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1、平许济洛平许济洛 2023-2024 学年高三第一次质量检测学年高三第一次质量检测 数学数学参考答案参考答案 一、选择题一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B C C A D B 二二选择选择题题 9 10 11 12 ABD CD ACD BC 三填空题三填空题 13.11 14.75 15.211 16.303 四、解答题 17.解：（1）)cos(cossin)(222BAabBBbac+=，BBBAabbaccossin)cos(222+=.1 分 BCC2sincos2cos2=,.3 分 C是锐角，Ccos0，B2sin1，0B2，即 02B，2B2，即 B4；.5
2、 分（2）sinB22，SABC12acsinB24ac，.6 分#QQABAYKUogCgAAJAAAhCQwHACgAQkBGACCoGgBAIsAAAgRNABAA=#b2，cosB22，由余弦定理得：22a2+c22ac222ac2ac，.8 分（22）ac4，即 ac2（2+2），SABC24ac242（2+2）2+1，当且仅当42 2ac=+时，等号成立，ABC 的面积的最大值为2+1.10 分 18.解：(1)由22413nnnnSnnS+=，得222(4)3(1)0nnSnnSnn+=，即2(3)(1)0nnSSnn+=，解得3nS=(舍)或21nSnn=+，.2 分 当1n=
3、时，113aS=，当2n 时，2121(1)(1)12nnnaSSnnnnn+=，.4 分 所以，3,1,2,2nnan n=.5 分(2)31241234(1)2(1)2(1)2(1)2.(1)2naaaaannTaaaaa=+346822 23 25 27 2.(21)2nn=+234163 45 47 4.(21)4nn=+123121 43 45 4.(21)4nn=+.7 分 令1231 43 45 4.(21)4nnRn=+，则234141 43 45 4.(23)4(21)4nnnRnn+=+，-得：231342 42 4.2 4(21)4nnnRn+=+#QQABAYKUogC
4、gAAJAAAhCQwHACgAQkBGACCoGgBAIsAAAgRNABAA=#1132(14)4(21)414nnn+=+1132244(21)433nnn+=+1205(2)433nn+=+.10 分 所以12025()4939nnnR+=+，所以11*2025128(65)12()44,93999nnnnnTnN+=+=+.12 分 19.解：（1）补全的 22 列联表如下：不喜爱 喜爱 合计 男性 30 90 120 女性 25 55 80 合计 55 145 200 零假设为 0H：性别与对活动的喜爱程度无关 根据表中数据，计算得到706.23193008012014555)25
5、905530(20022=根据小概率值 0.1 的独立性检验，没有充分证据推断0H不成立，因此我们可以认为0H成立，即认为对该场活动的喜爱程度与性别无关.4 分（2）记“戏迷甲至少正确完成其中 3 道题”为事件 A，则()343444313189CC444256P A=+=.7 分 X 的可能取值为 2，3，4()222648C C1532C7014P X=，()132648C C4043C707P X=，()042648C C1534C7014P X=，.10 分#QQABAYKUogCgAAJAAAhCQwHACgAQkBGACCoGgBAIsAAAgRNABAA=#X 的分布列为；X 2
6、 3 4 P 314 47 314 数学期望()343234314714E X=+=.12 分 20.解：（1）证明：平面 FGH平面 ABED，平面 BCFE平面 ABEDBE，平面 BCFE平面 GHFHF，BEHF BCEF，四边形 BHFE 为平行四边形，则 BHEF BC2EF，BC2BH，H 为 BC 的中点.1 分 同理 G 为 AC 的中点，则 GHAB，.2 分 ABBC，GHBC 又 HCEF 且 HCEF，四边形 EFCH 是平行四边形，则 CFHE 又 CFBC，HEBC.4 分 又 HE，GH平面 EGH，HEGHH，BC平面 EGH；.6 分（2）ABCF，CFHE
7、，GHAB，HEGH 以 H 为坐标原点，分别以 HG，HB，HE 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 45.BACABCABBC=为等腰直角三角形，即 则 E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，0，0），D（1，0，1），(0,1,0)EF=，(1,0,1)EG=，(1,1,1)FG=，(0,0,1)GD=.8 分#QQABAYKUogCgAAJAAAhCQwHACgAQkBGACCoGgBAIsAAAgRNABAA=#设平面 EFG 的一个法向量为111(,)mx y z=由11100m EFym EGxz=，取11x=，得(1,0,1)m=；设平面 FGD 的一个法向量为
8、222(,)nxyz=由222200n FGxyzn GDz=+=，取 x21，得(1,1,0)m=.10 分 1cos,2|m nm nmn=设平面 EFG 和平面 DFG 的夹角为，则 1cos|cos,|.2m n=平面 EFG 和平面 DFG 的夹角的余弦值12.12 分 1()0()1(0,1),()0,(1,),()0()011(1)1 .2f xfxxxfxxfxyf xfm21.解：由题意：函数的定义域为（,）在（，）上为减函数，在（，）上为增函数，分(1.yf xym即）图象与直线相切 1(),(0,1),()0,(1,),()01()011(1)=,1().xxg xexg
9、 xxg xyg xgeyg xye由在（，）上为增函数，在（，）上为减函数，即图象与直线相切 111,1.4xmmee两函数图象，均与平行于 轴的同一条直则即线相切分 1212121212112212122()lnln,()()0-ln-ln0ln0,7xxxxxxxxxxxxF xxxmmtteeeeeF xF xttmttmxxyttmttee（）令由，得函数在（，）上为减函数，故即，分#QQABAYKUogCgAAJAAAhCQwHACgAQkBGACCoGgBAIsAAAgRNABAA=#1212122122121121111()()01,e,22-()(2),()()()(2)()
10、-(2)0.9xxg xg xxxeexxxxg xgxg xg xg xgxg xgx即，不妨设要证只需证，只需证，即证因为只需证，即分 2222()()-(2)2,(0,1),11()(1)0,.11xxxxxxxxh xg x gxxxxeexxeeh xxeee e令则分()(0,1)()(1)0,.12h xh xh在上单调递增，原题得证.分 22.(1)设(,)P x y，00(,)M xy，则),(00yxN，过点 N 且平行于y轴的直线方程为：0 xx=，.1 分 直线 OM 的方程为：00yyxx=，.2 分 联立两直线方程=xxyyxx000，相乘得：2200yyxx=，y
11、yxx0202=因为M在抛物线 C 上，所以0204yx=，所以24xy，4 分 由题意知 O、M 不重合，故0 x，所以曲线 E 的方程为24xy(0 x).5 分（2）由（1）知直线1y，当点A在特殊位置(0,1)时，显见两个切点12,P P关于 y 轴对称，故要使得AB12PP，点B必须在 y 轴上 故设A（m，1），B（0，n），)41,(2111xxP，)41,(2222xxP，#QQABAYKUogCgAAJAAAhCQwHACgAQkBGACCoGgBAIsAAAgRNABAA=#曲线 E 的方程为21(0)4yxx，求导得12yx，所以切线1AP的斜率1121xk=，直线1AP
12、的方程为)(21411121xxxxy=，又点A在直线1AP上，所以)(214111121xmxx=，整理得042121=mxx，同理可得042222=mxx，故 x1和 x2是一元二次方程2240 xmx的根，由韦达定理得=+422121xxmxx，.9 分)(41)1,()4141,(1221221221xxnmxxxxABPP=+=21 4(1)()mnxx)1)(21)1(24)(411212=+nxxmnmmxx，可见1n时，021=ABPP，.(11 分)所以存在定点B(0,1)，使得AB12PP恒成立.12 分#QQABAYKUogCgAAJAAAhCQwHACgAQkBGACCoGgBAIsAAAgRNABAA=#