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1、20212022学年江苏省无锡市市北高级中学高三（上）期初数学试卷一、单 选 题（本大题共8小题，共40.0分）1.设集合4=C N|2 c x 6,B =x|lo g 2（x-1）2 ,则4 n8=（）A.x|3 x 5 B.x2 x 0,3 0,切 今的图象与x 轴交于点A,A7 1A 一1B./(x)的最小正周期为4C.f(x)一个单调增区间为(|,D.f(x)图象的一个对称中心为(一|,0)11.已知2=3,3y=4,贝 i j()A.%y D.x+y 2-/212.我们把所有棱长都相等的正棱柱(锥)叫“等长正棱柱(锥)”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱(锥)”的棱
2、长都为1,则下列说法中正确的有()A.正方体的棱切球的半径为近B.正四面体的棱切球的表面积为:C.等长正六棱柱的棱切球的体积为等D.等长正四棱锥的棱切球被棱锥5 个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为:三、单空题(本大题共4 小题，共 20.0分)13.已知球。与棱长为4 的正四面体的各棱相切，则球。的体积为14.化简：烹。SE8。第 2 页，共 18页15.若函数/0)=&(%-1)3+告+%-1存在4(7 16旷)个零点，则所有这些零点的和等于.16.二进制是广泛采用的一种数制，我国古老的易经中就有二进制的思想.二进制数据是用0 和 1两个数码来表示的数.它的基数为2,进位规则是“逢二进一
3、”，借位规则 是“借一当二”.例如二进制数1011表示十进制数1 x 23+0 x 22+1 x 2】+1=1 1,现有五个二进制数101,1100,11001,10111,111111,其中十进制为偶数的是:从中随机选取两个数，它们的和不大于35(十进制)的概率为四、解答题(本大题共6 小题，共 7 2.0分)17 .在c(cos 4+sinA)=b,csinB +bcosC=近b,(3)sinB +tanC cosB =y/2sinA这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.4 B C 的内角A、B、C所对应的边分别为a”,c,已知,c=五，cosB =：.(1)求 cos A 的
4、值；(2)求4B C 的面积.18 .设等差数列 为 的前n项和为无，己知S 3=2a3,S4=2a4+4.(1)求数列 斯 的通项公式；(2)令b=就，设数列 与 的 前 项 和 为%，求证：Tn2.1 9.某食品店为了 了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5 天的日销售量y(单位：千克)与该地当日最低气温%(单位：C)的数据，如下表:X25891 1y1210887(1)求出y 与 x 的回归方程夕=b x+a；(2)判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6。，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；(3)设该地1月份的日最低气温XN(R2),其中近似为
5、样本平均数，M 近似为样本方差s 2,求P(3.8 X 13.4).附：回归方程夕=8%+a 中，8=空 式 学),g _年*-n(x)z 同 X 3.2,732 X 1.8.若 X N W 2),则 P(-a x n +a)=0.6826,P(-2 a X 6 0),四点 1(“净/2(0,夜),3(1，日)/4(1，一日)中恰有三点在椭圆C上.(1)求椭圆c 的方程：(2)已知直线丫=k x+2 与椭圆C有两个不同的交点4,B,。为x 轴上一点，是否存在实数匕使得 A B D 是以Z)为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 值及点。的坐标；若不存在，请说明理由.2 2.已知函数/(X)=
6、e2x-(a+2)ex 4-ax(a 0),其中e 2.7 1 8 2 8 是自然对数的底数.(1)求函数“X)的单调区间；(2)设g(x)=f(x)+(a+2)ex-ax(l+x)在(0,+8)上存在极大值 M,证明：M J.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了对数函数的定义域和单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题.可求出集合A,B,然后进行交集的运算即可.【解答】解：4=3,4,5),B=x|0 x-1 4=x|l x 1,-1 cosx 0,排除 A,故选：C.根据题意，先分析函数的奇偶性，排除B。，再分析区间(e,+8)上，f(x)的符号，排除A,即可得答案.
7、本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性、函数值的分析，属于基础题.5 .【答案】C【解析】解：由题意可得a=3,匕=V7,c =也故nF2=2 V2,AFr+A F2=6,AF2=6-A F1,：AF1=AF1+后成-2 4&F 2 c o s 45 =AF-440+8,(6 -A FI)2=AF1-4 A F+8,AFr=故三角形A&F?的面积 S=|x|x2V 2Xy=72,求出F 1F 2 的长度，由椭圆的定义可得A F 2 =6-4 FI，由余弦定理求得4&%从而求得三角形4 居 尸 2 的面积.本题考查椭圆的定义、标准方程，简单性质，以及余弦定理的应用，求出4F 的值，是解题的关键
8、.6 .【答案】B【解析】解：由已知可得乜=0 9 5 K，解得e-2 3(t-5 2)=2，1+e 0 4，19两边取对数有-0.2 3 -5 2)=-lnl9 -3,解得t 6 5,故 选:B.由 已 知 可 得 方 程 =0.9 5 K,解出t即可.本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，是基础题.7.【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题.设(，B n分别为公比为q的等比数列 即，公比为f的等比数列 bn的前项和，q羊1,t *1,分别令n =1,2,3得出即,6 12，。3，瓦，8 2，匕3之间的关系，求出公比q，即可求出
9、母的值.【解答】解:设4 n，Bn分别为公比为4的等比数列 即，公比为r的等比数列 4 的前项和，q*1.t*1,如=_B 2+1二 令n =1可得口=六=,即瓦=3的；令n=2可得言:=即Z 2=5 al +5a2 一瓦=2 al +5a2;令n =3可得=3,即劣=9(%+a2+a3)-b1-b2=4al +4a2+9 a3；由状=瓦坛可得(2%4-5 a2/=3 a1(4%+4 a2+9a3),由a?=化简得境4。逆2+4a；=(a2 2 aj =0,即a2 =2 a1；所以q=资=2,所以 b i =3 a1,b2=12alfb3=48%,所 以 詈=4,.幺=业=工.上=2b3 br
10、t2 3 42 3 故选c.8.【答案】D【解析】解：由题意知力B i =A Dr=V22+22=2 V2.如图，在平面4/i G D i内任取一点P,使4/=2,则A P=房+41P2=2 V L故以A为球心，2声 为半径的球面与平面4 B 1 C 1 5的交线是以必为圆心，以2为半径的圆弧B J D 1，故该交线长为X2=7T.第8页，共18页故选：D.根据题意求出交线所在圆弧的圆心和半径，进而求解结论.本题为空间几何体交线问题，找到球面与正方体的表面相交所得到的曲线是解决问题的关键，属基础题.9.【答案】A C【解析】解：(2 +x 的通项公式般+=C 24kxk,则源 的项为1 x废x
11、 2x3+x2 盘x 23X=4 0 x3,则炉的系数为4 0,故A正确,8错误，常数项为l x 2 4 =1 6,故C正确，。错误，故选：AC.求出二项式的通项公式，根据多项式乘积的性质进行求解即可.本题主要考查二项式定理的应用，根据多项式乘积的性质是解决本题的关键，是基础题.1 0.【答案】B C D【解析】解：因为图象的一个最高点。(土|),所以4=|,因为|0 8|=7|0*,所以|A B|=6|O*，所以g=空+|0*=4|0川=%所以|0 4|=%AB=2,所以7 =4,所以f(x)的最小正周期为4,故B正确；由周期公式7 =生，可得30)Z将点。令代入 f(x)=|s i n(j
12、 x +w)中，可得声 吗*+0)=|,即s in(,+w)=L结合网 8,32 2 3,故2Zog23 1。如2 3,即210g23 3,X I，所以选项A 错误，xy=log23-2log32=2,所以选项 3 正确，3 4 4log2-log2-log33 41+log2-1+log3BPlog23 log34,所以选项C正确，由于B 正确，所以x+y 2，石=2鱼，所以选项。正确.故选：BCD.先把已知的指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解.本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题.12.【答案】BCD【解析】第 10页，共 18页【分析】本题考查命题的
13、真假判断与应用，考查多面体棱切球表面积与体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是较难题.由棱切球的定义，分别求出选项ABC中棱切球的半径，再求表面积与体积判断；对于D,求出等长正四棱锥的底面与四个侧面内切圆的面积判断.【解答】解：正方体的棱切球的半径为正方体面对角线的一半，长 度 峙 故 A 错误;如图，四面体A8C。为棱长为1的正四面体,取 AO中点E,3 c 中点尸，连接E F,则 EF为其棱切球的直径，BE=CE 裳,则EF=J(?)2.(今2=则其棱切球的半径为争棱切球的表面积为47rx)2=全 故 B 正确；如图，为等长正六棱柱,其棱切球的半径为棱锥的棱长1,则其棱切球的体积为
14、三x 13=葭，故 C正确;由棱切球的定义可知，棱切球被每一个面所截，截面为该面的内切圆,则等长正四棱锥的底面内切圆的面积为兀x(|)2=%每一个侧面正三角形的内切圆的半径，满足三r=三 x 1 x 1 x 在，则=在，2 2 2 6四个侧面三角形的内切圆的面积为4 x7 rx(?)2则等长正四棱锥的棱切球被棱锥5 个面(侧面和底面)截得的截面面积之和为;+g=工,故。正确.故选：B C D.13.【答案】这兀3【解析】解：将正四面体A8C。补成正方体，则正四面/体A B C D的棱为正方体的面上对角线.A/正四面体ABC。的棱长为4,二 乂 /二正方体的棱长为2应，/岔、d 球O与正四面体的
15、各棱都相切，/球。的直径为正方体的棱长2VL B则球。的体积了=兀/?3=随 小33故答案为：随兀.3将正四面体ABC。补成正方体，则正四面体ABCQ的棱为正方体的面上对角线，根据球。与正四面体的各棱都相切，可得球0的直径为正方体的棱长,再由球的体积公式求解.本题考查球的体积的计算，考查空间想象能力与思维能力，训练了分割补形法，属于中档题.14.【答案】4【解析 1解：由cos80 sin80sin80-V?cos80 _ 2sm(80。-60。)sin800cos8Q=sinl60。4sin20sin(180o-20o)故答案为4.通分，根据二倍角公式，利用两角和与差的公式求解即可.本题主要
16、考察了二倍角公式，两角和与差的公式的应用，属于基本知识的考查.15.【答案】2【解析】【分析】本题考查函数零点的判定，考查函数奇偶性的性质及应用，考查运算求解能力，是中档题.第1 2页，共1 8页判断函数g(x)=ax3+-+x为奇函数，而f(x)=a(x-I)3+-+x-1是把函数g(x)X x 1向右平移1个单位得到的，再由对称性求解“X)的所有零点的和.【解答】解：函数g(x)=a/+g +x的定义域为x|x力0 ,且满足 g(-x)=a(-x)3+5+(-x)=-(a x3+g +x)=-g(.x),可得函数g(x)为奇函数，奇函数的图象关于原点中心对称，若函数有零点，则必有偶数个零点
17、，而/(%)=。-1)3 +*-1是把函数9()向右平移1个单位得到的，又/(X)存在4(4 e N*)个零点，则4为偶数，且以这4个零点为横坐标的点两两关于点(1,0)对称.所有这些零点的和等于g x 2 =九故答案为：A.1 6.【答案】l i ooj【解析】解：根据条件中对二进制的定义，分别对5个二进制数转换为十进制的数，1 0 1(2)=1X22+0X21+1 =5,1 1 0 0(2)=1 x 23+1 x 22+0 x 2 +0 =1 2,同理可得 1 1 0 0 1(2)=2 5,1 0 1 1 1 =2 3,1 1 1 1 1 1 =6 3,即十进制为偶数的是1 1 0 0,从
18、5个数中，随机选取两个，总共有量=1 0,其中随机选取两个数，它们的和不大于3 5的共有4种情况,分别为：5和1 2,5和2 5,5和2 3,1 2和2 3,则所求的概率为P=|,故答案为：1 1 0 0,|.根据条件中对二进制的定义，分别对5个二进制数转换为十进制的数，即可求解，先求出从5个数中，随机选取两个的总数，再求出满足条件的个数，即可求解.本颗主要考查二进制的转换，以及古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于基础题.17.【答案】解：若选：ccosA 4-sinA)=b,由正弦定理得 si?iCcos4+sinCsinA=sinB,v sinB=sin(A+C),sinCcosA
19、+sinCsinA=sinAcosC+cosAsinC,sinCsinA=sinAcosC,:sinA H 0,二 sinC=cosC,A tanC=1,v C G C=%3 4(1)v cosB=B e(0,7r),sinB=A cosA =-cos/(un+i k C、)=si-n Bn sin Cn -cosBn cosC =-4 x-厄-3-x 叵=厄k J 5 2 5 2 10(2)v A 6.sinA=午，由正弦定理得高sinCc sinA _ 772sinC 5c1.c 1 7V2/7T 4 28 SfBc=2 acsmB=-x x V2 x-=.若选：csinB+bcosC=V
20、2Z?,由正弦定理得 sinCs 出 B+sinBcosC=j2sinB,e,sin B。0,sinC+cosC=V2,-*V2sin(C+个)=或，即sin(C+)=1,v C e(0,T T),C=%下面步骤同.若选 ：sinB+tanCcosB=V2sinA,则sinBcosC+sinCcosB=V2sinAcosC,:，sin(B+C)=y2sinAcosC sinA=y/2sinAcosC,v sinA H 0,.cosC=,C E(0,)，C=f,2 4下面步骤同.【解析】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，熟练运用正弦定理、三角形面积公式与两角和差公式是解题的关键，考查学生的逻
21、辑推理能力和运算能力，属于中档题.选择条件，都求出C=1，再cos4=-cos(B+C)可求出cosA,(2)由正弦定理求出小 再利用三角形的面积公式即可求解.第14页，共18页18.【答案】解：设等差数列 加 的公差为d,由题设可得:3%+丝 d=2(%+2d)24al H-d=2(i+3d)+4 2，解得：%=d2,an=2+2(n 1)=2n；(2)由(1)可得：Sn=n(22n)=n2+n,.b=+2 =2(n+2)=?乂 r_ _I_ 1n 2nSn 2n(n2+n)Ln-2n _ 1(n+l)-2n J，_ 1 1 11 1 1 Tn=2(1 x 2。-2 X 21)+(2 x 2
22、1-3 X 22)+271T -(n+1)2洲=2 口-小 2.【解析】(1)设等差数列 斯 的公差为“，由题设列出d 与句的方程组，解得d 与内,即可求得其通项公式；(2)先由(1)求得上与%,再利用裂项相消法求得，即可证明结论.本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法在数列求和及不等式证明中的应用，属于中档题.19.【答案】解：(l)x=|x(2+5+8+9+11)=7,y=|x(12+10+8+8+7)=9.乙(一5)(%亍)=4 +25+64+81+121=295,之1%=24+50+64+72+77=287,7 287-5X7X9 八一：b=-=-0.56,295-5x72a=9
23、-(-0.56)x 7=12.92.回归方程为：y=-0.56x4-12.92.(2)b=-0,56 0,y与 x 之间是负相关.当 =6时，y=-0.56 X 6+12.92=9.56.二 该店当日的营业额约为9.56千元.(3)样本方差s2=1x 25+4+1+4+16=10,二最低气温XN(7,10),P(3.8 X 10.2)=0.6826,P(0,6 X 13.4)=0.9544,P(10.2 X 13.4)=1(0.9544-0.6826)=0.1359.P(3.8 X 13.4)=P(3.8 X 10.2)+P(10.2 X 13.4)=0.6826+0.1359=0.8185.
24、【解析】(1)利用回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；(2)根据公的符号判断，把x=6代入回归方程计算预测值；(3)求出样本的方差，根据正态分布知识得P(3.8 X 13.4)=P(3.8 X 10.2)+P(10.2 X 13.4).本题考查了回归直线方程和正态曲线及其性质，属于中档题.20.【答案】解：(1)由题意，可设甲方案检测的次数是X,则X e l,2,3,4,5,设乙方案检测的次数是匕则丫 2,3,方案甲与方案乙相互独立，P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=；,P(X=5)=I，P(y=2)=品+品制，P(Y=3)=1-P(Y=2)=I，用事件。表示方案甲所
25、需检测的次数等于方案乙所需检测的次数，则 P(D)=P(X=2)P(Y=2)4-P(X=3)P(Y=3)=ix i+i x-=i,6 3 6 3 6所以这两种方案检测次数相同的概率为3O(2)由(1)可知，P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=；,P(X=5)=:，63所以 E(X)=1 X F 2 x F 3 X F 4 X F 5 X =一,6 6 6 6 3 3又 p(y=2)=p(y=3)=g,所以 E(Y)=2 x/3 x|=|,所以E(Y)0,T+T=1k 在或k 0),则/(X)=2 e2 x (a +2)ex+a=(2ex a)(ex 1).当a =2 时，f
26、(x)=2(ex-l)20,f(x)单调递增，当a 2时，令(x)0,解得：%比 1或 工 0,令(x)0,解得：0 x l n|,故/在(一8,0)递增，在(0,呜)递减，在(呜,+8)递增，当。a 0,解得：%0或x Inp 令(x)0,解得：ln|x 2时，在(一8,0)递增，在(0,In递减，在(ln+8)递增，当a=2时，/(x)在R上单调递增，0 a 0,m Q)在(0,+8)递增，此时m(x)m(0)=0,故g(%)0,函数g(%)在(0,+8)上单调递增，此时不存在极大值，当Q 2时，令？n(%)0,解得：x|ln p 令?n(%)0,解得：x|ln p故g Q)在(0,呜)上
27、单调递减，在(汐|,+8)上单调递增，g(x)在(0,+8)上存在极大值，故g，G ln)=Q -2e,g(0)=2 0,gG)=2e a 0,|5 n l 0,存在X e(0 9,g i)=292%I-2Q%I=0,存在2 (1呜,bm),使得 g(%2)=o,故g(x)在(0/i)上单调递增，在(%i，%2)上单调递减，故当x=%i时，函数g(x)取得极大值M,即河二，%1-0好，0 由2e2*i 2axi=0,e2X1=ax故M=e2x,axf=a(%1|)2+.【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题.(1)求出函数的导数，通过讨论。的范围，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的极大值M,证明结论成立即可.第18页，共18页