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1、2020学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 20一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第 1-6题每题4 分，第 7-12题每题5 分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.集合 A =x|2%0,B =x|x|0,0J 夕|l 且 y 2,J3:x+y 3,则a 是尸成立的-()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件14.设 4、Z2为复数，下列命题一定成立的是-()A.如果z J+z；=0,那么 Z=Z 2=0B.如 果 团=员|,那 么 Z=Z?C.如果。是正实数，那么-a Z 0)的 等 差 数 列，若 存 在 实 数 玉,吃，七，/
2、满 足 方 程 组fsinx1+sinx2+sinx3+.;.+sinx9=0,则.的最小值为-()sm x+生 sm+a3smx3H-i-a9 sin x9=25,三、解答题（本大题共有5 题，满 分 7 6 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.1 7.（本题满分1 4 分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）如图，在直三棱柱A BC A 与G 中，BA A.B C,B A=B C=B B =2.（1）求异面直线A g 与 A C 所成角的大小；（2）若 何 是 棱 BC 的中点.求点M到平面4片。的距离.1 8.（本题满分1 4 分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）已
3、知函数/（x）=x+a-yjl-x2.（1）若4 =正，求函数/（x）的零点；（2）针对实数。的不同取值，讨论函数/（力 的奇偶性.1 9.（本题满分1 4 分，第（1）小题6 分，第（2）小题8分）元宵节是中国的传统节日之一.要将一个上底为正方形A B C D 的长方体状花灯挂起，将两根等长（长度大于A、C 两点距离）的绳子两头分别拴住A、C；B、D,再用一根绳子0 P与上述两根绳子连结并吊在天花板上，使花灯呈水平状态，如图.花灯上底面到天花板的距离设计为1 米，上底面边长为0.8 米，设 Z P A C=0,所有绳子总长为y 米.（打结处的绳长忽略不计）将 y 表示成。的函数，并指出定义域
4、；（2）要使绳子总长最短，请你设计出这三根绳子的长.（精确到0.01 米）20.(本题满分1 6 分，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题6 分)已 知 椭 圆 土+匕=1 上有两点尸(2,1)及 0(2,-1),直线/:丁=丘+。与椭圆交于A、B两点，6 3与线段PQ 交于点C (异于尸、Q).1 (1)当&=1 且PC=C。时，求直线/的方程；(2)当人=2时，求四边形E4Q B面积的取值范围；记直线PA、P B、Q A、Q B的斜率依次为占、&、%、k4.当b#0 且线段A B的中点“在直线 =x上时，计算匕 的值，并证明：片 2 灯总21.(本题满分1 8 分，第(1)小题
5、4分，第(2)小题6分，第(3)小题8 分)若数集M至少含有3个数，且对于其中的任意3个不同数a,。,c(a 8 c),a,0,c 都不能成为等差数列，则称M为“a集”.判断集合 2,4,8,2 (eN*,3)是否是a集？说明理由；(2)已知左e N*,Z N 3.集合A是集合 1,2,3,，&的一个子集，设集合3 =卜+2 左一l|x e A,求证：若 A是a集，则 Au 8也是a集；设集合一，一,，(e N*,2 3),判断集合C 是否是a集，证明你的结论.3 4 n n+1 v)2020学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科参考答案及评分标准2021.4一.填空题：（本大题共有12题，
6、满 分54分,第16题每题4分，第712题每题5分1.(-1,2)2.13.44.2737 15.2sin x46.31兀7.-8.一2 219.-2二.选择题：（本大题共有4题,13.三.17.A 14.D 15.B31 0.-7满分20分,16.C2 -1 711.a+b5 5每题5分)12.2 V 2 92 9解答题：（本大题共5题，满分74分）（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）【解】由于4G/AC，所以/C A 4 （或其补角）即为异面直线Ag与AG所成角，2分连接C 4,在A 4 4 c中，由于A4=4C =A C =20,所以A A 4。是等边三角形，所以TT7
7、TN C A 4=1,所以异面直线Ag与4G所成角的大小为,6分（2）如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为C（0,0,2）、B1（0,2,0）、A,（2,2,0）,M(0,0,l).8分设平面AB C的法向量为五=(“,V,W),则，C B 1 _ L AB .恒=(0,2,-2),=(-2,0,0),且,CB =0,n-AJBJ=(),.2v-2w=0n 2u=0w=v，取 V =1 ,u=0得平面A|B的一个法向量为5=（0,1,1）,11分且，=行，又.丽 =（）,2,-1）,于是点M到平面A|B C的距离nx/21 _ V 2V 2所以，点M到平面人耳。的距离等于当.14分
8、解法二：过点M作MNLCB交CB于N,由MN 1 CBM N _ L A n MNJ_ 平面 A 4 C.CB c 4与=B、在 R f A O W N 中，由 N M C N =%,C M=1,得 M N =%,4 25所以，点“到平面4月。的距离等于己-.(解法三：利用等体积法，略.)1 8.(本题满分1 4 分，第 1 小题满分6 分，第 2小题满分8分)【解】(1)函数“X)的定义域为 1,1 ,由 a =y/2,得 卜+V 5l J l -=0,化简得2+2夜 x+l=O,即(0 X+1 J =0二%=孝 ,所以，函数“X)的零点为了=-咚.-6分(注意：不求定义域扣1 分)(2)函
9、数X)的定义域为 1,1 ,若函数/(X)为奇函数，则必有/(1)+1)=0代入得|a+l|+|a 1|=()于是彳“_ 无解，所以函数/(x)不能为奇函数9分若函数/(x)为偶函数，由/(1)=/得 卜 l+a|=|l +a|解得a =0：-1 2 分又当a =0时，x)=|x|J l f ,则/(_ 幻=卜 止/一(一 J e f=凶 _，12=/(x)对任意x e -1,1 都成立.-1 3 分综上，当。=0时，函数”X)为偶函数，当时，函数“X)为非奇非偶函数.一14分1 9.(本题满分1 4 分，第 1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分)【解】(1)设上底中心为M,则|AM|=
10、0.4亚，|PM|=0.4应tan(),|PA|=色，故cosOy=4|PA|+|OP|=4|PA|+|O M|-|PM|=+l-0.4&ta n O =+l,-5 分cos 0 cos 00 G 0,arctan.-6 分(2)记 A=:-，则 sin O+Acos0=4,即 71+A2 sin(0+)=4,cos0由 s i n(O+p)V1,得 A 2 4 ,等号成立时 0=曰-a r c t a n e 0,arctan,-1 0 分从 而 丫方加=0.4 回+1 忆 3.1 9(米)，-1 1 分此时这三根绳子长分别约为1.1 7 米，1.1 7 米，0.8 5米.-1 4 分2 0
11、.(本题满分1 6 分，第 1 小题满分4分，第 2 小题满分6分，第 3小题满分6分)【解】(1)设 C(a,b),则 定=(。+2,-1),戈=(2 a,l 勿，由 定=；质，得 +2=(2 a),2 解得，2=一了b=L3所以，直线/的方程为y；=x(|),即x-y +l =0.-4分(2)直线/的方程为y =2 x +b,代入椭圆方程，整理得9/+8法+2 6 =0(*)5 分则 lAB UQ 标码V j 5(54-胡)-6分9 9由/与线段P Q 相交，有 4 +b 4 +1 +，二十二”0,得一 5 6 5,7 分由即0=-2 勺t 4 成立.-1 6 分21.(本题满分18分，第
12、1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)【解】(1)任取三个不同元素2，2%2卜(其中O i j 2k2j+1=2-2j,因此这三个数不能成等差数列.所以，集合1,2,4,8,2(e N*,”2 3)是集”.-4 分(2)反证法.假设A u B不 是“a集”，即4口8 中存在三个不同元素*八2,使 x,y,z 成等差数列，则 x+z=2y.-5 分因为A 是“a集，所以，x,y,z 不能全在A 中；-6分如果 x,y,z 全在 B 中,则 x-(2k-l)+z-(2k T)=2 y-(2k T)依然成立,且 x-(2k-l),y-(2k-l),z-(2k T)都在A 中，这说明A
13、中存在三个数构成等差数列，即 A 不 是“a集”，与条件矛盾，因此，x,y,z 也不能全在B中.-7 分由于B中最小可能元素(为2 k)大 于 A 中最大可能元素(为k),所以必有xwA,z e B.-8 分从而，y=-(x+z)-k+k+(2k-l)=2k-l+l+(2k-l)=k+k,故 y A.2 2 2这与yeA u B矛盾，故 A u B也 是“a集”1 0 分(3)集合C是“a集”，证明如下：+1 ,4+2 0 左+1 1记 4=(k w N、,则 ak+i-ak=-=2吃-f-0,&+1 )4+1 1 1 k+2 k+1(左+1)(左+2)故 4 v 2 v/包 v,v-1 2分
14、任取4，%,%其中 则 j+2 时，a.+a,-2 a.a.-2.ai+9-2 a.=2 万-二-07，M J(j +l)U+3)(这是由于 j i 21,故 j?2),即 q+%2%；-1 4 分当 1 lj-M (*)-1 5 分从而(，+1)(/+2)是 2 田的正整数倍，由于/+1 与/+2 互质(为两个连续正整数)，因此/+1 是2上源的正整数倍或/+2 是 2六小的正整数倍，-1 6 分若/+1 是 2广川的正整数倍，贝 U+1 2 2 人加，而 j +2/+l i+l,贝 U(*)式不成立;若 j+2 是 2 f l 的正整数倍,则0+2 2 2 广 石,而 j+li+l,(*)仍不成立.综上可知，a,%,%不能成等差数列，即证明了集合C 是“a 集”.-18分