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1、2021年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题（总分：15 0.0 0,做题时间：18 0 分钟）一、选择题（总题数：1 0,分数：50.00），在 x=0 处（分数：5.0 0）A.连续且取极大值B.连续且取极小值C.可导且导数为0D.可导且导数不为0 V解析：故 f （x）在 x =0 处连续;【正确答案为Do2.设函数 f (x,y)可微，且 f (x +1,ex)=x (x+1)2,f (x,x2)=2 x2l n x ,则 d f (1,1)=(分数:5.0 0)A.d x+d yB.d x l d yC.d y VD.-d y解析：3.设函数I _ I 在 x=0 处 的 3 次泰
2、勒多项式为a x+b x+c x：则（）。（分数：5.0 0）B.c.D.解析:根据麦克劳林公式有故，本 题 选Ao4.设 函 数f (x)在区间 0,1上连续，则）0（分数：5.00）A.B.C.D.解析:由定积分的定义知，将(0,1)分成n 份，取中间点的函数值，则 故选B。5.二次 型 f (xb x2,x a)=(X 1+x2)2+(x2+x3)2-(x：-xt)2 的正惯性指数与负惯性指数依次为()。（分数：5.0 0）A.2,0B.1,1 JC.2,1D.1,2解析：f （x i,X 2,X 3）=（x i+x2）2+（X 2+X 3）2-（X 3-X 1）2=2X22+2XX2+
3、2X2X3+2XIX 3令上式等于零，故特征值为-1,3,0 ,故该二次型的正惯性指数为1,负惯性指数为1。故应选B。6.已知 I _ I,记 B m”B 2=a 2-k B“0 3=a 3-1,0 -12 3 2,若 32,两两正交，则 1”依次为（）。（分数：5.0 0）A.B.C.D.解析:利用F 密特正交化方法知7.设 A,B 为 n 阶实矩阵，下列不成立的是（）。（分 数:5.00）A.B.C.D.解析:8.设 A,B 为随机事件，且 0V P（B）1 0 o （x）表示标准正态分布函数，若该检验问题的拒绝域 为 匚 1 其 中 匚,则 U=11.5 时，该检验犯第二类错误的概率为（
4、）。(分数：5.0 0)A.1-(0.5)B.1-VC.1-0 (1.5)D.1-0 (2)解析：所求概率为故本题选B o二、填空题（总题数：6,分数：30.00）（分数：5.0 0）填空项1:（正确答案:）解析:12.设函数y=y（x）由参数方程:（分数：5.0 0）填空项1：_（正确答案:）解析:13.欧拉方程x2y+xy-4y=0满足条件y(l)=l,y(1)=2得解为y=（分数：5.00）填空项1：（正确答案:）解析:14.设工为空间区域 （x,y,z）4+4丫飞4,0 W z W 2 表面的外侧，则曲面积分（分数：5.00）填空项1：_（正确答案:4 n）解析:由高斯公式得原式15.
5、设A=即 为3阶矩阵，A”为代数余子式，若A的每行元素之和均为2,且|A|=3,A+Aai+A:”=_ o（分数：5.00）填空项1:_（正确答案:）解析:16.甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取 球.令X,Y分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X与Y的相关系数 o（分数：5.00）填空项1：_ _ _ _（正确答案:解析:三、解答题（总题数：6,分数：70.00）17.求极限 匚（分数：10.00）正确答案：（）解析：E 设口（分数：12.00）正确答案：（）解析：19.已 知 曲 线 求 C 上的点到x o y坐标面距离的最
6、大值。（分数：12.00）正确答案：（）解析：设D c R是有界单连通闭区域，取得最大值的积分区域记为D.o（分数：（1）.求 I（DJ的值.（分数：5）正确答案：（由二重积分的几何意义知：大 于o时，i（D）达到最大，EZ）解析:（分数：7）正确答案：（补D z :x2+4 y2=r2（r很小），取D2的方向为顺时针方向,）解析:已知（分数：12）（1）.求正交矩阵P,使 得PrA P为对角矩阵。（分数：6）正确答案：（）解析：（2）.求正定矩阵C,使 得C2=（a+3）E-A（分数：6）正确答案：（）解析：在 区 间（0,2）上随机取一点，将该区间分成两段，较短的段长度记为X,较长的段长度记为Y,令（分数：12）（1）.求X的概率密度。（分 数:3）正确答案：（）解析：（2）.求Z的概率密度。（分数：6）正确答案：（）解析:（分数：3）正确答案：（）解析: