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1、2021-2022学年吉林省长春北师大附属学校九年级（上）期末数学试卷一.选 择 题（每小题3 分，共 24分）1.（3 分）下列关于x 的函数一定为二次函数的是（）A.y=2x+l B.y=cv?+bx+c C.y=Sx2-3 D.y=/+x+l2.（3 分）己知2x=3y（y 0）,则下面结论成立的是（）x 3 x 2 x 2 x yA 一 =-B 一 =-C.=-D 一=一y 2 3 y y 3 2 33.（3 分）下列事件是随机事件的是（）A.长为3九，5cmf 的三条线段能围成一个三角形B.太阳从东边升起C.平面内两直线相交，对顶角相等D.明天会下雨4.（3 分）下列函数图象中，当x
2、 0 时，y 随 x 的增大而减小的是（）A.y=B.y=x C.y=/D.y=-（x+1）25.（3 分）不解方程，判别方程，-3x+2=0的根的情况是（）A.有两个不等实根 B.有两个相等实根C.没有实根 D.无法确定6.（3 分）如图，A 3 为。的直径，点 C、。是麻的三等分点，NAOE=60,则NBOQC.80 D.1207.（3 分）大约在两千四五百年前，如 图 1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实 验.并 在 墨经中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如 图 2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm,像距为15c7”,蜡烛火焰倒立的像的高度是9c%,则
3、蜡烛火焰的高度是（）图1图2A.6cm B.8cm C.Ocm D.12ctn8.（3分）如图，0M的半径为2,圆心的坐标为（3,4）,点尸是0M上的任意一点，PAA.PB,旦 以、尸 8与 x 轴分别交于4、B 两 点,若点A、点 B关于原点。对称，贝 U A 8二.填 空 题（每小题3 分，共 1 8 分）9.（3分）若二次根式/口在实数范围内有意义，则x的取值范围是1 0.（3分）计 算 叵 炉 的 结 果 是 _ _ _ _ _ _.V 51 1.（3分）抛物线y=2 （x+5）2-3 的顶点坐标为.1 2.（3 分）如图，A 8 是。的直径，ZBAD=10 ,则NC=.1 3.（3分
4、）如图，网格中的小正方形边长都是1,则以。为圆心，04为半径的程和弦A 8所 围 成 的 弓 形 面 积 等 于.1 4.（3分）二次函数y=2 （x f）2+k（力、k均为常数）的图象经过A （-2,川）、B （0,”）、C（2 1 ”）三点，若 则 的 取 值 范 围 是三.解答题1 5.（6 分）计算：（一 1 2 s b i 4 5-（n 一 2）+t c m 60.1 6.（6 分）不透明的袋中有3个大小相同的小球，其中2个为白色，1 个为红色，请用画树状 图（或列表）的方法，求一次摸出两个球“都是白球”的概率.1 7.（6分）某市尊师重教，市委、市政府非常重视教育，将教育纳入质量强
5、市考核，近几年全市公共预算教育支出逐年增长.己知2 0 1 9 年教育支出约8 0 亿元，2 0 2 1 年教育支出约为9 6.8 亿元，求 2 0 1 9 年到2 0 2 1 年教育支出的年平均增长率.1 8.（7分）如图，二次 函 数 的 图 象 顶 点 坐 标 为（-1,-2）,且 过（1,0）.（1）求该二次函数解析式；（2）当-3 W x =3 0 ,则皿的长为.2 1.（8 分）A市计划对本市2 1 5 万人接种新冠疫苗，在前期完成5万人接种后，又花了 1 0 0天时间接种了剩下的2 1 0 万 人.在 这 1 0 0 天中，该市的接种时间和接种人数的关系如图所示.（1）前 4 0
6、 天中，每天接种的人数为 万人.（2）这 1 0 0 天中，8市的接种人数y（万人）与接种天数x（天）的关系为y =+急，请通过计算判断，第 4 0 天接种完成后，B市的接种人数是否超过A市？直接写出第几天接种完成后，A,B两市接种人数恰好相同？22.（9分）【教材呈现】下图是华师版九年级下册数学教材第43页的部分内容.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.由圆周角定理，可以得到以下推论：9 0 的圆周角所对的弦是直径.（如图）【推论证明】已知：ABC的三个顶点都在。上，且NAC8=90.求证：线段A B是 的 直 径.
7、请你结合图写出推论的证明过程.【深入探究】如图，点A,B,C,。均在半径为1的。上，若/ACB=90,ZACD=60.则 线 段 的 长 为 .【拓展应用】如图，已知 A8C是等边三角形，以A C为底边在三角形A B C外作等腰直角三角形ACZ）,点E是B C的中点，连结。E.若A B=2 a,则。E的长为.23.（10分）如图，在 A 8 C中，AB=6,AC=BC=5,C O L A B于点D,点尸从点4出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线AC-向终点2运动，当点P不与A,8,C重合时，过点P作尸交A B于 点Q,过点使得P M=2 P Q,点M、点。在P Q的同侧，连结MQ,设点P的运动
8、时间为/（s）.（1）线段 CO=.（2）当点P在线段B C上时，PC=.（用含r的代数式表示）（3）当点M落在B C。的内部时，求f的取值范围；（4）连结CM,当为锐角三角形时，直接写出f的取值范围.2 4.（1 2分）已知抛物线2 a+2 （/为常数，且z n W O）.（1）抛物线的对称轴为.（2）当此函数经过（3,3）时，求此函数的表达式，并直接写出函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围.（3）当时，y有最小值-3,求y的最大值.（4）设直线x=-1分别与抛物线交于点M、与x轴交于点N,当点M、N不重合时，过M作y轴的垂线与此函数图象的另一个交点为M.若M M =3 M N,直接写出
9、m的值.2021-2022学年吉林省长春北师大附属学校九年级（上）期末数学试卷参 考 答 案 与 试 题 解 析选 择 题（每小题3 分，共 24分）1.（3 分）下列关于x 的函数一定为二次函数的是（）A.y=2x+B.y=ax1+bx+c C.y=-3 D.y=jc3+x+l【解答】解：A.是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B.当。=0 时，不是二次函数，故本选项不符合题意；C.是二次函数，故本选项符合题意；D.是三次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：C.2.（3 分）已知2x=3y（y 0）,则下面结论成立的是（）x 3 x 2 x 2 x yA.=-B.-二 -
10、C.-=-D.-=一y 2 3 y y 3 2 3【解答】解：V2x=3y,.x 3 x y =）=.y 2 3 2故选：A.3.（3 分）下列事件是随机事件的是（）A.长为3CTC,5cm,9c机的三条线段能围成一个三角形B.太阳从东边升起C.平面内两直线相交，对顶角相等D.明天会下雨【解答】解：4、长 为 3c,5cm,9c巾的三条线段能围成一个三角形，是不可能事件，不符合题意；8、太阳从东边升起，是必然事件，不符合题意；C、平面内两直线相交，对顶角相等，是必然事件，不符合题意；。、明天会下雨，是随机事件，符合题意：故选：D.4.（3 分）下列函数图象中，当x 0 时，y 随 x 的增大而
11、减小的是（）A.=一；B.yx C.D.y=-（x+1）2【解答】解：A、&0,随着x 的增大而增大；C、.对称 轴 x=0,当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大；而在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减小.D.y=-（x+1）2,对称轴为x=-l,a -1,y 随着x 的增大而减小，所以x 0 时，y 随 x 的增大而减小.故选：D.5.（3 分）不解方程，判别方程7-3 x+2=0 的根的情况是（）A.有两个不等实根 B.有两个相等实根C.没有实根 D.无法确定【解答】解：。=1,b=-3,c=2,V A=/?2-4ac=（-3）2-4 X lX 2=l 0,方 程/-3x+2=0有
12、两个不相等的实数根.故选：A.6.（3 分）如图，AB为。O 的直径，点 C、。是配的三等分点，ZAO=60,贝吐8。的度数为（）A.40 B.60 C.80【解答】解：./AOE=60,NBOE=180-ZAOE=120,品的度数是120,.点C、。是麻的三等分点，2面的度数是xl20=80,D.120：.ZBOD=SOQ,故选：c.7.（3 分）大约在两千四五百年前，如 图 1 墨子和他的学生做了世界上第1 个小孔成倒像的实 验.并 在 墨经中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如 图 2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm,像距为15c7”,蜡烛火焰倒立的像的高度是9
13、cm,则蜡烛火焰的高度是（）图1图2A.6cm B.8cm C.IOC V M D.12cm【解答】解：设蜡烛火焰的高度是xcm,in x由相似三角形对应高的比等于相似比得到：15 9解得x=6.即蜡烛火焰的高度是6加.故选：A.8.（3 分）如图，O M 的半径为2,圆心M 的坐标为（3,4）,点 P 是O M 上的任意一点，P A L P B,且 以、PB与 x 轴分别交于A、B 两 点,若点A、点 5 关于原点。对称，则 A3A.3 B.4 C.6 D.8【解答】解：A ZAPB=90,AO=BO,：.AB=2PO,若要使A B取得最小值，则P 0需取得最小值，连接0 M，交。M于点P,
14、当点P位于P 位置时，0 P 取得最小值,过点M作M Q L x轴于点Q,则 0 Q=3、MQ=4,；.0 M=5,又：MP=2,A OP=3,：.AB=20P=6,故选：C.二.填 空 题（每小题3分，共18分）9.（3分）若二次根式仍在实数范围内有意义，则x的取值范围是【解答】解：.式子QT在实数范围内有意义，.X-10,解得X2 l.故答案为：1 0.（3分）计 算 组”的结果是 3 .V 5【解答】解：原式=乎 变=3,故答案为：3.1 1.（3分）抛物线y=2 （x+5）2-3的顶点坐标为（-5,-3）.【解答】解：.抛物线y=2（x+5）2-3,二顶点坐标为：（-5,-3）.故答案
15、为：（-5,-3）.1 2.（3 分）如图，A 8 是。的直径，ZBAD=10,则N C=2 0【解答】解：连接8D.：AB是直径,A ZADB=90,ZABD=90-/&4。=90-70=20,：.ZC=ZABD=20,故答案为：20。.13.(3 分)如 图，网格中的小正方形边长都是1,则以。为圆心，OA为半径的通和弦AB所围成的弓形面积等于 2n-4 .【解答】解：由题意得，OA=OB=2&,NAO8=90,S 弓 形=S 晶 形OAB-SAOB=9嚅-1 x2X4=2n-4,ooU Z故答案为：2TT-4.14.(3 分)二次函数y=2(x-h)2+k Ch,k 均为常 数)的图象经过
16、A(-2,y),B(0,”)、C(2,”)三点，若 则 的 取 值 范 围 是 -WO.【解答】解：如图，:抛物线开口向上，-2 0 2,y2yy3,.抛物线对称轴直线=人在点A,C 之间，即-2h3yi：.2-hh-(-2),解得h0-/z,解得h -,：.-l/?0.故答案为：-i/3.16.(6分)不透明的袋中有3个大小相同的小球，其中2个为白色，1个为红色，请用画树状图(或列表)的方法，求一次摸出两个球“都是白球”的概率.【解答】解：根据题意画图如下：共有6种等可能的情况数，其中一次摸出两个球“都是白球”的有2种,则一次摸出两个球“都是白球”的概率是:=6 31 7.（6分）某市尊师重
17、教，市委、市政府非常重视教育，将教育纳入质量强市考核，近几年全市公共预算教育支出逐年增长.已知2 0 1 9 年教育支出约8 0 亿元，2 0 2 1 年教育支出约为9 6.8 亿元，求 2 0 1 9 年到2 0 2 1 年教育支出的年平均增长率.【解答】解：设 2 0 1 9 年到2 0 2 1 年教育支出的年平均增长率为x,依题意得:8 0 （1+x）2=9 6.8,解得：x i=0.1 =1 0%,X 2=-2.1 （不合题意，舍去）.答：2 0 1 9 年到2 0 2 1 年教育支出的年平均增长率为1 0%.1 8.（7分）如图，二次函数y 二苏+历什 的图象顶点坐标为（-1,-2）
18、,且 过（1,0）.（1）求该二次函数解析式；（2）当-3 W x 3 时，则函数值v 的取值范围是-2 W y V 6 .【解答】解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y=”（x+1）2-2,x=l 时，ya（1 +1）2-20,解得：a=故抛物线的表达式为：y=|（x+l）2-2；（2）当 x=-1 时，y=-2,当 x3 时，y6,.当-3 W x V 3 时，函数值y的取值范围是-2 W y V 6,故答案为：-2 W y 6.1 9.（7分）为了强身健体，更好的学习和生活，某学校初二年级6 0 0 名同学积极跑步，体育陈老师为整个年级同学进行了跑步测试.为了解同学整体跑步能力，从中抽取部
19、分同学的成绩（得分取正整数，满分为1 0 0 分）进行统计分析，得到如下所示的频数分布表：分数段 5 0.5 -6 0.5 6 0.5 -7 0.5 7 0.5 -8 0.5 8 0.5 -9 0.5 9 0.5 -1 0 0.5频数1 8305 02 2所占百分比9%1 5%2 5%C请根据尚未完成的表格，解答下列问题：（1）本次抽样调查的样本容量为 2 0 0 ,表中c=1 1%；（2）补全如图所示的频数分布直方图；（3）若成绩小于或者等于7 0 分的同学的跑步能力需加强锻炼和提高，估计该校八年级同学中需要加强锻炼和提高的有 144人.频数分布直方图故答案为：2 0 0,1 1%；（2）2
20、 0 0-1 8 -3 0 -5 0-2 2=8 0 （人）补全频数分布直方图如下：球分布直方图故答案为：1 4 4.2 0.（7分）如图，在 Rt Z X AB C中，点 O 在斜边A B上，以。为圆心，08为半径作圆，分别与B C,A 8相交于点D,E,连接A D.己知N C A O=N B.(1)求证：是O O 的切线.-4(2)若 0 8=2,ZCAD=30,则皿的长为”.【解答】(1)证明：如图所示：连接0。,OB=OD,N 3=N 3,*/Z B=Z 1,A Z1=Z3,在 RtZXACD 中，Nl+N2=90，N2+N3=90,A Z4=180-(Z 2+Z 3)=90,：.OD
21、AD,则 AO为圆。的切线；(2)解：由(1)得：Z3=ZCAD=30,N 3=N 8,A ZBOD=180-30-30=120,08=2,on _ 1 2 TTX2 _ 4-BD-1 8 0-3 a4故答案为：7T.2 1.(8 分)A 市计划对本市215万人接种新冠疫苗，在前期完成5 万人接种后，又花了 100天时间接种了剩下的210万 人.在 这 100天中，该市的接种时间和接种人数的关系如图所示.(1)前 40天中，每天接种的人数为 3万人.(2)这 100天中，8 市的接种人数y(万人)与接种天数x(天)的关系为y=4/+4 ,请通过计算判断，第 40天接种完成后，B市的接种人数是否
22、超过A 市？直接写出第几天接种完成后，A,8 两市接种人数恰好相同？【解答】解：(1)(125-5)4-40=3,故答案为：3；(2)把(7=40代入y=4/+券 v,1 n Q得 y=2Q X40+2Q x40=86V 125,答：第 a 天接种完成后，8 市的接种人数没有超过4 市；由题意前40天 B 市接种人数少于A 市，设 A 市 接 种 人 数 与 时 间 的 函 数 关 系 式 为(ZW0),将(40,125),(100,215)代入，得：原=鬻1215=100k 4-b解得：3 =653)=+65(40 x100),.当A,B 两市接种人数恰好相同时，!叶65=产#+系，解得：X
23、I=-25(舍去)，X2=52,答：第 52天接种完成后，A,B 两市接种人数恰好相同.22.(9 分)【教材呈现】下图是华师版九年级下册数学教材第43页的部分内容.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.由圆周角定理，可以得到以下推论：90。的圆周角所对的弦是直径.（如图）【推论证明】已知：A A B C的三个顶点都在。0上，且/ACB=90.求证：线段A B是 的 直 径.请你结合图写出推论的证明过程.【深入探究】如图，点A,B,C,。均在半径为1的。上，若/ACB=90,Z A C D=60.则线段AZ）的长为【拓展
24、应用】如图，已知 ABC是等边三角形，以A C为底边在三角形A 8 C外作等腰直角三角形A C D,点E是B C的中点，连结DE.若AB=2 v L则D E的长为 1+g .V ZACB=90,：.O C=O A=O B=A B,二点C在以A 8为直径的。上;（2）解：连接AB,V ZACB=90Q,A8为O。的直径，：.AB=2,NAOB=90,V ZACD=60,A ZABD=60,：.ZBAD=30,1：.BD=AB=1,：.AD=y/AB2-BD2=V22-l2=V3；故答案为：V3；(3)连接A E,过点C作_LE。于点R ABC是等边三角形，点E是3 c的中点，C.AELBC,NA
25、EC=90,.AC。为等腰直角三角形，A ZADC=90,由(2)可知A,E,C,。在以AC为直径的圆上,V ZACB=60,A ZEAC=ZEDC=30,VZDAC=45,：.ZCED=ZDAC=45,：AB=AC=2y2,：.CE=AC=y/2,DC=A C =2,1:.E F=F C=1,CF=D C =1,：.DF=y/3,：.DE=EF+DF+y/3.故答案为：I+V l23.(10 分)如图，在ABC 中，AH=6,A C=B C=5,C3_LA8 于点。，点 P 从点 4 出发，以每秒5 个单位长度的速度沿折线AC-CB向终点8 运动，当点P 不与A,B,C 重合时，过点P作P
26、Q L A B交A B于 点。，过点P作P M L P Q,使得PM=2PQ,M、点。在P Q 的同侧，连结M Q,设点P 的运动时间为r(s).(1)线段 C D=4.(2)当点P 在线段BC上时，P C=5r-5.(用含/的代数式表示)(3)当点M 落在BCD的内部时，求 f 的取值范围；(4)连结C M,当CPM为锐角三角形时，直接写出f 的取值范围.：.B D=C D=A B=3,C D=tBC2-C D2=V52-32=4,故答案为：4；.点尸从点A 出发，以每秒5 个单位长度的速度沿折线A C-C B 向终点3 运动，运动时间为，(s),：.PC=5t-AC=5t-5,故答案为：5
27、t-5；(3)当时，若 M 落在8 C 上，如图:PM=2PQ,PM=8f,PM_LPQ,PQLAB,.PM/AB,CPM sCAB,PM PC 8t.一=,即 一=解得t=I,M 落 在 CD上，如图:PM PC r 8t 5-5t,.一=一,即 一=-AD AC 3 5解得t=杀，3 a由图可知，点M落在8CO的内部，此时应满 足 五/去当1 2时，若例落在4 c上，如图：由图可知，点M落在BC。的内部，此时应满足一V/V2,113 2 19综上所述，点M落在BCD的内部一或 一t2；11/11(4)当t时，:PM AB,:.C PM sXC MPM PC 8t 5-5t=,即 一=-AD
28、 AC 3 5解得t=杀，若NPCM=90,如图:*：ZCPM=ZA,ZPCM=ZADC=90,：1CPMS/D A C,解得f=磊，.高力|时，女 例为锐角三角形,当 l f 2 时，.7 V 谷时，ZXCPM为锐角三角形,49 口综上所述，当(：明为锐角三角形时，/的范围是三V Y 系 或 最 /胃11 49 49 1124.(12分)已知抛物线了=层-2 a+2(m 为常数，且?W0).(1)抛物线的对称轴为 直线x=l.(2)当此函数经过(3,3)时，求此函数的表达式，并直接写出函数值)，随 x 的增大而增大时，x 的取值范围.(3)当-lW x 0 时，当尤=1时，y 有最小值，-优+2=-3,Hl=S，当x=-1时，y 有最大值，；.3 m+2=17,的最大值为17；当“0 时，当x=-1时，y 有最小值，3/?+2 -3,.5?=当尤=1 时，y 有最大值,11:.-777+2=-y,的最大值为日；综上所述：当。0时，），的最大值为17；当。0 时;y 的最大值值为日;(4)由题意可知 M(-1,3/71+2),N(-1,0),抛物线的对称轴为直线x=,(3,3次+2),，M M=4,MN=|3机+2|,=3MN,4=3|3?+2,.2T 10 加=-或m=一百.