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1、2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学甲卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.M =|x|0 x 41,=|x|%5|,则A.x 0 x B.x x I 3/I 3 JC.x|4 4 x 5 D.1x|0 x0,乙：SJ是递增数列，
2、则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B8.2 0 2 0 年 1 2 月 8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 8 4 8.8 6 （单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有4 B,C三点，且 A,B,C在同一水平面上的投影A,B；C满足Z A C B =4 5 ,N A 8 C =6 0 .由C点测得8点的仰角为1 5。,BB与C C的差为1 0 0；由B点测得A点的仰角为4 5,则 A,C两点到水平面A 8 C 的高度差A
3、 4 CC约为（6,1.7 3 2）（）A.3 4 6B.3 7 3C.4 4 6D.4 7 3【答案】B，八万、c c o s a9.若二 0,t an2 a=-1 2)2-s i na,则t ana=()A厉 R石A.-D.-rV 5 n V 1 51 5 5【答案】A3 31 0.将 4 个 1 和 2个。随机排成一行，则 2个 0不相邻的概率为（）1 2A.-B.一2 4C.-D.一3 5【答案】C3 51 1 .已如4 B,。是半径为1 的球。的球面上的三个点，且 AC，8 C,A C =8 C =1,则三棱锥OA B C的体积为（）A 72 6 c V 2 G1 2 1 2 4 4
4、【答案】A1 2 .设 函 数 的 定 义 域 为 R,/（x+1）为奇函数，x+2）为偶函数，当xe l,2 时，/（x）=o?+/,若【答案】D/（0）+3）=6,贝瑶=（)9 3A.-B.-4 27C.一45D.-2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分.?r-11 3 .曲线y =-在点（-1，-3）处的切线方程为x+2【答案】5 x-y +2 =01 4.已知向量a=(3,1),B =(1,0),C=Q+ZB.若 _ 工，则左=.1 0【答案】一式.32 21 5 .已知FVF2为椭圆C：+2 _ =1 的两个焦点,P,Q 为 C上关于坐标原点对称的两点，且|P Q|=衍
5、局,则四边形 耳。鸟 的面积为【答案】81 6 .已知函数/(x)=2 c o s(&x +)的部分图像如图所示，则满足条件(/(X)-/一?/(幻 一/|子)0的最小正整数x 为_ _ _ _ _ _ _ _.三、解答题：共 70分.解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第 1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(-)必考题：共 60分.1 7 .甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 2 0 0 件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机
6、床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有9 9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)7 5%；6 0%；(2)能.1 8.已知数列 4 的各项均为正数，记 S,为 4 的前项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列%是等差数列：数列 是等差数列；%=3 q.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】答案见解析【分析】选作条件证明时，可 设
7、 出 底，结 合 的 关 系 求 出 ,利用 2 是等差数列可证4=3 4 ；选作条件证明时，根据等差数列的求和公式表示出底，结合等差数列定义可证；选作条件证明时，设出 =m+力，结合可 的关系求出an,根据=3%可求b，然后可证 4是等差数列.【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法.1 9.已知直三棱柱A B C 中，侧面4 4,瓦6 为正方形，A B =B C =2,E,尸分别为AC 和 C G的中点，。为棱A4上 的 点.B F 1（1）证明：B F工D E；（2）当耳。为何值时，面 5 4GC
8、 与面。EE所成的二面角的正弦值最小？【答案】（1）见解析；（2）B,D=-2【分析】通过己知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案.【点睛】本题考查空间向量的相关计算，能够根据题意设出。（。,（）,2）（0 。2）,在第二问中通过余弦值最大，找到正弦值最小是关键一步.2 0.抛物线C 的顶点为坐标原点。焦点在x 轴上，直线/：x =l 交 C 于 P,。两点，且已知点/（2,0）,且 OM与/相切.（1）求 C,Q M的方程；（2）设是C 上的三个点，直线44，均与OM相切.判断直线4 4 与 OM
9、的位置关系，并说明理由.【答案】（1）抛物线C:y 2 =x,0M方程为（x 2）2 +y 2=i；（2）相切，理由见解析【分析】（1）根据己知抛物线与x=l相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出RQ坐标，由OP_LOQ,即可求出P；由圆M 与直线x =l 相切，求出半径，即可得出结论；（2）先考虑44斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由A，4,4三点在抛物线上，将直线4A2,A 4,斜率分别用纵坐标表示，再由A,A?与圆 相切，得出%+力，%,%与y的关系，最后求出M点到直线44的距离，即可得出结论.【点睛】关键点点睛：(1)过抛物线上的两点直线斜率只需用
10、其纵坐标(或横坐标)表示，将问题转化为只与纵坐标(或横坐标)有关；(2)要 充 分 利 用 的 对 称 性，抽象出M+%，%,已与x关系，把%，%的关系转化为用以表示.2 1 .已知。0且函数/(x)=J(x 0).(1)当a=2时，求/(x)的单调区间；(2)若曲线y=/(x)与直线y=l有且仅有两个交点，求a的取值范围.(二)选考题：共 10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程(10分)2 2 .在直角坐标系x O y中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2夜 c os 8 .(1)将C
11、的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A的直角坐标为(1,0),M为C上的动点，点P满 足 衣=J5 M,写出尸的轨迹G的参数方程，并判断c与G是否有公共点.2=2；(2)P的轨迹G的参数方程为y=2 s in。(6为参数)，C与G没有公共点 选修4-5：不等式选讲(10分)2 3 .已知函数/(x)=|x _2|,g(x)=|2 x +3|-|2 x-l|.(1)画出y=/(x)和y=g(x)的图像；(2)若/(x +a)2 g(x),求4的取值范围.【答案】(1)图像见解析；(2)a 2【分析】(1)分段去绝对值即可画出图像；(2)根据函数图像数形结和可得需将y=/(x)向左平移可满足同角，求得y=/(x+a)过),4)时。的值可求.【点睛】关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解题的关键是根据函数图像数形结合求解.