5：不等式选讲（1 0 分）已知函数/（x）=|x -2|,g（x）=|2 x +3|-|2 x-l|.（1）画出y =/（x）和 y =g（x）的图像；（2）若/（x +a）2 g（x）,求 a的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）文科数学参考答案一、选择题l.B 2.C 3.B 4.D 5.A 6.C 7.D 8.D 9.A 1 0.C l l.A 1 2.C二、填空题1 3,3 也 1 4,3 9 乃 1 5.一 6 1 6.8三、解答题第5页 共1 0页(-)必考题1 7 .(1)7 5%；6 0%；(2)能.1 8 .【详解】:数列 底 是等差数
10、列，设公差为4=叵 一 菸=如 还 一 弧=弧JS“=+(n,(e N )Sn=an,(w e N*).当 2 2 时，an=Sn-S“_ =atn2-tz jn-l)2=2%n-q当 =1 时，2 q x 1 -q=q,满足 an=-q ,/.%的通项公式为4=2 q-q,(eN*)/.an-a.1=(2 q-4)-2 4 -1)-4 =2a,，%是等差数列.11 9.(1)-；3(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体如图所示，取棱4 W,8 c的中点H,G,连结A,HG,GB1,正方形5C G与中，G,F为中点，则故6/，平面A MG”，而OE u平面480”,从而B F
11、L DE.2 0.(1)/(x)的减区间为(0,5,增区间为、1(2)d .e2 1.(1)抛物线C:y 2=x,OM方程为(尤 2)2 +;/=1；第6页 共10页（2）相切，方法一：设4 0 1%），4（工2，%），4（七，必）若44斜率不存在，则AA2方程为x=i或x=3,若A A 2方程为x=1,根据对称性不妨设A（1，1），则过A与圆M相切的另一条直线方程为y =1,此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A3,不合题意；若A 4方程为x=3,根据对称性不妨设4（3,6）,4（3,6）,则过A与圆M相切的直线A 4为y _ 6 =弓0 3）,又 k&A=1%=-=-7=坐,；.%=0
12、,m=0,4（o,o）,此时直线4 4,44关于x轴对称，所 以 直 线 与 圆M相切；若直线A 4,4 4,44斜率均存在，,1 1 1则 VT T%=，%=.y +%x +%乂+%所以直线44方程 y-y =）,+）,（祐 _.）,整理得x-（M +必）丁+川%=0，同理直线4 A?的方程为x-（x +%）y+y i%=。，直线44的方程为x-（%+%），+%=，|2+必必1 1A 4 与圆河相切，,y=1整理得（弁-1）丸+2 y%+3 -4=0 ,44与圆M相切，同理（犬-1）$+2必+3-才=0所以为，%为方程（；-1）/+2 y j+3-y；=0的两根,2 y 3-切%+%=一一i
13、一%1%=75T 必一1M到直线4A 3的距离为:第7页 共1 0页|2 +L|R+y2y3l y,2-l5 1 +（必+必）2 II+（1 !-）2一 M+i i y；+i.i7（-I）2+4 y；+i所以直线44与圆M相切；综上若直线4 4,4 A 与圆M相切，则 直 线 与 圆M相切.方法二【最优解】：设A（%,y）,y；，4（0为），犬=玉，4（孙 ），=&当菁=时，同解法i.当王时，直线A4的方程为）-M=yL（x-x J,即丁=-+.一.一%y+%y+%2 +X%由直线44与QM相切得 、T,化简得2乂%+（为一1）%2一%+3=0，同理，由直线44与G）M相切得2 y为+（%1-
14、1）七 一%+3=0.因为方程2 y y+（与-1）%-+3=0同时经过点4,&,所 以 的 直 线 方 程 为2 y j+（%i 1）%一4+3=，点M到直线44距离为|2（x,-l）-x I+3|_|-X|+1|J 4 y 2 +（i 7（x+1）2所以直线44与相切.综上所述，若直线与相切，则直线44与。”相切.（二）选考题2 2 .（1）（尤一友+丁=2；尸的轨迹G的参数方程为卜=0 +2 c s e （。为 J y =2 s in。参数），C与G没有公共点.,2-x,x2第8页 共1 0页T44T0 1233-1，a4,，34，X 2g(x)|2 x +31-12x-1|=4 x+2,-3 x -2y八4/y=g(x)：li i /X-4-3-2 AIQ 1 2 3 4 5画出函数图像如下:第9页 共1 0页第1 0页 共1 0页