《2021年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（原卷版）含解析版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）（原卷版）含解析版.pdf（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学乙卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5 分，共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .设 2 (z+z)+3(z-z)=4+6 i,则 z=().A.l-2 i B.l+2 iC.1+i D.1-i2 .已知集合 S=s|s=2 n
2、+l,nG Z),T=1 1 t=4 n+l,n Z,则 S C T=()A.0 B.SC.T D.Z3 .已知命题p：B xC R,si nx l；命题q：V xG R,e 闭2 1,则下列命题中为真命题的是()A.pA q B.-i pA qC.pA -i q D.-i (pV q)4.设函数f(x)F，则下列函数中为奇函数的是()1+XA.f (x-l)-l B.f (x-l)+lC.f (x+D-l D.f (x+D+l5.在正方体A B C D-ABCD中，P 为 BD的中点，则直线P B 与A D 所成的角为（）B.D.6 .将5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和
3、冰壶4 个项目进行培训，每名志愿者只分到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.6 0 种 B.1 2 0 种C.2 4 0 种 D.4 8 0 种7 .把函数y=f （x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的号倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移g 个单位长度，得到函数丫=5 打&-?的图像，则 f（x）=（）A.s i n g-?B.si ng +看）8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1 个数，则两数之和大于:的概4率 为（）7 23A.-B.4 32C.-D.-32 99.魏晋时期刘徽撰写的 海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，
4、点 E,H,G 在水平线AC 上，DE和 FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，G C 和 EH都称为“表目距”，G C 与 EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（）.A：C：(第9 题图)表高x表距表目距的差+表 高B：表高X表题表目距的差一表高表高X表距表目距的差+表 距D：表高X表距表目距的差-表 距1 0.设 aW O,若 x=a为函数f(x)=a(x -a)?(x -b)的极大值点，则().A：abC：ab a22 21 1 .设B 是椭圆C：+卷=1(a b 0)的上顶点，若 C上的任意a2 b2一点P 都满足|P B|W 2 b
5、,则 C的离心率的取值范围是().A：惇 1)B：悖,1)C：(0,y D：1 2.设a=2I n 1.01,b =lnl.O2,c =V1.04 1,则().A：a b c B：b c aC：b a c D：c a0)的一条渐近线为遮x+my=O,则C的焦距为.1 4 .已知向量a=(l,3),b=(3,4),若(a-入b)_ Lb,则人=。1 5 .记4 AB C 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为遍,B=6 0,a2+c2=3 ac,则 b=.1 6 .以图为正视图和俯视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编三、解答题：共70
6、分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12 分）某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.2 9.99.810.010.1 10.2 9.7新设10.1 10.410.1 10.010.1 10.310.610.510.410.5备旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为无和歹，样本方差分别记为S 和 S22(1 )
7、求元，y,S|%S22；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果厂无2 2 后 豆，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).1 8.(1 2 分)如图，四棱锥P-ABC D的底面是矩形，P D,底面ABC D,P D=DC=1,M 为BC 的中点，且 P B_ LAM,(1)求 BC；(2)求二面角A-P M-B的正弦值。(第18题图)1 9.(1 2 分)记 S n为数列E,的前n 项和，壮为数列 SJ的前n 项和，已知1 十%(1)证明：数列 b 是等差数列；(2)求 4 的通项公式.2 0.(1 2 分)设函数f (x)
8、=l n (a-x),已知x=0是函数y=x f (x)的极值点。(1)求 a；(2)设函数 g (x)证明：g (x)0)的焦点为F,且F 与圆M：x2+(y+4)2=1 上点的距离的最小值为4.(1)求 P;(2)若点P 在 M上，P A,P B 是 C的两条切线，A,B 是切点，求A P A B的最大值.(二)选考题：共 1 0分，请考生在第2 2、2 3 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。2 2.选修4 一 4：坐标系与参数方程(1 0分)在直角坐标系x O y 中，OC的圆心为C (2,1),半径为1.(1)写出OC的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)
9、过点F(4,1)作。C的两条切线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.2 3.选修4 一 5：不等式选讲(1 0分)已知函数 f (x)=|x-a|+1 x+3 1.(1)当a=l 时，求不等式f (x)26 的解集;(2)若 f (x)2 a，求 a的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)数学(理)一、选择题1.设2(z +z)+3(z-z)=4 +6i,则N=()A.1-2/B.1 +万C.1 +zD.1-z答 案：C解 析：z a+b i,贝 丘=0汰,2(z +z)+3(z -z)=4 a +6b i =4 +6i,所以 a
10、 =l,b=,所以z =l +i.2.已知集合 S =s|s =2 +l,”e Z ,T=r|r=4/?+l,n e Z ,则 SnT=()A.0B.Sc.TD.z答 案：c解 析：s =2 +1,n e Z ;当 =2左，女eZ时，S =s|s =4 A +l,A：eZ;当=2 k +1,左eZ时，S =s|s =4 Z +3 w Z .所以O S,S C T=T.故选 C.3.已知命题s i n x l ;命题q：V%w R,e M 2 1,则下列命题中为真命题的是()A.p/qB.7 A qc.p/qD.Tp )答 案：A解 析：根据正弦函数的值域s i n x e -1,1 ,故 土
11、e R,s i n x l,故 X/x w R,y =*bl恒成立.，则q 也为真命题，所以人9为真，选 A.4.设 函 数/(了)=*2.则下列函数中为奇函数的是()1 +XA./(X-D-1B./(x D +1C./(x+D-lD./(x+l)+l答 案：B解 析：1-r?2/(%)=-=-l +-,/(X)向右平移一个单位，向上平移一个单位得到g(x)=一为奇1+X 1+X X函数.5.在正方体ABC。A4G。中，尸为4A的中点，则直线PB与 所 成 的 角 为()A.2B.3C.4D.6Dx6PA B答 案：D解 析：如图，N P B C 1为 直 线 与A所成角的平面角.易 知 为
12、正 三 角 形，又P为4。中点，所以NPBG=2.66.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A.60 种B.1 2 0 种C.2 4 0 种D.4 8 0 种答 案：C解 析：所求分配方案数为C；A：=2 4 0.7.把函数y =/(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移5个单位长度，得到函数=5皿X-5)的图像，则F(x)=()A /X 7乃A.sin(-)2 12D.X TC.B-sin(-+)2 1277rC.sin(2x-)D.si
13、n(2x+-)答 案：B解 析：逆 向：）=s i n（x-左移3）,=s i n（x +展）一搜 蟋 壑 蟀 空 便t y=s i n（；x+）.故 选B.&在区间（。与a,外中各随机取i个数则 两 数 之 和 大 于:的 概 率 为（）A.Z9n 23D.-32C.-32D.-9答 案：B解 析：7由题意记工（0,1）,y e （1,2）,题目即求x+y 的概率，绘图如下所示.4故1 1 3 3l x -A M-A N l-x-x-”2 二 2 4 4 _ 2 31 x 1 一 1 329.魏晋时期刘徽撰写的 海岛算经是关于测量的数学著作.其中第一题是测量海岛的高.如图，点E,G在水平线A
14、C上，OE和尸G是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称 为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH 都称为“表目距”.GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高A 8=()A.表高x 表距表目距的差+表高B.表高x 表距表目距的差-表高C.表高x 表距表目距的差+表距D.表高x 表距表目距的差-表距答案：A解析：连接。尸交A B 于M,则AB=AM+8M.M B MF-MD=DF记ZBFM=p,则-tan p tan a而tan产,GCED Rui、1tana=-所以EHMB MBtan P tanaMB(11tan 0 tan a版 匹 一 空)=的 处 空FG ED ED故=ED D
15、F _表高x 表距GC-EH 表目距的差_ 表高x 表 距 圭,所以局独:袤丽磅+表 加10.设若为函数/(%)=。(-)2(%一份的极大值点，贝I JK.a bC.ab a2答 案：D解 析：若。0,其图像如图(1),此时，0 a b;若。0,时图像如图(2),此时，b a 0.综上，a b a2.y APB c a2-c2 c2,C =-,1 1 c a 2c w(O,争.1 2.设。=2 1 n l.01,Z?=l n l.O 2,C=A/L 04-1,则()A.a b cB.h c aC.h a cD.c a Jl+2x,故 fx)0.所以/(x)在 0,+8)上单调递减，所以/(0.
16、02)v f(0)=0,故bc.再设g(x)=2 1 n(l +x)-Jl +4 x +l,则a c =g(0.01),易得“、2 4 V l +4 x-(l-x)g(x)=-.2-/1 +x 2 j l +4 x (1 +x)V l +4 x当0 Wx V l +2x+?=1 +x,所以g O)在 0.2)上 N O.故 g(x)在 0.2)上单调递增，所以g(o 在D g(o)=o,故 a c.综上，a c b.二、填空题/r1 3 .已知双 曲 线 C:丁=1(加 0)的一条渐近线为J 3 x+阳=0 ,则 C 的焦距m为-答 案：4解 析：易知双曲线渐近线方程为y =2x,由题意 得/
17、=相，从=1,且一条渐近线方程为aV 3y=-x,则有机=0 (舍去)，加=3,故焦距为2 c =4.m1 4 .已知向量。=(1,3),B =(3,4),若则 4=.答 案：35解 析：由题意得(a 之 后)心=。，即1 5 2 5%=。，解得2 =3.51 5.记 Z V I B C 的内角A,B ,。的对边分别为“，b,c,面积为G,3=60,+/=3农，则=.答 案：2 0解 析：V3S&ABC -a c s i n B =a c-j 3,所以。=4,由余弦定理，b1-a2+c2ac=3ac ac 2ac=8,所以 =2 女.16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成
18、某个三棱锥的三视图，则 所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为 （写出符合要求的一组答案即可）.图 图答 案：或解 析：由高度可知，侧视图只能为或.侧视图为，如图（1）,平面P A C，平面A B C,PA=PC=、BA=B C =5 A C =2,俯视图为.俯视图为，如 图（2）,P 4 1 平面A B C,Q 4 =l,A C =A B =5 B C =2,俯视图为.(1)p三、解答题1 7.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1 0件产品，得到产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010
19、.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为7和y,样本方差分别己为s；和S；.2 2(1)求x,y,力，$2 ：(2)判 断 新 设 备 生 产 产 品 的 该 项 指 标 的 均 值 较 旧 设 备 是 否 有 显 著 提 高(如果I 2 2则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)。答 案：见解析解 析：(1)各项所求值如下所示.-1了=历(9.8 +1 0.3 +1 0.0+1 0.2 +9.9 +9.8 +1
20、0.0+1 0.1 +1 0.2 +9.7)=1 0.0,7=(1 0.1 +1 0.4 +1 0.1 +1 0.0+1 0.1 +1 0.3 +1 0.6+1 0.5+1 0.4 +1 0.5)=1 0.3 ,s；=A x (9.7-1 0.0)2 *7+2 x(9.8 -1 0.0)2+(9.9 -1 0.0)2+2 x(1 0.0-1 0.0)2+(1 0.1-1 0.0)2+2 x (1 0.2-l O.O f +(1 0 3-1 0.0)2 =0。3 6s；4x(1 0 0-1 0.3)2 +3 X(1 o.1 -1 0.3)2 +(1 0.3-1Q 3)2 +2x(1 0.4-l
21、0.3)2+2 x(1 0.5-1 0.3)2+(1 0.6-1 0.3)2 =0.04(2)由(1)中数据得1 一 ：=0 3 2后舒工O .显然了 一 2鸯1.所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。1 8.如图，四棱锥P-ABC。的底面是矩形，PD1底面ABC。，P D=D C =1,M为 B C的中点，且P81AM.(1)求 8C;(2)求二面角A尸河一8的正弦值.答 案：见解析解 析：(1)因为PD1平面ABCO,且矩形ABCQ中，A D 1O C所以以方不，D C,万声分别 为 九V，二轴正方向，。为原点建立空间直角坐标系。一Q Z.设BC=Z,AQ,O,O),
22、B(M,O),m o,l),所以 P B =(f,l,-1),/I M =(-,1,0)2 2因为P81AM,所 以 方 奇=_；+l =0 所以 r=g所以3 C =JZ.设 平 面A P M的 一 个 法 向 量 为m =(x,y,z),由 于A P =(-V 2,0,l),则m-A P =-41x+z =0 _ _ _ _ _ _ 72 .令x =0,的加=(、份,1,2).设平面PMB的一个法向量为m-A M =-x+y =0I 2-.,n-C B-y/2x=0-=(x,y,z),则 _ _ _ _ _ .令 V =1 ,的 n =(0,1,1),所 以nPBy/2x +y-z =Q-
23、in,n 3 3 J 4 /70c o s -%-(n 2),e=1,ab 2 2故 是 以 为 首 项，g为公差的等差数列.(2)由(1)知d=3 +5 1)1!=n-I-?则2不 +2 -=.2 Sc,=-+22 2 2 Sn n+2 +1n=i 时,q =S =g N 2 时，c in=Sn-Sn_+2 n+1 +1 n-,n2n(ti+1)2 0.设函数/(x)=l n(a-x),已知x =O是函数y =0 x)的极值点.(1)求。；(2)设函数g(%)=；、，证 明：g(x)l.xf(x)答 案：见解析解 析：(1)令(x)=n*(x)=x l n(a-x)x贝 lj/(X)=l n
24、(a -x)-:.a-x x =0 是函数y =xf(x)的极值点.(0)=0.解 得:2 =1 ;由 可 知：/(x)=l n(l-x)/、x+f(x)1 1g(x)=-=-1,xf(x)/(X)X要证g(x)l,即证一L+1。-1+0 (x l 且 X H 0)f(x)x I n(l-x)xx +(l x)l n(l x)_0-乙-0.x l n(l-x)当 x0 时，x l n(l-x)0.当0 vxv 1 时，x l n(l-x)0令 7/(%)=x+(l x)l n(l%),且易知 H(0)=0.则”(x)=l l n(l x)+1(1 x)=l n(l x)1-x(i)当x0时，易
25、得“(x)H(0)=0,得证.(i i)当0 x 0,则H(x)在(0,1)上单调递增.(0)=0,.H Q)H(0)=0,得证.综上证得g(x)0)的焦点为尸，且 尸 与 圆M:-+(y+4)2 =1上点的距离的最小值为4.(1)求；(2)若 点。在M上，P A,尸3是C的两条切线，A,8是切点，求 凶4 3面积的最大值.答 案：见解析解 析：(1)焦 点E(O,“)到2+(y+4)2=l的最短距离为+3 =4,所 以2=2.2 2 抛 物 线、=一，设A C%)B(X2,)?2),(/，为)，得4/1 z 1 1 2 1iPA:y=-xl(x-xJ)+yt=xlx xl=xx-y,IPR:
26、丁 =；%2%-%，且R o?=一为2-8%-1 5,I P A .都过点P(%，%),贝 卜1%=耳 七%-%1%=产 与 一%故 几：即 丁 =；/%一 为，联 立 =5。，一九,得产一2%+4%=0,A =4/2 1 6%,x2=4 y所以|A B|=AB 4*8=（卜。？一4%|.收-4yo12 I 2=-（V-4 o）2=-（-yo2-i 2 yo-i 5）2.而%H 5,-3 ,故当为=-5时，S“AB达到最大，最大值为2 0店.2 2.在直角坐标系x O y中，OC的圆心为C(2,l),半径为1.(1)写出OC的一个参数方程；(2)过点尸(4,1)作0 c的两条切线.以坐标原点为
27、极点，1轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.答 案：见解析解 析：x =2 +c o s。(1)0 c的参数方程为 .八(，为参数)y=1 +s i n g(2)O C 的方程为(x -2)2+(y -l f=l当直线斜率不存在时，直线方程为x =4,此时圆心到直线距离为2 尸，舍 去；当直线斜率存在时，设直线方程为y l =%(x 4),化简为质y 4左+1 =0,此时圆心C(2,1)到直线的距离为d=I左-+=r=,42+1化简得2|Z|=J F W,两边平方有4公=公+1,所以左=日.代 入 直 线 方 程 并 化 简 得+6-4 =0或X+百 丫-6-4=0化为极坐标方
28、程为p c o s0 V 3/?s i n 0=4-/3 o/?s i n(9 +且)=4-百6或 Q c o s e +V p s i n e =4 +G =p s i n(+)=4 +6.62 3.已知函数f(x)=|x-a|+|x+3 .(1)当。=1时，求不等式/*)26的解 集；(2)若/(x)a,求a的取值范围.答 案：见解析解 析：当 a =l 时，/(%)6 o|x-1 1+1%+3 1 6,当 xW 3时，不等式01 x x 3 6,解得xW 4 ;当一3 x-a,即f(x)m i n-a，因为 f(x)|+1 JL+3|(x-)-(%+3)H a +3 1(当且仅当(x-a)(x +3)a,即 a +3 -a ,解得/3 、a e(-,+o o).