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1、2021北京重点校高一（上）期中数学汇编单调性与最大（小）值一、单选题1.（2021北京清华附中高一期中）设偶函数兀0 在区间G o o,-1 上单调递增，则（）A.3/(-1)A-D 7(2)3B.y(2)/(-)A-i)C.X 2)A-i)/(-1)3D.斤 1 )/(一1)7(2)2.（2021北京师大附中高一期中）下列函数中，在 区 间（0,+o o）上不是单调函数的是（）A.B.y=x2c.y=x-iD.y=x33.（2021北京市第十三中学高一期中）函数=的单调减区间为X()A.(-00,+oo)B.(T,O)U(O,+8)C.(一 co,0)c(0,4-00)D.(-co,0),
2、(0,+o o)UX-1,4.（2021.北京八十中高一期中）已知函数/&）=X ax)A.-4,0)B.-4,-2C.(-co,-2D.(-o o,05.（2021 北 京 101中学高一期中）下列函数中,在区间（0,+8）上为增函数的是（）A.1y=-XB.y=(x-l)2C.y=2xD.y=-x+6.（2021北京 北师大实验中学高一期中）下列函数中在 0,+8）上单调递增的是（）A.y=-xB.y=fxC.y=x2-2xD.y=-X7.（2021 北京 人大附中高一期中）已知函数力=一 x+3a,x 0,、,八是（e，e）上的减函数，则实数。的取值范围厂-a r+l,x 0C.a0D.
3、0 t z -38.（2021北京市第十三中学高一期中）已知函数/（x）的定义域是R,若对于任意两个不相等的实数为，演，总有/伍）成立,则函数,“X）一 定 是（）X2 XA.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.减函数9.(2021北京市陈经纶中学高一期中)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是()A.y =x+l B.y =-x3 C.y=-D.y =x|x|X10.(2021北京四中高一期中)若函数f(x)=x 2+2(“-l)x+2在区间(F,4)上是减函数，则实数。的取值范围是()A.a-3 C.a 3二、填空题11.(2021北京市陈经纶中学高一期中)设定义在R 上的函数/(幻满足：(
4、1)当私 e R 时，/(w+)=/(/)-/()；(2)/(0)*0；(3)当 x 1,则在下列结论中：/()/(-)=!；F(x)在 R 上是递减函数；存在%，使“与)1；若 2)=:，则/(?)=!，)=4.2 4 4 6 6其 中 正 确 结 论 的 命 题 为.12.(2021北京市第十三中学高一期中)能够说明“若 x)114.(2021.北京市十一学校高一期中)已知函数/(x)=x 一 在 R 上单调递减，则实数a的取值范围是|-x +3a,x 0对一切恒成立，则实数x的取值范围是.16.(2021北京市T-一学校高一期中)已知函数/(x-l)=x 2+2x+2,若对于，V x,x
5、,ew,m +l ,都有fx+)f(lx2),则 实 数 机 的 取 值 范 围 为.717.(2021.北京.清华附中高一期中)函数 x)=x +：(x l,6 )的值域是18.(2021北京八十中高一期中)己知f(x)=x+g(x)=x 2-尔+1,若 对 七 1,3,否 2 el,3,使得X/()-()+1 0,则 实 数 机 的 取 值 范 围 是.19.(2021北京八十中高一期中)写出函数/(幻=-+3|的 单 调 递 增 区 间.20.(2021北京J 01中学高一期中)用01”,/?表示4,%两个实数中的最大值.设/(幻=0 2 的实数x的取值范围是23.(2021北京市陈经纶
6、中学高一期中)已知f(x)=；.25.(2021北京J 0 1 中学高一期中)对于定义域为/的 函数/函),如果存在区间 也 勺/,使 得/(x)在区间 见川上是单调函数.且函数y =的值域是 肛川，则称区间 见网是函数x)的一个“优美区间”4判断函数T 二/炽 和函数丁 =3一 一 o)是否存在“优美区间”(直接写出结论，不要求证明)x(2)如果/,网是函数f(x)=叱+7 1 5二 0)的一个“优美区间”，求 一 机的最大值；a x(3)如果函数g(x)=x 2+a 在 R 上存在“优美区间”，求实数。的取值范围.26.(2021北京四中高一期中)已知函数/(x)=4 x +.X(1)应用
7、函数单调性的定义证明：函数”X)在 区 间+8)上单调递增；求 f(X)在区间口,刃上的最大值与最小值.注：证 明(1)只能用函数单调性定义证明.2 7.(2 0 2 1 北京 北师大二附中高一期中)己知函数 r)=2 x +2 +cS，c 为常数)，川)=4,42)=5.X 求函数共用的解析式；.(2)用定义证明：函数人x)在区间(0,1)上是减函数.2 8.(2 0 2 1.北京/北中学高一期 中)已知二次函数y =/(x)满足：/(0)=3；当x =l 时，函数/取得最小值 2.(1)求/。)的解析式；记 g(x)=/(x)+侬-若g(x)是定义域上的单调函数，求在，”的取值范围；记g(
8、x)的最小值为力(加)，求方程(?)=1 的解集.2 9.(2 0 2 1 北京北师大实验中学高一期中)已知函数/(x)=(x +l)2,g(x)=H+l (其中&e R).若对任意x w R,都有/(x)N g(x)恒成立，求我的值;设关于x的函数Mx)=坐：)(：)、的最小值为旅.g(x),f(x)g(x)若女=1,解不等式/(x)N g(x),并直接写出“的值；试判断机是否为女的函数？若是，直接写出初=2%)的函数表达式(用分段函数形式表示)；若不是，说明理由.30.(2021北京市陈经纶中学高一期中)已知函数/)=加+定义在区间 0,2上，其中a e -2,0.(1)若a=T,求“X)
9、的最小值；(2)求/)的最大值.参考答案1.B【解析】利用偶函数的性质可得出2)=/(-2),再由函数y =/(x)在区间(-8,7 上的单调性可得出-1)、f 3/(2)的大小关系.【详解】因为函数y =/(x)为偶函数，则/(2)=/(-2),由于函数y =x)在区间S-1上单调递增，且一2 一|-1,/(-1)，即/(-5)=在(0,+o o)上单调递增，所以A错误，X对于B,y =/在(0,+8)上单调递增，所以B错误，.x ,x 1对于C,=%-1 =.，在(0，+8)上不是单调函数，所以C正确,对于D,y =/在(0,+o o)上单调递增，所以D错误，故选：C3.D【解析】根据反比
10、例函数的单调性即可得出答案.【详解】解：由函数y=1,定义域为(3,0),(0,行)，X得其单调减区间为(YO,0),(0,+5).故选：D.4.B【解析】依题意可得函数在各段均是增函数且在断点的左侧的函数值不大于断点右侧的函数值，即可得到不等式组，解得即可；【详解】-x 2-ax-/r,x I、Xa-a-l故选：B5.C【解析】利用解析式结合函数图象逐项判断即可.【详解】解：对A,y =p x w（0,“o）为反比例函数在第一象限的图象，所以是单调递减，故A错误；对B,y =（x-l）2,该函数为开口向上，对称轴为x =l,所以在x e（0,+O上先减再增，故B错误;对C,y =2 x,x
11、e（O,y）为单调递增的一次函数，故C正确；对D,y=-x+,x w（O,+a）为单调递减的一次函数，故D错误.故选：C.6.B【解析】由函数的单调性逐一判断即可求解【详解】对于A：y=-x在 0,+8）上单调递减，故A错误；对于B：y =4在 0,+8）上单调递增，故B正确；对于C：y =/2 x在 1,+8）上单调递增，故C错误；对于D：y=1在 0,+8）上单调递减，故D错误；X故选：B7.A【解析】由题意可得出关于实数。的不等式组，由此可解得实数。的取值范围.【详解】由于函数y=/（x）是（Y，田）上的减函数，则函数y =V-奴+1在S，0）上为减函数，所以，对 称 轴 户 圻0,解得
12、a 2 0.且有3 a l,解得综上所述，实数。的取值范围是0 4 .故选：A.8.C【解析】利用函数单调性定义即可得到答案.【详解】对于任意两个不相等的实数玉，演，总有）-/（为）0 成立,X2 X等价于对于任意两个不相等的实数不 当，总有/（x,）0y=xx=；八的图象如图：-x,x 0所以函数y=x|x|=-八是奇函数且是增函数.-x*,x 4,解得：a 0,任意的百，三且为 马，/(X,)-f(x2)=f(x,-X,+X,)-f(x2)=/(x,-X2)f(x2)-f(x2)=f(x2)f(xt-x2)-l 因为 X1 W，则 占-1 ,/(x2)(),所以/(%)-/(*2)0,所以
13、/(x)在 R上是递减函数，正确；因为/(0)=l,/(X)在 R上是递减函数，所以当x l 时，F(x)l,正确；由 2)=；,结合得，,(；)=之=焉=4,错误.故答案为：.“x+0.1,x 0【解析】/、f x+0.1,x 0【详解】一 一.z ，/、x+0.1,x0,则对于任意的X W R都有/(x)/(x+l),函数/(X)在(7 0,0),(0,+0.1)=0,则函数1)在(-8,+8)上不是增函数,所 以 函 数 x)=x+0.1,x 0能够说明题中命题为假命题.故答案为：x)=x+0.1,x0 x-0.1,x 0.(答案不唯一)1 3.(答案不唯一)【解 析】由函数/(x)=/
14、-2“x+l在 区 间(-8,1)上单调递减可得“2 1 ,再利用充分条件、必要条件的定义即得.【详解】由函数/(x)=M-2办+1在 区 间(e,1)上单调递减可得a ,所以“函 数 x)=x2 _2 ar +l在 区 间(YO,1)上单调递减”的一个充分不必要条件为。1.故答案为：。1(答案不唯一)1 11 4.，+0 0 I【解析】f a 0根 据 题 意 可 知。，由此即可求出结果.-1+3 【详解】因为函 数f(x)=x x 在R上单调递减,-x+3 a,x 0-1 +3 a a解 得。同.故答案为：p+1 5.(YO,-6)“3,+O O)【解析】利用变换主元法将机看成自变量，将
15、看成参数即可求解.【详解】解：不 等 式x2-2mx+3加-6 0对 一 切m e -2 恒成立将，”看成自变量，将x看成参数，将不等式化为：(3-2 x)/n+x2-6 0 对一切 m e -2,“恒 成立=(3-2 x)m+x2-6即g (附 0对 一 切 小e -2 恒成立等价于馀？;即 X2+4X-1 2 0 x 2.x 3 0解得：3或xv-6所以实数X的取值范围是：xe(-o o,-6)u(3,-K )【点睛】关键点睛：当所给不等式或者等式有两个变量时，将已知变量看成自变量，所求变量看成参数，即变换主元法进行求解.【解析】先求出了(X),进而求出/(x+1)与2 x)的解析式，V,
16、x2|/n,/n +l,都有/(芭+1)/(2)，等价于T xe m,m+l,有x+1)1 n h i /(2幻皿,对加进行分类讨论，求出实数机的取值范围【详解】因为/(x-1)=x?+2x +2,令则 x=f+l所以/(f)=(r+i y +2(f+l)+2=/+4r+5,故=/+4x+5所以/(X+1)=(X+1)2+4(X+1)+5=X2+6X+10,/(2X)=4X2+8X+5令g(x)=%2+6x+1 0,/z(x)=4x2+8x +5Vx,x2etn,tn+,都有/(占+1)/(2)等价于等e m,m+1,有g(x)1 nm 人(幻鹏当 z n+1 4-3,即 m W Y时g(x)
17、与 h(x)在 x wm,m+Y 上单调递减，故 gU)ni i n=g(m+)=m2+8w+1 7,h(x)n m=h(ni)=4 m2+8 m+5所以加2+&+1 7 +8,“+5,解得：2 m 2结合加W V 得：m e 0m 4+8m+5,化简：4(2+10,解得加0结合Yvm K-3得：m w 0当 ，即一3 V m 4A?22+8/n+5,解得 m 结合一3 v4一2得：m w 0当加+加+1 .-1 32 一 ,即一2 -g(x)在光式机加+1 上单调递增，(x)在上单调递减，在x-1,祖+1 上单调递增，且对称轴更靠近x=m +,故g(x)mi n=g(，)=m2+67+1 0
18、,/z(x)1 raX =(切)=4+8机+5所以m 2+6,+1 04机2+8，+5,解得?“13 5 3结合-2机4-二求得：2 3 2当m +m +,-1 32,即一一 时m 4m 2+1 6 z +1 7,解得一 相 一 13 3结合 机W 1得：m -1时g(X)与(外在工 依,2 +1 上单调递增，故g(X)mi n=%(=/+6加+1 0,（X）max =%（m+1）=4（m +1）2+8（/%+1）+5=+1 6 m+1 7_7所以/%2+6机+1 04/+1 6 7+1 7,解得一根1结合相-1得：m G0综上所述：机故答案为：1 7.2V7,8#.v|2/7y 8【解析】利
19、用双勾函数的单调性可求得函数/(x)的值域.【详解】任取巧、9 口，近 且占 当，即1 4天9 4 4，则1 片超7,/（项）-/（%）=（否 +J%+工=-7（%F=）（中2-7）0,./(x1)/(x2),所以，函数/(X)在 1,仞 上 单 调 递 减，同理可证函数“X)在 近向上单调递增,所以，/(%,=/(=2 6，又 因 为/=8,4 6)=?,/(1)/(6),所以，=8,因此，函数x)的值域为 2,8.故答案为：2近,8.1 8.-3,+o o)【解析】根据对大 1,3,两 1,3,使得 f a )-g(动+12 0,由 /(x)-g(x)mi n+1 2 0求解.【详解】f
20、M =x+-2 j x-=4,当且仅当x =立即x=2时，等号成立，X X X所以函数/(X)的最小值为4,当晟4 1,即加4 2时，U)ni i=g(l)=2-/w,因 为 对 七41,3,五2以1,3,使得/(%)-g(w)+l“,所以 4-(2-加)+1 20,解得机2-3,此时-3 W m这2；当1音 3 ,即 2(根6时，g(x)mi n=8居 =1-*，因为对V%e l,3,%e l,3,使得/a)g(w)+l“，所以 4-11-7 +1 N 0,解得m e R,此时2用6；当最2 3,即加2 6时，=(3)=1 0-3/n,因 为 对 七e 1,3,办2 e J刃,使 得 力)-
21、g()+1 ,所以4一(1 0 3m)+1 20,解 得 此 时 机2 6；综上：实数机的取值范围是1-3,+8),故答案为：-3,+8)1 9 .(7,-1)和 ，|)【解析】先化简函数函数得/(X)=-X2+3|x|=-再画出函数的图像得到函数的单调递增区间.【详 解】由题意，函数/()=一/+3国=-x2+3x,x 0一x-3x,x 0作 出 函 数/(x)的图象如图所示:3 3由图象知，函 数 加 的 单 调 递 增 区 间 是S,9和(。,/故答案为:3-co,-2和(。，|20.3.【解 析】将 函 数y =2+x,y =x 2-3x +5的图像画在一个坐标系中，根据题干知取该图中
22、中靠上的部分就是/(x)=max x +2,x 2-3x +5的图像，在这个图像中找到最低点，最低点的纵坐标就是函数的最小值.【详 解】根据题意在一个坐标系中画出y =2+x,y =Y-3 x +5两个函数的图像，得到图像如上图,取其中靠上的部分，即 曲 线A C,线 段A 8,曲 线3 0这三部分所构成的分段函数,就 是/(x)=max x +2,r-3x +5的图像，再取这部分图像的最低点，由图知应该是点A,该点的纵坐标即函数的最小值.联立二：工+5 =、=0 =1或 3,由图知2，代入函数表达式得到“3,即函数的最小值为3.故答案为：3.2 1.3,+c o）【解析】由根式内部的代数式大
23、于等于0求出函数的定义域，再由函数的单调性求得答案.【详解】由 x-1 2 0,得x Nl,又y=I在 1,+8）上的增函数,y=3 x在 1,+0 0）上也是增函数，/（x）=3 x+在 1,+0 0）上是增函数，则/mi n=3，函数/（x）=3 x+J x-1 的值域为 3,+2 =/（2）,再根据单调性去掉/,解不等式即可.【详解】因为 2）=2,所以/（万 一2）2 =/（2）,因为函数/（x）在R上单调递增，所以x-2 2,可得x 4,所以满足/（犬-2）2的实数、的取值范围是（4,9）,故答案为：（4,+）.【解析】3?-1 由此求得。的取值范围.【详解】,.f（3 一l）x+4
24、 a,x 1 3 a-l 1 +-,(中2 )王，1 2 (。，”)且%2，1 I 八X X,0,中2,、(I 即(玉一工2)。1-0,I王)即/(%)/(%),即对任意的不，&e(0,+o)，当当时，都有/&):,可 得 卜;，p 0 r 0,n0,m O 0,y=Y在 0,+8)上单调递增，由/=%得*=。或 1,存在优美区间是 0,1 ,3-=m=3-(x 0)是增函数，若存在优美区间的，川，贝 I 7 ，无解，不合题意，不存在优美区间;x 43 =nL n(2)/(X)=(筋 +T=1 +!一在(F,0)和(0,+8)上都是增函数,a x a a x因此优美区间 m,m U (-0 0
25、.0)或m,川U (0,+O0),由题意所以x)=x 有两个同号的不等实根，f(n)=nf(x)=1 +J=x ,a2x2-(a2+a)x+=0 ,=(4 +Q)2-4a2 0 ,/(Q+3)(Q-1)0 ,v-3 或a l,xix2=0，%，/同号，满足题意,x1+x2=a +a a+1-=-(a+l f 4a2 a2因为。l,所以当一=：,即a =3 时，n-mW 2G函数g(x)=Y +a 在 R 上存在“优美区间”，设 见 得其一个优美区间,g(x)在(-oo,0)上递减，在(0,+)上递增,若 心 0,则g()=n,即8(X)=有两个不等的非负根,x2+a =x,x2 x +a =0
26、 A=l 4 a 0,a,4x,1 +x,-=1,则。20,所以O W a 0,a 一一,2+%=T -l,43所以-1工-：；4若m 0，则g(X)mi n=。，因此2 =。，所以 n2+a f 艮|J 0 一。时，cr+a=n,0 a2 4-a,-2 t z-l ,a2+a a H j ,n2+a=n f n2 n+a=0 A=l-4a 0,巧一正一负，取 正 根 为 =生 匠 诿，a0 ,1 4(2 (2 t z I)2,2 a 0,W f l 2 a ,综上，a的取值范围是-2，!).4【点睛】本题考查函数的新定义，解题关键是理解新定义，解题难点是新定义的应用，解题方法是利用新定义把问
27、题转化为一元二次方程根的分布，注意分类讨论的应用.对学生的逻辑思维能力运算求解能力要求较高，属于难题.2 6.(1)证明见解析(2)最 大 值 为3白7，最小值为5【解析】(1)设44%迎，计 算 再)-再)=(%-%)以占I。得到证明2x2(2)根据函数的单调性计算最值得到答案.(1)设;4王 0,x,x2 0 ,4xtx2-1 0,故/(刍)_/(司)0,即故函数/(x)在 区 间+8)上单调递增./(X)在区间 1,3 上单调递增，I F故 小)2=3)=1 2 +呆 会%,=/=4+1 =5.2 7.(l)/(x)=2 x+-X(2)证明见解析【解析】(1)结合已知条件利用待定系数法求
28、解即可；(2)首先设任意的毛，七(0，1)，且 然 后 利 用 作 差 法 比 较/(占)和/(多)大小，再结合函数单调性的定义即可证明.(1)/(l)=2 +/?+c =4由题意可知，,解得b =2,c=0,/=4 +/+c =52故函数人x)的解析式为：/(x)=2 x+-.X(2)设任意的X,马(。，1)，且百 占，2 2 1则/(X)/(%)=2%+-(2X2+)=2(%-/X I-),%x2 XxX2因为巧，Xj 6(0,1),且王%，所以王一工2 1，即1 一 L 0,即/(不)/()，故函数/U)在区间(0，1)上是减函数.2 8.(1)/(X)=(X+1)2+2(2)(-O O
29、,-6 U 0,-H X)；0,-4【解析】(1)依题意设f(x)=a(x+l)2 +2,(0),再根据/(0)=3,代入求出a,即可求出函数解析式；(2)首先求出g(x)的解析式，求出函数的对称轴，函数在区间单调，则对称轴不在区间内，即可得到不等式，解得即可；根据对称轴与区间的位置分类讨论，求出函数的最小值，即可得到(附的解析式，再分类讨论计算可得；(1)解：依题意设f(x)=a(x+l)2+2,(a 0),又/(0)=3,所以 O)=a(O +i y+2 =3,解得 a =l,所以/(x)=(x+i y +2 ；解：因为或*)j/。!：!,-1,2 ,所以8(犬)=/+(2+帆)+2,6|
30、-1,2 ,对称轴为=,开口向上，所以 一 管 4一 1 或 一 竽 22,解得，心 0 或加4-6,即加e(-o o,-6 U 0,E);因为g(x)=x2+(2+?)x+2,xe -l,2 ,对称轴为=-笞，开口向上，当 一 笞 4-1，即机对时g(x)谓=g(T)=l-“；当 _ 1_212,即 6?0 时 g G).=g(_)=4-4：-？；当-等 22,即收-6 时 8(力*0=8(2)=2 切+1 0；2m+1 0,AM -6“一，/、4-4m-tn1 八所以(n z)=-,-6 m 0所以hin)的图象如下所示：解得机=Y 或6=0即(m)=1 的解集为 0,-4 2 9.女=2
31、1,%0(2)X G(-0 0,-1 U o,+0 0),机=0；(2)m =F(k)=(f c-1)2,0 Z:【解析】(1)根据题意得到不等式公+(2-2h 20,计算A =(2 犷 K 0 得至I J 答案.(2)解不等式得到3=0+D 十:小 0 0),画出函数图像，根据图像得到最值.X +1,X(-1,O)解不等式x(x+2-Z)Z 0,讨论A 2 三种情况，根据二次函数性质计算最值得到答案.(1)对任意x e R,都有/(x)2 g(x)恒成立，即(x+l)2 2丘+1,即+(2-k)转 0,=(2-m 40,即4 =2.(2)若=1,f(x)g(x),即(x+1 尸 W x+l,
32、解得 x e(e,l U O,+).(x+l)2,xe(-0 0,-1 1 u 0,4-o o)故 心)=、小，画出函数图像，根据图像知m=0./(x)g(x),即(x+l)2 之 +1,x(x+2-)0,当左 )L 7(左 一 2,0)当0 4 左 1 时，机=住一2)=仕一2 +1)2=(4-1)2；当 1 女 2 时，/n =/z(-l)=0；k,?=秋-1)=0；当%2 时，xe(-o o,0 u A:-2,+o o),h(x)=(X+1)2,X6(-OO,0UA:-2,+OO)fcc+l,x(0,fc-2)/n =/j(1)=0 ；综上所述：m=F(k)=-(k-,0 k3 0.(1
33、)-2；(2)详见解析【解析】(1)/(x)=-x2+x,首先判断函数在定义域上的单调性，再判断函数的最小值；(2)当。=0 时，f(x)=x,单调递增求函数的最大值，当-2 4。0 时，分情况讨论函数的对称轴和定义域的关系，求函数的最大值.【详解】(1 )当 4 =一1 时，/(X)=-X?+X =-(x-g)+；.所以“X)在区间/上单调递增，在 修2)上.f (x)单调递减.因为/=0，/=一2,所以.“X)的最小值为-2.(2)当a =0时，f(x)=x.所以/(x)在区间 0,2 上单调递增,所以/(x)的最大值为f(2)=2.当-2 4 a 0时，函数/(力=依2+图象的对称轴方程是x=-14a当0 C-J-&2,即时,2a 4当。0时，“可在区间 0,2 上单调递增,所以“X)的最大值为2)=4 a +2.综上，当-2 4.4-；时，/(x)的最大值为了14a当时，“X)的最大值为4 a+2.【点睛】本题考查二次函数求最值，意在考查分类讨论的思想和计算能力，属于基础题型.