《2021-2022学年北京人大附中八年级（上）期中数学试卷.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2022学年北京人大附中八年级（上）期中数学试卷.pdf（31页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021-2022学年北京人大附中八年级（上）期中数学试卷一.选择题：（每小题3分，共3 0分）1.（3分）2 0 2 1年3月2 0日三星堆遗址的最新考古发现又一次让世界为之瞩目，下列三星2.（3分）如图，A8 C的边A B的垂直平分线交边B C于 点D,边4 c的垂直平分线交边BC于点、E,若B C=1 6,则 ）的周长是（）A.8 B.1 6 C.3 2 D.不能确定3.（3分）若关于x的多项式（f+2 x+4）（x+A）展开后不含有一次项，则实数k的值为（）A.-1 B.2 C.3 D.-24.（3分）如图，点。为AB C的边B C上一点，且满足A O=O C,作B E LA。于点E,
2、若NB AC=7 0 ,Z C=4 0 ,A B=6,则 B E 的 长 为（）A.2B.3C.4D.55.（3分）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）.那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（）A.a2-b2=(a-b)C.(a-b)2=a2-2ab+h2甲B.(a+b)2=a2+lab+b1D.a2-序=(a+h)(a-b)6.（3分）如图，在 AB C 中,Z A B C=6 6Q,NC=4 0 ,将aA BC绕点3逆时针旋转a后得到 BC,此时点A 恰好在线段A C上，则N 4B
3、 A 的度数为（）A.2 8 B.3 0 C.3 2 D.3 5 7.（3分）小明同学统计了某学校八年级部分同学每天阅读图书的时间，并绘制了统计图,如图所示.下面有四个推断：小明此次一共调查了 1 0 0 位同学；每天阅读图书时间不足1 5 分钟的同学人数多于4 5 -6 0 分钟的人数；每天阅读图书时间在1 5 -3 0 分钟的人数最多；每天阅读图书时间超过3 0 分钟的同学人数是调查总人数的2 0%.根据图中信息，上述说法中正确的是（）C.D.8.（3分）已知a,b,c分别是等腰AB C三边的长，且满足a c=1 2-加，若a,b,c均为正整数，则这样的等腰a A B C存 在（）A.3个
4、 B.4个 C.5个 D.6个二、填空：（每空2分，共18分）9.（2分）若 式 子（x-3）。有意义，则实数x的取值范围是.1 0.（2分）一个等腰三角形有一个角为8 0 ,则 它 的 顶 角 度 数 为.1 1.（2分）如图，在 AB C中，AB=AC,N4=4 0 ,8。是 AB C的角平分线，则/AB O1 2.（2分）为了贯彻和落实“双减政策”，某学校七年级在课后辅导中开设剪纸、做豆腐、硬笔书法、篮球、戏剧赏析五个课程.为了了解七年级学生对这五个课程的选择情况，小明同学随机抽取了部分学生进行调查（规定每人必须并且只能选择其中一个课程），并把调查结果绘制成如图所示的统计图，根据这个统计
5、图可以估计七年级5 0 0名学生中选择做豆腐课程的学生约为 名.1 3.（2分）如图，等边三角形A B C 的三个顶点都在坐标轴上，A （-1,0）,过点8作 8。L A B,垂线8。交 x 轴于点。，则点。的坐标为.1 4.（2分）已知a-2 6=2,那么J-4 户-8%+1 的值为.1 5.（2分）如图，在 A 8 C 中，NC=9 0 ,80为 4 8 C 的角平分线，过点。作直线/AB,点P为直线/上的一个动点，若 88的面积为1 6,B C=8,则A P最小值为.1 7.（2分）如图，aABC为等边三角形，点 力 与 点 C关于直线48对称，E,尸分别是边BC和 AC上的点，B E=
6、C F,AE与 B 尸交于点G,DG交 A B于点、H.下列四个结论中：A B E 丝 C B F：A G+B G=D G x HG+GE=GFi A H F 为等边三角形.所有正三、解答题：（2 0-2 2 题每小题8 分，2 3 题 5 分，2 4 题 4分，共 2 9 分）1 8.（8分）计算：(1)(6 7+2)(a+3)+2a6-i-a4；(2)(3+)2-(.a+b)(.a-b).1 9.(8分)分解因式：(1)0 b -1 6/；(2)5?-2 0，)，+2 0孙2.2 0.(4 分)已知 a=-2,b=3 时，求 3 (a-b)2-5 (a W)+(2a+b)(a -4 b)+
7、2 b的值.2 1.(5分)已 知：如图，点B是N M 4 N边AM上的一定点(其中NA MN=x-3,整式E是只含有字母x的一次多项式，整式尸是整式。与整式E的平方的乘积，若整式F的关联点为(-2 0 0,0),请直接写出整式E的表达式.2 6.(7分)在 A B C中，A。为A A B C的角平分线，点E是直线B C上的动点.(1)如 图1,当点E在C B的延长线上时，连接A E,若/E=4 8 ,A E=A D=DC,则Z A BC的度数为.(2)如图2,4OAB,点P在线段A D延长线上，比较A C+B P与A B+C P之间的大小关系，并证明.(3)连接 A E,若/A E=9 0
8、,N 8 A C=2 4 ,且满足 A 2+A C=E C,请求出 N A C 8 的度数(要求：画图，写思路，求出度数).2021-2022学年北京人大附中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：（每小题3 分，共 30分）1.（3 分）2021年 3 月 2 0 日三星堆遗址的最新考古发现又一次让世界为之瞩目，下列三星堆文物图案中，是轴对称图形的是（）【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，利用轴对称图形的定义进行解答即可.【解答】解：选项A、8、。不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不
9、是轴对称图形，选 项 C 能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,所以是轴对称图形，故选：C.【点评】此题主要考查了轴对称图形，识别轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合.2.（3 分）如图，AABC的边A 8 的垂直平分线交边3 c 于点。，边 AC的垂直平分线交边BC于点E,若B C=16,则的周长是（）A.8 B.1 6 C.3 2 D.不能确定【分析】如图，由题意可知D AD B,E A=E C,推 出A D+A E+D E B D+E C+D E,于是得到结论.【解答】解：.边A B的垂直平分线交B C于点。，边A C的垂直平分线
10、交B C于点E,:.D A=D B,E A=E C,：B C=B D+D E+C E=A D+D E+A E=/AD E 的周长，A D E 的周长=1 6,故选：B.【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，关键在于根据题意推出D A=D A,E A=E C,正确的进行等量代换.3.（3分）若关于x的多项式（f+2 x+4）（x+A）展开后不含有一次项，则实数k的值为（）A.-1 B.2 C.3 D.-2【分析】将原式展开后，令一次项的系数为零即可求出的值.【解答】解：原 式=/+小+2%2+2日+4 x+4 kxi+kx2+2x2+（2 k+4）x+4k,令 2 k+4=0,
11、:.k=-2,故选：D.【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的乘除运算，本题属于基础题型.4.（3分）如图，点。为A 8 C的边B C上一点，且满足A O=O C,作于点E,若Z B A C=7 0 ,Z C=4 0 ,A B=6,则 B E 的 长 为（）【分析】根据等边对等角可得/D4 c=4 0 ,根 据 角 的 差 可 得3 0 ,根据含3 0。角的直角三角形的性质可得BE的长.【解答】解：；AO=C,.ND4C=NC=40,:NBAC=70,:.NBAE=70-40=30,：BEAD,：.ZAEB=90Q,：.B E=A B=X 6=3.2 2故选：B.【点评】此题主
12、要考查了等腰三角形的性质，含 3 0 角的直角三角形的性质，解本题的关键是得出N8AE=30.5.(3 分)从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为人的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙).那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为()a甲/、/a 07.A.a2-b2 (a-b)2 B.Ca+b)2a2+2ab+b2C.(a-b)2=a2-lab+b2 D.J _ 庐=(a+b)(a-b)【分析】分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式.【解答】解：由 图 1 将小正方形一边向
13、两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为a-b,即平行四边形的高为a-b,：两个图中的阴影部分的面积相等，即 甲 的 面 积=/-层，乙 的 面 积=(a+b)(a-b).即：cr-b2=(a+b)(a-b).所以验证成立的公式为：/_庐=(a+b)(a-b).故选：D.【点评】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键.本题主要利用面积公式求证明J -/=（a+b）（a-b）.6.（3 分）如图，在ABC 中，Z A B C=6 6Q,NC=40,将 A8C绕点2逆时针旋转a后得到 4 BC,此时点4恰好在线段AC上，则/A 8 A 的度数为（）C.32D.35【分析
14、】由旋转的性质可得AB=B A,N 8 A C=/B W C=74,由三角形的内角和定理可求解.【解答】解：VZA8C=66,ZC=40,A ZBAC=74,.将A A B C绕点B逆时针旋转a后得到BC,：.AB=B A,/B AC=NB AC=7 4 ,：.ZB AAZB AA7 4Q,.,.N4BA=32,故选：C.【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.7.（3分）小明同学统计了某学校八年级部分同学每天阅读图书的时间，并绘制了统计图,如图所示.下面有四个推断：小明此次一共调查了 100位同学；每天阅读图书时间不足15分钟的同学人数多于45-60分钟的
15、人数；每天阅读图书时间在15-3 0分钟的人数最多：每天阅读图书时间超过30分钟的同学人数是调查总人数的20%.根据图中信息，上述说法中正确的是（）A.B.C.D.【分析】根据频数分布直方图中的数据，可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题.【解答】解：由直方图可得，小明此次一共调查了 10+60+20+10=100名同学，故正确；每天阅读图书时间不足15分钟的同学人数和45-6 0 分钟的人数一样多，故错误；每天阅读图书时间在15-3 0 分钟的人数最多，故正确；每天阅读图书时间超过3 0 分钟的同学人数是调查总人数的：（20+10）+100X100%=3 0%,故错误；故选：A.
16、【点评】本题考查频数分布直方图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键.8.（3 分）已知a,b,c 分别是等腰ABC三边的长，且满足ac=12-b e,若a,b,c均为正整数，则这样的等腰AABC存 在（）A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个【分析】根据不定方程的正整数解进行分类讨论即可.【解答】解：ac=1 2-匕c,.ac+bc=29（a+A）c=12,12=1X12=2X6=3X4,a+bcf.a+b=12 或 卜+b=6或（a+b=4,I c=l I c=2 I c=3当a+b=1 2 时，三 边 长 分 别 为 i,6,6 或 1,1,11（不合题意舍去）；1 c=l当
17、a+b=6 时，三 边 长 分 别 为 2,3,3 或 2,2,4 （不合题意舍去）；I c=2当 a+b=4 时.，三 边 长 分 别 为 3,2,2或 3,3,1,I c=3所以一共有4个，故选：B.【点评】本题考查了不定方程的正整数解和等腰三角形的三边关系，关键是根据不定方程的整数解进行分类讨论.二、填空：（每空2 分，共 1 8 分）9.（2分）若 式 子（x-3）。有意义，则实数x的取值范围是 x W 3 .【分析】利用零指数基的意义即零的零次幕没有意义解答即可.【解答】解：.零的零次累没有意义，3 N 0.；.x W 3.故答案为：x#3.【点评】本题主要考查了零指数基的意义，利用
18、零的零次基没有意义解答是解题的关键.1 0.（2分）一个等腰三角形有一个角为8 0 ,则它的顶角度数为 8 0。或 2 0 .【分析】等腰三角形一内角为8 0。，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况.【解答】解：（1）当 8 0 角为顶角，顶角度数即为8 0 ；（2）当 8 0 为底角时，顶角=1 8 0 -2 X 8 0 =2 0 .故答案为：8 0 或 2 0 .【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键.1 1.（2分）如图，在中，A B=A C9 N A=4 0 ,8
19、。是 A BC 的角平分线，则N A 8 DB【分析】由已知根据等腰三角形的性质易得两底角的度数，结合角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解.【解答】解：；48=AC,乙4=4 0 ,A ZABC=ZC=（1 8 0 -4 0 ）4-2=7 0 ,又：BD为NABC的平分线，A ZABD=35,故答案为：3 5.【点评】本题考查了三角形内角和定理及等腰三角形的性质、角平分线的性质；综合运用各种知识是解答本题的关键.1 2.（2分）为了贯彻和落实“双减政策”，某学校七年级在课后辅导中开设剪纸、做豆腐、硬笔书法、篮球、戏剧赏析五个课程.为了了解七年级学生对这五个课程的选择情况，小明同学随机抽取了
20、部分学生进行调查（规定每人必须并且只能选择其中一个课程），并把调查结果绘制成如图所示的统计图，根据这个统计图可以估计七年级5 0 0 名学生中选择做豆腐课程的学生约为 100名.【分析】用 整 体 1减去戏剧赏析、篮球、剪纸、硬笔书法所占的百分比，求出做豆腐所占的百分比，再用该学校5 0 0 名学生乘以做豆腐所占的百分比即可得出答案.【解答】解：根据题意得：5 0 0 X（1 -1 4%-1 6%-3 0%-2 0%）=1 0 0 （名），答：这个统计图可以估计七年级5 0 0 名学生中选择做豆腐课程的学生约为1 0 0 名.故答案为：1 0 0.【点评】此题考查了用样本估计总体，依据扇形统计
21、图求出做豆腐所占的百分比是解题的关键.1 3.（2分）如图，等边三角形A B C 的三个顶点都在坐标轴上，A （-1,0）,过点B作 8。L A B,垂线8。交 x 轴于点。，则点。的坐标为（3,0）.【分析】根据等边三角形的性质得O C=O A=1,则 AC=BC=2,NAC8=NABC=60,由 8Z)_LAB得/C8O=30,根据三角形外角的性质得/2。=/78。=3 0 ,则CD B C 2,可得出OO=OC+C)=3,即可得点。的坐标.【解答】解：A(-1,0),：.OA=,A8C是等边三角形，OBJ_AC,；.0C=O 4=l,：.ACBC=2,/A C 8=/A B C=60,：
22、BDVAB,：.Z C B D Z A B D-ZABC30 ,Z B D C=Z A C B -NDBC=30 ,：.N B D C=N C B D,:.CD=BC=2,：.O D=OC+CD3,.点。的坐 标(3,0).故答案为：(3,0).【点评】本题考查等边三角形的性质，坐标与图形的性质，求出。C,8 的长是解题的关键.14.(2 分)已 知 a-2 6=2,那么4/-86+1的值为 5.【分析】先将a1-4b2因式分解，利用整体代入的方法化筒整理，再利用代入计算即可得出结论.【解答】解：2b=2,原式=Ca+2b)(a-2 b)-昉+1=2(a+26)-8什 1=2a+4b-86+1
23、2a-48+1=2(a-2b)+1=2X2+1=4+1=5.故答案为：5.【点评】本题主要考查了因式分解的应用，求代数式的值，利用因式分解的方法将代数式适当变形利用整体代入的思想是解题的关键.15.(2 分)如 图，在ABC中，ZC=90,BD为ABC的角平分线，过点。作直线/A 3,点尸为直线/上的一个动点，若SCO的面积为16,8 C=8,则 AP最小值为 4.【分析】过 点D作于E,根据三角形的面积公式求出CD,根据角平分线的性质求出O E,根据垂线段最短解答即可.【解答】解：过点D作DEL A B于E,：BCD 的面积为 16,B C=8,NC=90,：.C D=4,；8力是NABC
24、的平分线，NC=90,D E LAB,：.D E=C D=4,当APJ_直线/时，AP的值最小，此时四边形APDE为矩形，：.AP=D E=4,AP最小值为4,故答案为：4.pcA E B【点评】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算、垂线段最短，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.1 6.(2 分)若x-y=5,xy6,则 A -xv2 =3 0 .【分析】将原式首先提取公因式孙，进而分解因式，将已知代人求出即可.【解答】解：V x-y=5,xy=6,.*.x27 -xy2xy(x-y)=6 X5=3 0.故答案为：3 0.【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，
25、正确分解因式是解题关键.1 7.(2分)如 图，A 8 C为等边三角形，点。与 点C关于直线4 B对称，E,尸分别是边B C和A C上的点，B E=C F,A E与B F交于点G,DG交A B于点H.下列四个结论中：A B E丝C 3 F；AG+B G=D G x H G+G E=G F A H F为等边三角形.所有正确结 论 的 序 号 是 .D【分析】直接根据全等三角形的判定方法判断即可；延长G E至H,使G H =G B,根据等边三角形的判定与性质可得N A 8 H =/D B G,再根据全等三角形的判定与性质可得结论；根据三角形的三边关系可得答案；连接4 F,根据全等三角形的判定方法及
26、性质可得A H=C E,最后根据等边三角形的判定可得结论.【解答】解：在A 8 E和 B C F中，fAB=BCBE=CF,：/XAB E/XB C F(S A S),故正确；由知ABE丝；NBAE=NFBC,/BGE=ZABG-ZBAE=ZABG+ZFBC=ZABC=60,V GHf=GB,:/B G H是等边三角形，：.G=BHf=GH,ZGBH1=60,丁点。与点C关于直线AB对称，：.AD=DC,BD=BC,:,AD=DB=AB,*./ABD是等边三角形，：AB=BD,ZABD=60,:/ABH=NGBH+NABG,ZDBG=ZABD+ZABG,:/ABH=NQBG,u：DB=ABf
27、BG=BH,Q8G 丝丛 ABH(SAS),:DG=AH,AHf=AG+GH,：.DG=AG-BG9 故正确；连接HE,不等于G F,可以证明G+GE=BG,而ZJG不一定等于F G,故错误;连接HF,：.ZBDG=ZBAGV ZADB=ZBAC=60，Z A D B -Z BD G=Z B A C -/BA G,即 Z A D H=ZG AF,：AD=AC,Z A C E=Z D A H,：./AD H/C AE(AAS),：.AH=C E,:C E=B C -B E=A C -F C=AF,：.AH=AF,Z H A F=60.二 A石是等边三角形，故正确，故答案为：.【点评】此题考查的是
28、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质，正确作出辅助线是解决此题关键.三、解答题：(2022题每小题8 分，23题 5 分，24题 4 分，共 29分)18.(8 分)计算：(1)(a+2)(a+3)+25+4；(2)(3。+)2-(a+b)(-).【分析】(1)先计算乘除，再合并同类项即可；(2)先用完全平方、平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可.【解答】解：(1)(。+2)(+3)+26=2+3a+2a+6+22=3。2+5。+6；(2)(3+b)2-(a+b)(a-h)=9a1+6ab+b1-(a2-b2)=9a2+6ab+b1-c+b2=8。2+6+2 户.【
29、点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握多项式乘法、完全平方及平方差公式，能熟练的去括号、合并同类项.19.(8 分)分解因式：(1)-16/?；(2)5/-20)；+20孙2.【分析】(1)先提公因式，再应用平方差公式；(2)先提公因式，再应用完全平方公式.【解答】解：(1)原 式=人(a2-16)=b(+4)(a-4)；(2)原式=5 x (JC2-4xy+4y2)=5 x (x -2y)2.【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键.2 0.(4 分)已知 a=-2,b=3 时，求 3 (a-b)2-5 (a W)+(2a+b)(a-4b)2b
30、的值.【分析】直接利用乘法公式、多项式乘多项式运算法则化简，进而合并同类项，把己知数据代入得出答案.【解答】解：原式=3 (a2-lab+b1-5a2-5b2+2a2-S ab+ab-4tr2b=(3 a2-6ab+3b1-5a2-5b1+2a1-S ab+ab-4b2)+2b=(-6 f t2-3ah)+2b=-3b-2当 a=-2,b=3 时，原式=-3 X 3-旦 X(-2)2=-9+13=4.【点评】此题主要考查了整式的混合运算一化简求值，正确运用乘法公式是解题关键.2 1.(5分)己 知：如图，点8是N M A N边AM上的一定点(其中N A M N；以点8为圆心，8。长为半径作弧，
31、交射线A N于另一点C；连接B C,则A A B C即为所求三角形.根据小兵设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形：(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明.证明：.直线/为线段4 8的垂直平分线，：.A D=B D（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）,（填推理的依据）Z A Z AB D ,Z B D C=Z A+Z A B D=2 Z A；,:B C=B D,：.Z A C B=Z B D C（等 边 对 等 角）,（填推理的依据）【分析】（1）根据要求作出图形即可.（2）利用线段的垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质解决问题即可.【解答】解：（1）如图，Z V I
32、 B C即为所求.（2）直线/为线段A B的垂直平分线，：.A D=B D（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等），Z A=Z A B D,：./BDC=乙4+乙4 8。=2乙4,；B C=B D,：.Z A C B=Z B D C（等边对等角），Z A C B=2 Z A.故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，A A B D,等边对等角.【点评】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型.2 2.（4分）为了强身健体，更好的学习和生活，某学校初二年级60 0名同学积极跑步，体育陈老师为整个
33、年级同学进行了跑步测试.为了解同学整体跑步能力，从中抽取部分同学的成绩(得分取正整数，满分为10 0 分)进行统计分析，得到如下所示的频数分布表:分数段5 0.5 -60.560.5 -70.570.5 -8 0.58 0.5 -9 0.59 0.5 -10 0.5频数183 05 0a2 2所占百分比9%15%2 5%b%c请根据尚未完成的表格，解答下列问题：(1)本次抽样调查的样本容量为 2 0 0 ,表中c=11%；(2)补全如图所示的频数分布直方图；(3)若成绩小于或者等于7 0 分的同学的跑步能力需加强锻炼和提高，估计该校八年级同学中需要加强锻炼和提高的有学4 人.频数分布直方图值；
34、(2)求出。的值即可补全频数分布直方图；(3)求出样本中，“需要加强锻炼和提高”的学生所占的百分比，估计总体中“需要加强锻炼和提高”学生所占的百分比，进而求出需要加强锻炼和提高的人数.【解答】解：(1)18+9%=2 0 0 (人)，c=2 2+2 0 0=l l%,故答案为：2 0 0,11%；(2)2 0 0-18 -3 0-5 0-2 2=8 0 (人)，补全频数分布直方图如下：频数分布直方图200故答案为：144.【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图以及样本、总体、个体、样本容量，掌握频率=蓼暮是正确解答的关键.息 数四、解答题：(25,26题每题5分，27题6分，28题7分，共
35、23分)23.(5分)随着某种产品的原料涨价，因而厂家决定对产品进行提价，设该产品原价为1元，现在有两种提价方案：方 案1：第一次提价x%,第二次提价)%；方案2：第一次、二次提价均为超2其中x,y是不相等的正数，请判断在分别实施这两种方案后哪种方案最终价格更高？并用乘法公式证明.【分析】根据各方案中的提价百分率，分别表示出提价后的单价，得到：方案 1：(1+x%)(1+y%)；方 案2：(1+弛 史)2,用方案二的单价减去方案一的单价，利用完全平方公式及多项2式乘以多项式的法则化简，去括号合并后再利用完全平方公式变形，根据x A y判定出其差为正数，可 得 出(1+曳 也)2(1+x%)(1
36、+%),进而确定出方案二的提价多.2【解答】解：方 案1：(1+x%)(1+y%)；方案 2：(l+x%+y%)2,2(1+X%+y%.)2.(+x%)(1+y%)2=l+x%+y%+(x%+y%)2-(l+x%+y%+x%)%)2=(1+%+%+(丝 曲)2-x%+y%+x%y%)2=(X%*2 _ x%),%2_ (x%-y%)24 ，工(x%-y%产 o.4.(1+x%+y%)2 (+%)(i+y%),2方案二提价更多.【点评】此题考查了列代数式、整式混合运算的应用，利用的方法为作差法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.2 4.(5分)如 图，在 A B C中，N A CB=9 0 ,
37、AC=2 B C,点。是线段A C的中点，以CQ为斜边作等腰直角C0 E，连接A E,E B,判断A E B的形状，并证明.【分析】根据等腰直角三角形的性质得到E D=E C,Z D C=Z CD=45 ,进而得出N E CB=1 35=N E D 4,根据线段中点的定义得出A O=B C,利用SA S证明A )E妾4B C E,根据全等三角形的性质得出E 4=E B,N A E D=N B E C,进而根据角的和差得出NA E B=9 0 ,即 可 判 定 是 等 腰 直 角 三 角 形.【解答】解：A A E B是等腰直角三角形，理由如下：.CCE是等腰直角三角形，：.E D=E C,NE
38、 D C=NE C D=45 ,V ZAC B=90,ZE D A+ZE D C=S 0,A Z E C B=Z CD+Z CB=450 +9 0 =1 35,Z D A=1 8 0 -45 =1 35,：.Z E C B Z E D A,:点。是线段A C的中点，：.AC=2AD,：AC=2BC,：.AD=BC,在4Z)E 和8 CE 中，AD=BCAB+CP,理由如下：如图，在AC上截取平分 N&4C,：.ZPAB=ZPAH,又.以=以，:Z A B m4PAH(SAS),:.PH=PB,在中，CH+HPCP,：.AH+CH+HP CP+AH,：.AC+HPAH+CP,：.AC+BPAB+
39、CP(3)延长。到K,使AK=A8,连接EK,BK,.-.Z A O=1Z B A C=12,设N BK E=a,则/AKE=a+12。,:CE=AC+AB=AC+AK=CK,：.Z CEK=ZAKE=a+12 ,AZC=1 8 0 -Z C E K-ZAKE=S 00-2 (a+1 2 )=1 56 -2 a,1,A O 平分 N 8 4C,H8、N B A C=1 2 ，VZ D A E=9 0 ,A Z BA E=78 ,：.ZKAE=S 0-Z B A E-Z B A C=18 0-78 -2 4=78 ,：/B AE=/K A E,t：A K=A B1 AE=AE,：.A K E A
40、 B E(SA S),Z A K E=N A B E=N B A C+N C,：.a+12=24+1 56-2 a,A a=56,A Z A C B=156-2 a=1 56-2 X 56=44.当点E在 3 C 延长线上时，延长B A到尸，使 A F=AC,连接E R则N E=N C A E=7 8 ,；AE=AE,AAMEAC AE(SA S),:C E=E F,Z C E A=Z F E Af设 N A E C=a,NB=2a,.2 a+1 2 +a=9 0 ,：.a=26：.Z A C B=1 0 4 ,综上：NACB=44 或 104.【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造三角形全等是解题的关键，有一定的难度.