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1、2021-2022学年上海外国语大学附属大境中学高三（上）开学数学试卷一、填 空 题（共12小题）.1.函数y=l o g 3（2 -x）的定义域是.2 .函数y=s in 2 r c o s 2 r的最小正周期是.3 .复数生（i为虚数单位）的模为.14 .已知X 6 R,且x W O,则/+A2的取值范围是.2 25.若椭圆三+，=1上一点P到焦点人的距离为6,则点P到另一个焦点F2的距离是.2 5 166 .若圆锥的侧面积为2口，底面面积为m则该圆锥的体积为.x+/C37 .（文科）设 点（x,y）位于线性约束条件x-2 y+l 4 0所表示的区域内（含边界），则,2 x目标函数z=2
2、x+y的最大值是.8.不等式12 r -3|+|2 x -9|1”是“x 3”的（）条件A.充分不必要C.充要B.必要不充分D.既不充分也不必要14.在(表 号 二)24的展开式中，有理项共有()项VXA.3 B.4 C.5 D.615.向量Z,E不共线，点 尸、Q、S 共线，已知钝=2彳+/，QR=a+b,RS=2a-3 b则k的 值 为()3 4A.-1 B.-3 Cq D.5 316.已知(x)=cos(3 x晨)，S 0,在 xeO,2TT内的值域为-1,则 3 的取值范围是()A.住,等 B.0,-1-C.0,-|-D.-y o o o o o o三、解答题17.求下列不等式的解集.
3、盘0.18.已知二次函数/(x);加2-4x+c的值域为0,+8).(1)若此函数在U，2)上是单调减函数，求实数”的取值范围；(2)求/(x)在口，+8)上的最小值g(a),并求g(a)的值域.19.如图，四棱锥P-A8CZ)的底面A8C。为菱形，尸 _ 1 _ 平面ABC。，P D=A D=2,4 B A D=60,E、/分别为BC、PA的中点.(1)求异面直线AP与力E 所成角的大小；(2)求四棱锥P-A B C D的侧面积；(3)求三棱锥P-D E F的体积.B2 0.设函数f(x)=sin(一T-)-2CO S2 OX+1-4 6 8(1)求/(x)的最大值及取得最大值时x的取值集合
4、；(2)求/(x)在8 上的单调增区间；(3)若函数y=g(x)与y=/(x)的图像关于直线x=3对称，且y=g(x)在 0,4 上存在唯一零点，求实数m的取值范围.2 1.设抛物线V=2 px (p0)的焦点为扛 经过点F的动直线/交抛物线于A (片，力)、B(X 2,”)两点，且 力 玖=-16.(1)求此抛物线的方程；(2)。为坐标原点，动 点P在直线A 8上，且 满 足 而,靛=0,记动点尸的轨迹为C,求C的方程；(3)数列 斯 为等差数列，前项和记为S”，若 点(s,n)是(2)中的轨迹C上的点，且总有&3 W M,试求满足条件的例的最小值.参考答案一、填空题1.函数y=k g3 （
5、2 -x）的定义域是（-8,2）.解：由题意得：2-x 0,解得：x 2兀1=2兀，圆锥的母线为2,则圆锥的高遥，所以圆锥的体积 x X T r=2 L.故答案为返工.3x+y C 37 .（文科）设 点（x,y）位于线性约束条件.x-2 y+l 0所表示的区域内y 2 x目标函数z=2 x+y的 最 大 值 是 芈.一 3 一解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.（含边界），则由 z=2x+y 得 y=-2 x+z,平移直线y=-2 x+z,由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时，直线y=-2x+z的截距最大,此时z最大.由，X+Y=3，解得x-2y+l=0二 53,即 B(,
6、),4 3 3代入目标函数Z=2x+y得z=2义|+告=券即目标函数z=2r+y的最大值为普，08 .不等式|2x -3|+|2x -9|5的解集是 0.Q7解：当x W亘时，不等式3-3|+|2x -9|=4的交点，即B（6,4）,n1 i吸 Sn=SAOAB=X 6X4=12,n-8 2故答案为：12.二、选择题1 3.设XCR,则“|x-1|1”是“x3”的（A.充分不必要C.充要解：由卜-1|1,解得x 2或xVO,）条件B.必要不充分D.既不充分也不必要故k-1|1W是“x3”的必要不充分条件,故选：B.24的展开式中，有理项共有（A.3）项C.5 D.6解：通项公式。+iB.4x=
7、r.124要求该二项式的展开式中的有理项，则1 2-孚6N,6因为0W r W 24,所以r可以为0,6,1 2,1 8,24,共有5项.故选：C.1 5.向量Z,E不共线，点P、Q、S共线,已知P Q=2a+k b,QR=a +b,R S=2a _ 3b,则k的 值 为（）解：点尸、Q、S共线，.而=入了，P Q=2 a +k b,QR=a +b R S =2 a _ 3b,-+R S=a+b+2a-3b=3a-2b-,*2 a+&b=、(3 a -2卜)，3 入=21 -2=k，解得：2=-告,o故选：D.1 6.已知 f （x）=c o s（3 xg）,30,在 x e 0,2n 内的值
8、域为-1,y,则 3 的取值范围是（）A.虑，B.0,y C.0,y o o o o解：f (x)=c o s (。，3 0，当 X W O,2i r 时,由题意可得,0)0,3 兀由余弦函数的性质可得，兀43兀兀7 5兀二5解得3 4,，所 以 3 的取值范围是焦，等 .0 O故选：A.三、解答题1 7.求下列不等式的解集.(1)x-l0.解：(1)-(2，即 NO，即(X-2)(x-1)0 且 x-IW O,X-1 X-l求得x 2 2,或x V l,故不等式的解集为 2,+8)U(-8,1).(2)4X-4-2X-1 20,2Z r-4*2A-1 20,艮|J (2r-6)(2x+2),
9、A 2A 6,或 2、V -2(舍 去)，A xl og26,故它的解集为(l og26,+8).1 8.已知二次函数/(x)=五-4亢+c的值域为 0,+8).(1)若此函数在 1,2)上是单调减函数，求实数。的取值范围；(2)求/(x)在 1,+8)上的最小值g()，并求g(a)的值域.解：由二次函数/(%)=加-4x+c的值域为 0,+8).其对称轴x=f且a 0.a(1)此函数在U，2)上是单调减函数，A-2.解得 W 1,a,实数的取值范围是(0,1 .(2)由对称轴工=三，且。0.值域为 0,+8),a即 c=；a4那么函数/(工)=)=a r-4x+；a当时，即 W 2,可得f(
10、x)的最小值为f (2)=0；a a当2 Vl时，即。2,口J得f (x)的最小值为/(1)=a+9-4；a aa-4,a 2:.g(a)，a ；0,0 a 2 y=4,当且仅当”=2时取等号，a：.g(a)的最小值为0；即g(a)的值域为 0,+8).1 9.如图，四棱锥P-A B C O的底面A B C。为菱形，平面A B C。，P D=A D=2,/B A D=60,E、尸分别为8 C、尸4的中点.(1)求异面直线4 P与0E所成角的大小；(2)求四棱锥P-A B C D的侧面积;(3)求三棱锥P-O E尸的体积.解：(1)连接B C,由已知可得 A B O和 B CD都是正三角形,所以
11、 B O=2,D E B C,因为 A Z)|8 C,所以。又因为尸。,平 面A 8 CD,所以因为A OCP Q=,所以。E_ L平面P A D又因为A P u平面P A D,mW DELAP,j r所以异面直线A P与D E所成角的大小为彳-.(2)由(I)知：PDAD,PDVDC,所以 5 4=/x2X 2=2,S”c=/x2X 2=2,S 尸A 8=J X 2义 有=被，SAPBC4义2 乂 汨所以四棱锥P-A 8 C O的侧面积为：2+2+有+有=2召+4.(3)因为 X 22=1，且 OE=所以 Vp-DEF=VE-PDF=-X SAPDFX DE=-X i x m=卓.3 3 3
12、20.设函数f (x)=sin (2c o s2+1.4 6 8(1)求/(X)的最大值及取得最大值时X 的取值集合;(2)求/(左)在 xR O,8 J上的单调增区间;(3)若函数y=g(x)与 y=/(x)的图像关于直线x=3 对称，且 y=g(x)-机在 0,4 上存在唯一零点，求实数?的取值范围.解：(1 )f(x)=冬皿?2Lx 一 C O S匹x=in三4 4 2 471-X4K兀)一 下)，令x-=2h r i-,在Z,解得x=4 3 2,kez,所以/(X)的最大值为正，取得最大值时X 的取值集合为 工k=学8 攵，依Z .TT TT TT TT(2)令-FZ/n r W-X-
13、W-b 2/n r,Z w Z,2 4 3 2国 吊 得 _ +8&,f e Z,即/(x)的单调增区间为 4,，kei,又 x6 0,8 ,in 99所以/(x)在 工 曰 0,8 上的单调增区间为 0,与 和 毋 8 .o 5(3)因为函数y=g(x)与 y=f(x)的图像关于直线x=3 对称，所以 g(x)=f(6-x)=5/出?(6-x)-J=-V S005 0)的焦点为凡 经过点F的动直线/交抛物线于A (幻，力)、B(X2,”两点，且 w=-1 6.(1)求此抛物线的方程；(2)0为坐标原点，动 点P在直线A B上，且 满 足 而 标=0,记动点P的轨迹为C,求C的方程；(3)数列
14、 斯 为等差数列，前项和记为S“若点 n)是(2)中的轨迹C上的点，且总有$3 W例，试求满足条件的M的最小值.解：根据题意可知F号，0),设 直 线/的 方 程 为 崂，2y=2px联立方程4,消去x可得V-2 2碎y-p 2=O,x=my+根 据 韦 达 定 理 可 得y 2 =-p 2=-1 6，解得p 4,所以抛物线C的方程为丁=8兑(2)设 P(x,y),由 而 标=0,可得 0 P_ L A 8,可得P的轨迹为以O尸为直径的圆(除去原点)，又 尸(2,0),可得尸的轨迹方程为(x-1)2+y 2=l(去除原点).(3)设等差数列 小 的公差为，”=一 厂1 ,1 0所以 S1 3 =-(。1+4 1 3)-7(41+4 1 1+2 /)(2 i7 1+3 i?n ),2 2 5由点 由i,a n)是(2)中的轨迹C 上 的 点,可 得(a i-1)2+a ii2=L可设 a i=l+co s a,a n=s in a,可得 2 Q i+3 ii=2+2 co s a+3 s in a=2+/Y s in (a+0),当 s in (a+9)=1时，Si3 取 得 最 大 值 曳 亘 变.5所以逗+26,5 _F i n ,，钻 旦,1 3 J 1 3+2 6即M的最小值为一上史-.5