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1、2020年高考真题数学（新高考全国卷I）1. 设集合，则（）A.B.C.D.知识点：并集答案：C解析：故选C.总结：本题考查集合并集，考查基本分析求解能力.2. （）A.B.C.D.知识点：复数的除法答案：D解析： ，故选D.总结：本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.3. 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法共有（）A.种B.种C.种D.种知识点：组合的应用分步乘法计数原理答案：C解析：首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆故不同的安排方
2、法共有种故选C .总结：本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算.4. 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为，地球上一点的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，点处的水平面是指过点且与垂直的平面在点处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点处的纬度为北纬，则晷针与点处的水平面所成角为（）A.B.C.D.知识点：立体几何中的截面、交线问题球的结构特征及其性质直线与平面垂直的定义立体几何中的数学文化平面与平面平行的性质定理答案：B解析：画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线，是点处的水平面的截线，依题意可知，是晷针所在直线
3、，是晷面的截线，依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，根据平面平行的性质定理可得可知，根据线面垂直的定义可得.由于，所以，由于，所以，也即晷针与点处的水平面所成角为故选B.总结：本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质.5. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A.B.C.D.知识点：事件的交（积)与事件的并(和）随机事件发生的概率答案：C解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”
4、为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，则，所以所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为故选C.总结：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.6. 基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间(单位天的变化规律，指数增长率与，近似满足有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为 （）A.天B.天C.天D.天知识点：指数型函数模型的应用指数与对数的关系答案：B解析：因为，所以，所
5、以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天故选B.总结：本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式.7. 已知是边长为的正六边形内的一点，则 的取值范围是（）A.B.C.D.知识点：向量的数量积的定义答案：A解析：的模为，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选A.总结：该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式.8. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（）A.B.C.D.知识
6、点：利用函数单调性解不等式函数奇、偶性的定义函数单调性与奇偶性综合应用答案：D解析：方法一：由题意可得的图象可如图所示， 的图象可由的图象向右平移一个单位得到(如图)， 满足即满足与同号或二者至少有一个为零，由图可得不等式的解集为.方法二：由于在上为奇函数，所以由在单调递减，且可得所以当时，；当时，.则对于函数而言，当时，；当时，.又所以满足的的取值范围为.故选.总结：本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题9. 已知曲线（）A.若，则是椭圆，其焦点在轴上B.若，则是圆，其半径为C.若，则是双曲线，其渐近线方程为D.若，则是两条直线知识点：双曲线的渐近线圆
7、的定义与标准方程椭圆的定义根据方程研究曲线的性质双曲线的定义答案：A ； C ； D解析：对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选ACD.总结：本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.10. 下图是函数的部分图象，则（）A.B.C.D.知识点：由图象（表）求三角函数的解析式角与的三角函数值之间的关系答案：B ；
8、C解析：由图可得函数的最小正周期故选项错误函数图像过点且左侧，右侧， 当时，可得该图像对应的函数解析式可以是. 对于，故选项正确. 对于，故选项正确. 对于当时，与图像不符，故选项错误.故选.11. 已知，且，则（）A.B.C.D.知识点：基本不等式的综合应用指数（型）函数的单调性对数（型）函数的单调性对数的运算性质不等式的性质二次函数的图象分析与判断答案：A ； B ； D解析：对于A，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，所以，故B正确；对于C，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选ABD总结：本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式
9、，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养12. 信息熵是信息论中的一个重要概念设随机变量所有可能的取值为，且，定义的信息熵 （）A.若，则B.若，则随着的增大而增大C.若，则随着的增大而增大D.若，随机变量所有可能的取值为，且，则知识点：基本不等式的综合应用对数函数的图象和性质离散型随机变量函数的新定义问题对数的运算性质函数单调性的应用答案：A ； C解析：对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确对于B选项，若，则，所以，当时，当时，两者相等，所以B选项错误对于C选项，若，则，则随着的增大而增大，所以C选项正确对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）由于，所以，所以，
10、所以，所以，所以D选项错误故选AC总结：本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题13. 斜率为的直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，则知识点：直线的点斜式方程抛物线的定义抛物线的焦点弦问题答案：解析：抛物线的方程为，抛物线的焦点坐标为，又直线过焦点且斜率为，直线的方程为：，代入抛物线方程消去并化简得，解法一：解得所以.解法二：，设，则,过分别作准线的垂线，设垂足分别为，如图所示.故答案为.14. 将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为知识点：等差数列的定义与证明等差数列的基本量等差数列的
11、前项和的应用答案：解析：因为数列是以为首项，以为公差的等差数列，数列是以首项，以为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为15. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示为圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，垂足为，到直线和的距离均为，圆孔半径为，则图中阴影部分的面积为知识点：扇形面积公式三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用三角形的面积（公式）答案：解析：设，由题意，所以，因为,所以，因为，所以，因为与圆弧相切于点，所以，即为等腰直角三角形；在直角中，因
12、为，所以，解得；等腰直角的面积为；扇形的面积，所以阴影部分的面积为故答案为：16. 已知直四棱柱的棱长均为，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为知识点：扇形弧长公式棱柱的结构特征及其性质立体几何中的截面、交线问题与球有关的切、接问题直线与平面垂直的判定定理答案：解析：如图：取的中点为，的中点为，的中点为，因为，直四棱柱的棱长均为，所以为等边三角形，所以，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，所以，因为，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，因为，所以，所以根据弧长公式可得故答案为17. 在，这三个条
13、件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.知识点：用余弦定理、正弦定理解三角形答案：解法一：由可得：，不妨设，则：，即选择条件的解析：据此可得，此时选择条件的解析：据此可得：，则：，此时：，则：选择条件的解析：可得，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在解法二：，,若选，若选，则，若选，与条件矛盾解析：解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到，的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解解法二
14、：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得的值，得到角的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解总结：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围18. 已知公比大于的等比数列满足(1) 求的通项公式；(2) 记为在区间中的项的个数，求数列的前项和知识点：数列的前n项和数列的定义与概念等比数列的通项公式等比数列的基本量数列中的新定义问题答案：(1) 由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有解得，或(舍，所以，所以数
15、列的通项公式为.(2) 由于，所以对应的区间为：，则；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个所以解析：(1) 利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的通项公式(2) 通过分析数列的规律，由此求得数列的前项和总结：(2) 本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查分析思考与解决问的能力，属于中档题.19. 为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了天空气中的和浓度（单位：），得下表： 单位：
16、天 附：，(1) 估计事件“该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过”的概率；(2) 根据所给数据，完成下面的列联表： 单位：天 合计合计(3) 根据（）中的列联表，判断是否有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关？知识点：列联表古典概型的应用独立性检验及其应用答案：(1) 由表格可知，该市天中，空气中的浓度不超过，且浓度不超过的天数有天，所以该市一天中，空气中的浓度不超过，且浓度不超过的概率为；(2) 由所给数据，可得列联表为： 单位：天 合计合计(3) 根据列联表中的数据可得，因为根据临界值表可知，有的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关解析：(1) 略(2) 略(3) 略20. 如图，四棱
17、锥的底面为正方形，底面设平面与平面的交线为(1) 证明：平面；(2) 已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值知识点：用空间向量研究直线与平面所成的角直线与平面垂直的判定定理直线与平面平行的判定定理直线与平面平行的性质定理利用基本不等式求最值答案：(1) 证明：在正方形中，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，平面平面，所以，因为在四棱锥中，底面是正方形，所以且平面，所以因为所以平面；(2) 如图建立空间直角坐标系，因为，则有，设，则有，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为，则，根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线
18、与平面所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为解析：(1) 利用线面垂直的判定定理证得平面利用线面平行的判定定理以及性质定理，证得，从而得到平面；(2) 根据题意，建立相应的空间直角坐标系，得到相应点的坐标，设出点，之后求得平面的法向量以及向量的坐标，求得的最大值，即为直线与平面所成角的正弦值的最大值21. 已知函数(1) 当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2) 若，求的取值范围知识点：利用导数求曲线的切线方程（斜率）导数与单调性导数与极值利用导数求参数的取值范围导数的几何意义导数中不等式恒成立与存在性问题答案：(1) ，切点坐标为，函
19、数在点处的切线方程为，即,切线与坐标轴交点坐标分别为,所求三角形面积为;(2) 解法一：，且设，则在上单调递增，即在上单调递增，当时，成立当时， ，存在唯一，使得，且当时，当时，因此,，恒成立；当时， ，不是恒成立综上所述，实数的取值范围是解法二：等价于，令，上述不等式等价于,显然为单调增函数，又等价于，即，令，则在上，单调递增；在上，单调递减，,即，的取值范围是解析：(1) 略(2) 略22. 已知椭圆：的离心率为，且过点(1) 求的方程；(2) 点，在上，且，为垂足证明：存在定点，使得为定值知识点：一元二次方程根与系数的关系椭圆的离心率椭圆的标准方程椭圆的定义向量垂直圆锥曲线的定值、定点问
20、题答案：(1) 由题意可得：解得：，故椭圆方程为：.(2) 设点，因为，即，当直线的斜率存在时，设方程为，如图代入椭圆方程消去并整理得：， ，根据，代入整理可得：将代入，整理化简得，不在直线上，于是的方程为，所以直线过定点直线过定点当直线的斜率不存在时，可得，如图代入得,结合，解得(舍），此时直线过点，由于为定值，且为直角三角形，为斜边，所以中点满足为定值（长度的一半）由于，故由中点坐标公式可得故存在点，使得为定值解析：(1) 由题意得到关于，的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程(2) 设出点，的坐标，在斜率存在时设方程为，联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到，的关系，进而得直线恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点的位置总结：(2) 本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问中证明直线经过定点，并求得定点的坐标,属综合题，难度较大