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1、第6章反比例函数一、选 择 题（每小题3 分，共 30分）1.某反比例函数的图象经过点（-2,3）,则此函数图象也经过点（)A.(2,-3)B.(-3,-3)C.(2,3)D.(-4,6)2.如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是（)3.4.5.B.尸 1C.丫=卫XD.1为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积丫（加 3）池的底面积S （加 2）与其深度入（团）满足关系式：V=Sh（V O）,反比例函数y=K 的图象经过点（-2,x 2A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限一定的污水处理池,则 S关于/?的函数图)若在同一坐标系中，直 线 与
2、 双 曲 线 有 两 个 交 点，则 有（）xA.k+ki0B.攵 i+k2VoC.kk20D.kk2Vo6.反比例函数y=2图象上的两上点为（xi,yi）,（X2,）,且xi V%2,则下列关系成立的X是（）A.yy2B.y0）的图象经过顶点B,则 k 的 值 为（）9.如图，函数y=-x 与函数y=B 的图象相交于A,B 两点，过 A,8 两点分别作y 轴的1 0.反比例函数y=典的图象如图所示，以下结论:常数W -1；在每个象限内，y 随 X 的增大而增大；若A （-1,h）,B（2,k）在图象上，则h 0)的图象与正方形的两边A B、B C分别交于点M、xN,N O J _ x轴，垂足
3、为。，连接O M、O N、M N.下列结论：(%:代丝 O A M；O N=M N；四边形D A M N 与A M O N面积相等；若N M O N=45。，M N=2,则点C的坐标为(0,&+1).其 中 正 确 结 论 的 有.1 7.如图，在平面直角坐标系中，R t A B C的顶点A,C的坐标分别是(0,3),(3,0).Z4 c B=9 0,A C=2 B C,则 函 数 产K(Q 0,x 0)的图象经过点8,则火的值X1 8.如图，已知在平面直角坐标系xO y中，直线y=L-1分别交无轴，)，轴于点A和点5,2分别交反比例函数y i=K(攵 0,x 0),y2=(x .22.已知直
4、线)，=-x+6和反比例函数)，=K (Z W O).(1)k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系X。)，中的图象有两个公共点？(2)设(1)的两个公共点分别为A、B,N A 0 8是锐角还是钝角？23 .如图，四边形A 8 C Z)为正方形.点A的坐标为(0,2),点8的坐标为(0,-3),反比例函数y=K的图象经过点C,一次函数y=x+6的图象经过点4、C,x(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)求点P是反比例函数图象上的一点，O A P的 面 积 恰 好 等 于 正 方 形 的 面 积,求P点的坐标.24 .如图，点8 (3,3)在双曲线 =区(x 0)上，点。在双曲线y=-三(
5、xV O)上,x x点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点A,B,C,。构成的四边形为正方形.(1)求k的值；(2)求点4的坐标.25.小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间y (分)与录入文字的速度x(字/分)之间的函数关系如图.(1)求)，与x之间的函数表达式；(2)小明在19：20开始录入，完成录入时不超过19：3 5,小明每分钟至少应录入多少个字？(3)小明为了收看19：3 0的新闻联播，将原定的录入速度提高了 20%,结果比原计划提前2分钟完成，小明实际用了多少分钟完成文章的录入？答案与试题解析一、选择题(每小题3 分，共 30分)1.某反比例函数的图象经过点(-2,3),则此
6、函数图象也经过点()A.(2,-3)B.(-3,-3)C.(2,3)D.(-4,6)【分析】将(-2,3)代入y=K即可求出k的值，再根据忆=孙解答即可.X解：设反比例函数解析式为丫=区，将 点(-2,3)代入解析式得=-2 X 3=-6,x符合题意的点只有点A：k=2X(-3)=-6.故选：A.2.如图是我们学过的反比例函数图象，它的函数解析式可能是()【分析】根据图象知是双曲线，知是反比例函数，根据在一三象限，知&0,即可选出答案.解：根据图象可知：函数是反比例函数，且k 0,答案B的上=4 0,符合条件，故选：B.3 .为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V (/7?)一定
7、的污水处理池，池的底面积S (，/)与其深度力(W)满足关系式：V=Sh(V#0),则S关于力的函数图【分析】先根据v=助 得 出s关于/?的函数解析式，再根据反比例函数的性质解答，注意深度/?的取值范围.解：（丫为不等于。的常数），：.S S是人的反比例函数.h依据反比例函数的图象和性质可知，图象为反比例函数在第一象限内的部分.故选：C.4.反比例函数y=K的图象经过点（-2,旦），则它的图象位于（）x2A.第一、三象限 B.第二、四象限C.第一、二象限 D.第三、四象限【分析】利用待定系数法求得左 的值；根据A的符号判断该函数所在的象限.解：反比例函数尸K的图象经过点（-2,旦），x2.k
8、=xy=（-2）xA=-3 0 B.匕+攵2 V o C.kk20 D.上 次2 V o【分析】因为直线），=&1 X与双曲线），=”有两个交点，故由二者组成的方程组，消元后X得到的一元二次方程有两个不相等实数根，故可用一元二次方程根的判别式解答.解：因为直线y=%i x与双曲线y=”有两个交点，故 幻x=，即是用，,m=（）有两个不相等的实数根，X于是-4义心（-to）0,整理得上公0,故选：C.6.反比例函数y=2图象上的两上点为（x i,y i）,（九 2,*）,且 X 1 V X 2,则下列关系成立的X是（）A.yy2 B.y。,x 此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，并且在每一象
9、限内），随X的增大而减小,当（x i,y i）,（x 2,y2）在同一象限时,V x i ”；当（箝，y i）在第三象限，（”，”）在第一象限时,V x i 0）的图象经过顶点B,则 k 的 值 为（）【分析】过 C 点作C D Lx轴，垂足为。，根据点C 坐标求出0）、CD、BC的值，进而求出8 点的坐标，即可求出”的值.解：过 C 点作C D Lx轴，垂足为）,:点 C 的坐标为（3,4）,：.OD=3,CD=4,*-O C VOD2-K：D2=VS2+42=5OC=BC=5,.点8 坐 标 为（8,4）,；反比例函数y=K （x 0）的图象经过顶点B,X:.k=32,故选：D.9.如图，
10、函数），=-X 与函数y=-l的图象相交于A,8 两点，过 A,B 两点分别作y 轴的X垂线，垂足分别为点C,D.则四边形AC8。的面积为（)A.2 B.4 C.6 D.8【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=2因，得出SM O C=S&O D B=2,再根据反比例函2数的对称性可知：O C=O D,A C=B D,即 可 求 出 四 边 形 的 面 积.解：.过函数丫=上的图象上A,8两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C,D,XSAAOC-SAODB1|=2,2又：O C=。，AC=BD,S iAOC=S&ODA=S&
11、ODB=SA O BC=2,四边形 ABCD 的面积为：SM O C+S O D A+S ODB+S O BC 4 X 2=8.故选：D.1 0.反比例函数y=&的图象如图所示，以下结论：x常数机-1；在每个象限内，)，随X的增大而增大；若A (-I,)，B(2,k)在图象上，则(公 若P(尤，y)在图象上，则P (-x,-y)也在图象上.其中正确的是()A.B.C.D.【分析】根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可.解：.反比例函数的图象位于一三象限，：.m0故错误；当反比例函数的图象位于一三象限时;在每一象限内，），随 x的增大而减小，故错误；将
12、4 （-1,/?）,B（2,k）代入 y=旦得到/?=-tn,2km,x：m 0：.h=区的图象经过点（1,-2）,则 k的 值 为-2 .X【分析】把点的坐标代入函数解析式进行计算即可得解.解：.反比例函数y=K 的图象经过点（1,-2）,X；.K=-2,1解得k=-2.故-2.1 2 .已知正比例函数y=-2 x 与反比例函数y=K 的图象的一个交点坐标为（-1,2）,则另x一个交点的坐标为（1,-为.【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.解：根据中心对称的性质可知另一个交点的坐标是：（1,-2）.故（1,-2）.1 3.有一个可以改变体积的
13、密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密 度p （单位：奴/加3）是体积V （单位：,3）的反比例函数,它的图象如图所示，当丫=5,/时，气 体 的 密 度 是1 kg/m3.5【分析】由图象可知，反比例函数图象经过点（4,2）,利用待定系数法求出函数解析式,再把丫=5代入求值即可.解：由图象可知，函数图象经过点（4,2）,设反比例函数为p=K,V则 K=2,4解得上=8,反比例函数为p=&，V.,.当 v=5，*3 时，p =&,5故区.51 4.在某一电路中，保持电压不变，电阻R （欧）与电流/（安）成反比例，其图象如图所示，则这一电路中的电压为12
14、伏.【分析】根据电压不变时，电流与电阻成反比例函数关系，根据反比例函数的解析式y=K （k#0）设出R与/的反比例函数关系式，由图象上一点的坐标代入即可求出电压Ux的值.解：由题意可知：保持电压不变，电阻R （欧）与电流/（安）成反比例，设 R=U,即 U=IR,I由图象上的一点坐标为（2,6）,即/=2 （安），R=6（欧），/.t/=2 X 6=1 2 （伏）.故1 2.1 5.如 图，直线x=2与反比例函数yj和y=的图象分别交于4、B两点，若点尸是yX X轴上任意一点，则a a i B的面积是_ 旦_.【分析】先分别求出A、B两点的坐标，得到A B的长度，再根据三角形的面积公式即可得出
15、 M B的面积.解：；把x=2分别代入片2、y=，得y=i、）,=-.x x 2二4 （2,1）,B（2,-A）,2.AB=1-（-A）=3.2 2：产为y轴上的任意一点，二点P到直线x=2的距离为2,J./XPAB 的面积=LBX 2=A 2=3.2 2故答案是：3.21 6.如图，在直角坐标系中，正方形0 A 8 C的顶点。与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y=区#0,x 0）的图象与正方形的两边4 8、8 c分别交于点M、xN,M D _ Lx轴，垂足为。，连接。M、O N、M N.下列结论：O C N d O A M；O N=M N；四边形D A M N与 M O N
16、面积相等；若NMON=45 ,M N=2,则点C的坐标为（0,a+1）.其 中 正 确 结 论 的 有 .【分析】设正方形0A B e的边长为a,表示出4,B,C,M,N 的坐标，利用SAS得到三角形0CN 与三角形0AM全等，结论正确；利用勾股定理表示出0 N 与 M N,即可对于结论做出判断；利用反比例函数的性质得到三角形OCN与 三 角 形 全 等，根据三角形M 0N面积=三角形0N 面积+四边形AOMW面积-三角形0AM面积，等量代换得到四边形。AMN与MON面积相等，结论正确；过。作。，垂直 于 如 图所示，利用ASA得到三角形OCN与三角形OHN全等，利用全等三角形对应边相等得到C
17、 N=H N=,求出。的值，确定出C 坐标，即可对于结论做出判断.解：设正方形OABC的边长为小得至Ij A(67,0),B(a,a),C(0,a),M(a,),N(,a),a a在OCN和OAM中，kCN=AM=Y Z 0 C N=Z 0 A M=90o O C=O A=a：./O C N/O A M (S A S),结论正确；根据勾股定理，0N=V o C2-K；N2=a2+(y)2Va4+k2,M N=2(a-)2=返|次-都a,.ON和 MN不一定相等，结论错误；,*SODN=SOAM,:S4M oN=SAODN+S四 边 形DAMN-S O A M=S四 边 形D A M N,结论正
18、确；过 点。作。“_ L N于 点 如图所示，,:O C N g X O A M,：O N=O M,N C O N=/A O M,NMON=45,MN=2,:.N H=H M=1,/C O N=/N O H=/H O M=/AOM=225 ,：./OC N/OHN(A SA),:.C N=HN=,=1,B|J k=a,a由 例%=返|/-例 得，2=返 2-血a a整理得：a2-2a-1=0,解 得:a=2 22-1 7 2(舍去负值)，2.点C的坐标为(0,V 2+1),结论正确，则结论正确的为，故1 7.如图，在平面直角坐标系中，Rt a A B C的顶点A,C的坐标分别是(0,3),(3
19、,0).Z4c 8=90 ,A C=2 B C,则函数y=K a 0,x 0)的图象经过点B,则k的值为_ 2 L _.x 4【分析】过8点作轴于。，如图,先判断 OA C为等腰直角三角形得到AC=&O C=3/，ZAC O=45 ,再判断 B C Q为等腰直角三角形得到C =8 =返B C,则可2计算出CD=BD=3,所 以 然 后 利 用 反 比 例 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 求 出k的值.2 2 2解：过B点作B D L x轴于D,如图，V A,C的坐标分别是(0,3),(3,0).OA=OC=3,.OA C为等腰直角三角形，；.A C=V OC=3圾，N A C O=
20、45 ,V ZA C B=90 ,.N B C =45 ,8 C O为等腰直角三角形，：.C D=BD=2.BC,2AC=2BC,：.BC=3 M,2_:.CD=BD=X32=3,2 2 2.0)=3+3=旦，2 22 2.函数)，=K(k3 x 0)的图象经过点8,X2 2 4故答案为2 L1 8.如图，已知在平面直角坐标系x Oy中，直 线 尸 断-1分别交x轴，y轴于点A和点8,分别交反比例函数y i=K (A 0,x 0),y2=(x ,过点CX X作C E-Lx轴于点E,连接OC,O D.若/C OE的 面 积 与 的 面 积 相 等，则k的值是2y,【分析】求出直线y=L -1与
21、y 轴的交点B的坐标和直线y=X x -1与y2=(x0)2 2 x的交点。的坐标，再由口?后的面积与OOB的面积相等，列出k 的方程，便可求得Z的值.解：令 x=0,得 丁=1-1=-1,2：.B(0,-1),08=1,把 y=L-1 代入(x 0)中得，Ax-1 (x0),2x2 x解得，x=-V4k+b：xD=l-4 k+r,SAOBD|xD|寺/4k+l 等：CE_Lx 轴，.1.”O C E ak，COE的面积与OOB的面积相等，jv砺T 蒋 卷 k.,.k=2,或 k=0(舍去).经检验，k=2 是原方程的解.故 2.三.解答题(共72分)1 9.已知反比例函数的图象与直线y=2x
22、相交于A(1,a),求这个反比例函数的解析式.【分析】设反比例函数的解析式为产区(2 0),先把A(1,a)代入)，=2x可得a=2,X则可确定A点坐标为(1,2),然后把A (1,2)代入y=K可计算出左的值，从而确定X反比例函数的解析式.解：设反比例函数的解析式为y=K(&W 0),X把 A (1,a)代入 y=2 x 得=2,则 A点坐标为(1,2),把 A (1,2)代入 y=K得上=1 X 2=2,X所以反比例函数的解析式为y=2.x2 0.已知反比例函数的图象过点A (-2,3).(1)求这个反比例函数的表达式；(2)这个函数的图象分布在哪些象限？y随 x的增大如何变化？(3)点
23、8(1,-6),C(2,4)和。(2,-3)是否在这个函数的图象上？【分析】(1)利用待定系数易得反比例函数解析式为)，=一旦；x(2)根据反比例函数的性质求解；(3)根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断.解：(1)设反比例函数解析式为丫=上，X把 A (-2,3)代入得攵=-2 X 3=-6,所以反比例函数解析式为y=-1；X(2)因为攵=-6 V 0,所以这个函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大；(3)当 x=l 时，y=-旦=-6；当 x=2 时，y=-=-3,X X所以点3(1,-6),点 0(2,-3)在比例函数y=一 0的图象上，点。(2,4)不在.x2
24、 1.如图，已知直线y i=x+m与 x 轴、y 轴分别交于A,B两点，与反比例函数”=K(ZxW O,x 2=区（4#0,x 0）上，x：.k=-1 X2=-2,.反比例函数的表达式为”=-2；Xy=x+3 z z _（2）解,2得 卜7或 卜”,y=I y=2（y=l：.D（-2,1）；（3）由图象可知：当-2 y2.22.已知直线y=-x+6和反比例函数丫=区aro）.x（1）/满足什么条件时，这 两 个 函 数 在 同 一 坐 标 系，中的图象有两个公共点？（2）设（1）的两个公共点分别为A、B,N A O B是锐角还是钝角？【分析】（1）当比例系数符号相同或组成方程组整理后的一元二次
25、方程的判别式大于0时，两个函数在同一坐标系xO），中的图象有两个公共点；（2）结 合（1）中左的取值范围，分情况探讨/A O 8是锐角还是钝角.解：（1）分两种情况：当比例系数符号相同，即女V 0时，这两个函数在同一坐标系中的图象有两个公共点；y=-x+6解方程组|k ，y=X整理得：/-6x+k=0,它们有两个公共点，.3 6-4 Q0,解得 9,在第一，三象限，.0故当0 k 9或k 0时，这两个函数在同一坐标系xOy中的图象有两个公共点;（2）当k N xo y=90,故乙4 0B为钝角；当0 V k 0)上，点。在双曲线y=-匹(x 0)上,x x点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，
26、且点A,B,C,。构成的四边形为正方形.(1)求k的值:(2)求点A的坐标.【分析】(1)把8的坐标代入求出即可；(2)设O M=b,求出而=4,过。作。M _L x轴于过B作B N _L x轴于N,证 A D M g 3 A/V,推出B N=A M=3,M D=A N=a,求出。=力，求出Q的值即可.解：(1)；点B(3,3)在双曲线y=K上，X=3X 3=9；(2)VB (3,3),:.BN=0N=3,设 OM=b,在双曲线y=-A(x 0)上，x.ab4,过。作轴于M,过B作B N L c 轴于M则 N n V M =N 4 N B=90,：四边形A B C。是正方形，：.ZD AB=9
27、0,ADAB,.ZMDA+ZDAM=W,ZDAM+ZBAN=90,ZADM=ZBAN,在 A D W 和 B A N 中，Z M D A=Z N A B Z D M A=Z A N B，A D=B A A O M d B A N (A A S),：BN=AM=3,DM=AN=a,A O A=3 -a,即 AM=b+3-。=3,a=b,：ab=4,:.a=b=2,1.04 =3-2=1,即点A的坐标是(1,0).2 5.小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间y（分）与录入文字的速度（字/分）之间的函数关系如图.（1）求 y 与 x 之间的函数表达式；（2）小明在1 9：2 0开始录入，完成录入
28、时不超过1 9：3 5,小明每分钟至少应录入多少个字？（3）小明为了收看1 9：3 0 的新闻联播，将原定的录入速度提高了 2 0%,结果比原计划【分析】（1）根据录入的时间=录入总量+录入速度即可得出函数关系式；（2）根据反比例函数的性质即可得到结论求解即可；（3）设小明实际用了 f分钟，则原计划用时C+2）分钟，由题意得关于，的分式方程,解方程即可求出r 的值解：（1）设丫=上，X把（1 5 0,1 0）代入）=其 得，1 0=王迎，XX=1 5 0 0,y与 x 的函数表达式为），=侬_；x（2）.当 y=35 -20=1 5 时，x=1 0 0,在第一象限内，），随 x 的增大而减小，.小明录入文字的速度至少为1 0 0 字/分，答：小明每分钟至少录入1 0 0 个字；（3）设小明实际用了 f分钟，则原计划用时（什2）分钟，由题意得，什2=也 叫，X整理得：=国2_,t+2.录入速度提高了 2 0%,则实际录入速度为（1+20%）x 字/分，PJi J (1+20%)x=1 5 0 0；t即(1+20%)x 1 5 0 0=1 5 0 0；t+2 t解得：r=I O,经检验f=1 0是原方程的解，小明实际用了 1 0分钟完成文章录入，答：小明实际用了 1 0分钟完成文章录入.