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1、2023届广东省汕头金中、湛江一中、东莞东华、广州六中四校高三（下）联考数学试题1. 已知集合，则 （）A.B.C.D.知识点：交集一元二次不等式的解法答案：C解析：由可得解得，因为，所以，所以，又由解得，所以，所以，故选.2. 若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则（）A.B.C.D.知识点：复数的模共轭复数复数的除法答案：C解析：因复数满足，则，所以复数的共轭复数为，则，故选.3. 已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：；乙组：，若这两组数据的第百分位数第百分位数都分别对应相等，则等于（）A.B.C.D.知识点：总体百分位数的估计答案：A解析：根据百分位数的定义，求出的值即可
2、得答案因为，甲组：第百分位数为，第百分位数为，乙组：第百分位数为，第百分位数为，由已知得：，解得，所以，故选.4. 在等比数列中，是函数的极值点，则（）A.或B.C.D.知识点：一元二次方程根与系数的关系导数与极值等比数列的性质答案：C解析：因为，所以又因为是函数的极值点，即是方程的两根，则有，由为等比数列可知：，因为，且，所以，则有，所以，故选.5. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时分钟设经过分钟
3、沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度恰好相等（假定沙堆的底面是水平的），则的值为（）A.B.C.D.知识点：圆柱、圆锥、圆台的体积立体几何中的实际应用答案：D解析：因为沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度恰好相等所以上方圆锥的空白部分就是下方圆锥中的沙子部分，且上方沙漏中沙子的高度为一个沙漏的高的一半，所以可以单独研究上方圆锥，其高度为一个圆锥的一半，沙子形成的圆面的半径为圆锥底面圆半径的一半，设圆锥的高为，底面半径为，则上方沙子的体积为，所以，上方此时剩的沙子占总沙子的，下方圆锥中的沙子占总沙子的因为一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时分钟，所以，
4、当的沙子从一个沙漏中漏到另一个沙漏中，需要分钟，所以，经过分钟沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度恰好相等故选.6. 设，分别为双曲线（，）的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的某条渐近线于，两点，且，（如图），则该双曲线的离心率为（）A.B.C.D.知识点：双曲线的离心率答案：A解析：不妨设圆与相交，且点的坐标为，则点的坐标为，联立，得，又且，所以，所以由余弦定理得：，化简得，所以，所以故选.7. 若存在常数，使得函数对定义域内的任意值均有，则关于点对称，函数称为准奇函数现有准奇函数，对于，则函数在区间上的最大值与最小值的和为（）A.B.C.D.知识点：函数的新
5、定义问题函数的对称性函数性质的综合应用答案：B解析：令，则，关于点中心对称；令，则，关于点中心对称；，设在处取得最大值，则在处取得最小值，即的最大值与最小值的和为故选.8. 设，（是自然对数的底数），则（）A.B.C.D.知识点：导数与单调性利用函数单调性比较大小答案：C解析：记，则，所以在上单调递减，所以，所以在上，所以又单调递增，所以所以，即而由二项式定理得：，对于、，由，记，则，所以在上单调递增，所以所以，所以综上所述：故选.总结：比较大小：（）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；（）结构不同的，寻找中间桥梁，通常与、比较；（）根据式子结构，构造新函数，利用导数判断单调性，比
6、较大小9. 若直线与圆相切，则下列说法正确的是（）A.B.数列为等比数列C.数列的前项和为D.圆不可能经过坐标原点知识点：等差数列的定义与证明直线和圆相切等差数列的前项和的应用答案：A ； C解析：圆的圆心为，半径，由直线与圆相切得，是首项为，公差为的等差数列，前项和为；令，解得，此时圆经过坐标原点综上所述，选项正确，选项错误故选.10. 定义行列式，若函数，则下列表述正确的是（ ）A.的图像关于点中心对称B.的图像关于轴对称C.在区间上单调递增D.最小正周期为知识点：函数的新定义问题辅助角公式二倍角的正弦、余弦、正切公式函数的图象及性质答案：C ； D解析：由题意 ，对于，将点 代入 解析式
7、得： ，所以 不是中心对称点，错误；对于，令 ，则 ，所以轴不是对称轴，错误；对于， 时， ，根据 的性质知 是增函数，正确；对于，由 的解析式知 ，正确；故选.11. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系，若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为在的斜坐标系中，则下列结论中，错误的是（）A.B.C.D.在上的投影向量为知识点：共线向量基本定理向量坐标与向量的数量积投影向量（投影）答案：B ； C ； D解析：由题意得：，对于项，由题意得：，故正确；对于项，故不正确；对于项，故项不正确；对于项，在上的投影向量为：，又，故不正确故选
8、12. 已知函数，若存在使得，则的取值可以是（）A.B.C.D.知识点：函数的对称性函数零点的值或范围问题答案：B ； C解析：因为，所以与的图象关于直线对称，作出的图象如图所示，所以，由，即，所以，所以，因为，所以，得，所以，设，所以，因为双勾函数在时单调递减，所以，所以，结合选项可能的取值有，故选13. 若，则.知识点：同角三角函数基本关系的综合应用二倍角的正弦、余弦、正切公式答案：解析：故答案为.14. 已知等边的内接于圆，点是圆上一点，则的最大值是.知识点：数量积的运算律向量的线性运算答案：解析：设的中点为，连接，向量的夹角为，因为等边内接于圆，所以点在上，且，所以，所以当，即点为的延
9、长线与圆的交点时，取最大值，故答案为：15. 已知，设，.知识点：组合数及其性质展开式中的特定项或特定项的系数二项展开式的通项答案：解析：因为，所以，因为，令，则，而的展开通项为，所以当时，故答案为：.16. 设，分别是棱长为的正方体的棱，的中点，为上一点，且不与重合，且，在同一个表面积为的球面上，记三棱锥的体积为，则的最小值是.知识点：与球有关的切、接问题空间直角坐标系中两点之间的距离公式导数与最值球的表面积棱柱、棱锥、棱台的体积答案：解析：设，所在球面球心为，取中点，连接，则为外接圆圆心，平面，以为原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，则，设，则由可得，整理得，则 ，令，则或，则
10、，或，令，则，当时，单调递减；则当时，取得最小值，则的最小值是.17. 在锐角中，角的对边分别为，且(1) 求角的大小；(2) 若，求的取值范围知识点：正弦定理及其应用三角恒等变换综合应用函数的图象及性质两角和与差的正弦公式答案：(1) 由正弦定理得：，.(2) 由正弦定理得：，；为锐角三角形，即，即的取值范围为.解析：(1) 略(2) 略18. 已知数列，时，.(1) 求数列的通项公式；(2) 为各项非零的等差数列，其前项和为，已知，求数列的前项和.知识点：数列的前n项和错位相减法求和数列的通项公式等差数列的性质等差数列的前项和的应用答案：(1) 因为，所以当时，可得，所以，当时，满足上式，
11、所以.(2) 因为，且为各项非零，所以，所以，所以，所以，所以.解析：(1) 略(2) 略19. 数独是源自世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行每一列每一个粗线宫()内的数字均含，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.(1) 赛前小明在某数独上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度(秒与训练天数(天有关，经统计得到如表的数据：(天(秒现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过天训练后，每天解题的平均速度约为多少秒？参考数据(其中参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二
12、乘估计公式分别为：，.(2) 小明和小红在数独上玩对战赛，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，两人约定先胜局者赢得比赛若小明每局获胜的概率为，已知在前局中小明胜局，小红胜局若不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率知识点：线性回归模型的最小二乘法相互独立事件的概率答案：(1) 由题意，令，设关于的线性回归方程为，则，则，又，关于的回归方程为，故时，经过天训练后，每天解题的平均速度约为秒；(2) 设比赛再继续进行局小明最终获得比赛，则最后一局一定是小明获胜，由题意知，最多再进行局就有胜负当时，小明胜，；当时，小明胜，；当时，小明胜，小明最终赢得比赛的概率为解析：(1) 略(2) 略
13、20. 已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱平面，点在棱上，且，点是在棱上的动点（不为端点）（如图所示）(1) 若是棱中点， 画出的重心（保留作图痕迹），指出点与线段的关系，并说明理由； 求证：平面；(2) 若四边形是正方形，且，当点在何处时，直线与平面所成角的正弦值取最大值.知识点：立体几何中的探索问题用空间向量研究直线与平面所成的角直线与平面平行的判定定理答案：(1) 设与交点为，连接与交于点，因为为中点，为中点，所以与交点为重心，所以，又因为为的边的中线，所以点也为的重心，即重心在上 连接并延长交于点，连接，因为为重心，所以，又因为，所以，又因为平面，平面，所以平面；(2) 因为四边形为正
14、方形，所以，平面，平面，所以，所以以为坐标原点，建立如图所示坐标系，所以，设，则，.设平面的法向量为，化简得，取则，设直线与平面所成角为，所以，所以当时，即点在线段靠近的三等分点处时，直线与平面所成角的正弦值取最大值为.解析：(1) 略 略(2) 略21. 如图，椭圆：与圆：相切，并且椭圆上动点与圆上动点间距离最大值为(1) 求椭圆的方程；(2) 过点作两条互相垂直的直线，与交于两点，与圆的另一交点为，求面积的最大值，并求取得最大值时直线的方程.知识点：椭圆的标准方程直线与圆的方程的应用直线与椭圆的综合应用与圆有关的最值问题圆锥曲线的最值（范围）问题答案：(1) 椭圆与圆：相切，知；又椭圆上动
15、点与圆上动点间距离最大值为，即椭圆中心到椭圆最远距离为，得椭圆长半轴长，即；所以椭圆的方程：(2) 当与轴重合时，与圆相切，不合题意当轴时，（，），：，此时当的斜率存在且不为时，设：，则，设（，），（，），由得，所以，所以由得，解得，所以，所以，因为，所以，当且仅当时取等号所以（），综上，面积的最大值为，此时直线的方程为解析：(1) 略(2) 略22. 已知函数，.(1) 讨论函数的单调性；(2) 令，若存在，且时，证明：.知识点：利用导数讨论函数单调性利用导数证明不等式导数中的极值点偏移（双变量问题）答案：(1) 的定义域为，当时，当时，由得，由得，当时，在上单调递增当时，在上单调递减，在单调递增.(2) ，由题意知，令，则，在上单调递增，不妨设，令，只需证，只需证，设，则，在递增，即成立，即解析：(1) 略(2) 略