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1、2020-2021学年东莞市东华高级中学高一下期末考试数学模拟试卷一.单 项 选 择 题（共 8 小题，每小题5 分，共 40分）1 .若复数z 满足z（2-i）=（l+4 i）（i 是虚数单位），则复数2 在复平面中对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2 .已知向量:=（-1,2）,&=（2 m-1,1）,且 大 则 丘-2 b =（）A.5 B.4 C.3 D.23 .已知过球面上三点A,B,C的截面到球心距离等于球半径的一半，且 AB C 是边长为6的等边三角形，则球面面积为（）A.42KB.4 8 1 rC.6 4 nD.6 0 i r4 .张老师将某位
2、高三学生1 0 次选填题专测的成绩进行统计，得到的统计结果如图所示，但学习委员在将成绩登记在册的时候将6 2 与 6 8 均登记成了 6 5,则两个成绩相比，不变的数字特征是（）5357623587557A.众数 B.中位数 C.平均数D.方差5 .已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（）A.事 件“都是红色卡片”是随机事件B.事 件“都是蓝色卡片”是不可能事件C.事 件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D.事 件“有 1 张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件6 .袋内装有8 个红球、2个白球，从中任取2个，其中是互斥而不对立的两事件是（）
3、A.至少有一个白球；全部都是红球B.至少有一个白球；至少有一个红球C.恰有一个白球；恰有一个红球D.恰有一个白球；全部都是红球7.在棱长为1 的正方体A B C C-A b C D，中，已知点P是正方形AA,Q T）内 部（不含边界）第 1 页 共 2 2 页的一个动点，若直线A P 与平面A 45B 所成角的正弦值和异面直线A P 与 所 成 角 的 余弦值相等，则线段。P 长度的最小值是（）V62y2 V6 4A.B.-C.D.一2 3 3 38.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为：“连 续 10天，每天新增疑似病例不超过7 人”，根据
4、过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例据，一定符合该标志的是（）A.甲地：总体平均值为3,中位数为4B.乙地；总体平均值为1,总体方差大于0C.丙地：中位数为2,众数为3D.丁地：总体均值为2,总体方差为2多 选 题（共 4 小题，每小题5 分，共 20分）9.已知M 为AABC的重心，。为的中点，则下列等式成立的是（）A.AD=AB+AC B.MA+MB+MC=0C.BM=BA+BD D.CM=CA+CD10.任何一个复数z=a+6i（其中a,beR,i 为虚数单位）都可以表示成z=r（cosO+isinO）的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：/=r（cosO+is
5、in。）”=/（cos 0+isin。）（6N+）,我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）A.|z2|=|z|2B.当 r=l,。=当时，z3=1C.当 r=l,0=&时，z=1D.当 r=l,。=洒，若为偶数，则复数/为纯虚数11.如 图 1,在边长为2 的正方形4 8 8 中，E,尸分别是AB,BC的中点，将AOE,CDF,BEF分别沿OE,DF,E F折起，使 A,B,C 重合于点P,得到如图2 所示的三棱锥P-D E F.则下列结论正确的是（）第2页 共2 2页A.P D L E FB.平面P Z）E _L平面P D F1C.二面角P -E F -。的余弦值为三
6、V 3D.点尸到平面DEF的距离为三1 2.某校对甲、乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取1 5 人的测试成绩（单位：分）用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲、乙两兴趣小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有（）甲 乙3 6 9 2 12 5 8 8 4 62 5 7 9 9 7 2 5 713 5 896 14 45 2 3 64 6 9A.甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分B.甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散C.甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数D.甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成
7、绩的众数三.填 空 题（共 4 小题，每小题5 分，共 20分）1 3 .己知a+4 i=3-历，其中a,6eR,i 为虚数单位，则|a+玩|的值为.1 4 .已知圆锥底面半径为1,母线长为3,某质点从圆锥底面圆周上一点A出发，绕圆锥侧面一周，再次回到A点，则 该 质 点 经 过 的 最 短 路 程 为.1 5 .已知样本 x i，X2,X 3，X 方差 5 2=1,则样本 Z r i+l,2 x 2+1 2 x 3+1 ，2 rn+l 的方差为.1 6 .如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个
8、为正三角形，六第 3 页 共 2 2 页个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若该二十四等边体棱长为1,则该二十 四 等 边 体 的 体 积 为.四.解 答 题(共 6 小题，第 17小 题 10分，第 18-22小题每题12分，共 70分)1 7.已知复数Zi=言+(。2-3),Z2=2+(3a+l)i(G R,，是虚数单位).(1)若 ZI-Z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a 的取值范围；(2)若 Z2是实系数一元二次方程/-以+4=0 的根，求实数。的值.第 4 页 共 2 2 页18.4 月 2 3 日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作.某市教育部门为
9、了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每周课外阅读的时长.如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.(1)已知样本中每周课外阅读时长不足4 小时的中学生有100人，求图中a,6 的值；(2)试估计该市中学生阅读时长不小于10小时的概率；(3)为了更具体的了解全市中学生课外阅读情况，用比例分配的分层抽样的方法从 10,12)和 12,14 两组中共抽取了 6 名学生参加座谈会，现从上述6 名学生中随机抽取2名在会上进行经验分享，求这2 名学生来自不同组的概率.19.已知向量之=(-1,2),b=(3,-1).(1)若 G+速)l a,求实数人的值；(2)若c
10、=2a b,d=a+2 b,求向量 与d 的夹角.第5页 共2 2页2 0.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件8：“两数之和是3的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”.(I )写出该试验的基本事件空间。，并求事件A发生的概率;(I I)求事件B发生的概率；(I I I)事件4与事件C至少有一个发生的概率.2 1.如图，在正三棱柱A8C-4B1G中，。为 AC的中点.(1)证明：A B i 平面 BCiD；(2)证明：B O _ L 平面 A4CC；(3)若求直线B C i 与平面A A 1 C 1 C 所成角的正弦值.第6页 共2 2页2 2.某玻璃工艺品加工
11、厂有2条生产线用于生产某款产品，每条生产线一天能生产2 0 0 件该产品，该产品市场评级规定：评分在1 0 分及以上的为A等品，低 于 1 0 分的为8等品.厂家将A等品售价定为2 0 0 0 元/件，B等品售价定为1 2 0 0 元/件.下面是检验员在现有生产线上随机抽取的1 6 件产品的评分：9.9 51 0.1 29.9 69.9 61 0.0 19.9 29.9 81 0.0 41 0.2 69.9 11 0.1 31 0.0 29.2 21 0.0 41 0.0 59.9 5经计算得元=兼 旗 1芍=9.9 7,S 2=余 求 1(苍-迨 2=白 沈 x 彳 一 元 2=0 0 4
12、5,其中尤为抽取的第，件产品的评分，i=l,2,1 6.该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知对一条生产线增加生产工序每年需花费 1 5 0 0 万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品评分均提高0.0 5.已知该厂现有一笔1 5 0 0 万元的资金.(1)若厂家用这1 5 0 0 万元改进一条生产线，根据随机抽取的1 6 件产品的评分，(/)估计改进后该生产线生产的产品中A等品所占的比例；(i i)估计改进后该厂生产的所有产品评分的平均数和方差.(2)某金融机构向该厂推销一款年收益率为8.2%的理财产品.请你利用所学知识分析，将 这 1 5 0 0 万元用于购买该款理财产品所
13、获得的收益，与通过改进一条生产线使产品评分提高所增加的收益相对比，一年后哪种方案的收益更大？(一年按36 5 天计算)第7页 共2 2页2020-2021学年东莞市东华高级中学高一下期末考试数学模拟试卷参考答案与试题解析单项选择题(共8 小题，每小题5 分，共 40分)1 .若复数z满足z (2-i)=(1+4。(i是虚数单位)，则复数2在复平面中对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【解答】解：由z (2 7)=(l+4 i)得z=卷耦才=争=1 +所以彳=一q一卷i,所以在复平面中对应的点(-|,-|)在第三象限.故选：C.2 .已知向量及=(-1,2),b=
14、C2m-1,1),且展_ L b,则向一2 b|=()A.5 B.4 C.3 D.2【解答】解：向量a =(-1,2),b=(2 m -L 1),且可得-(-2/M-1)+2=0,解得 m=p所以b =(2,1),a 2b=(-5,0),所以以-2b5.故选：A.3.已知过球面上三点A,B,C的截面到球心距离等于球半径的一半，且A B C是边长为6的等边三角形，则球面面积为()A.4 2 T l B.4 8 n C.6 4 n D.6 0 n【解答】解：根据题意，整理出几何体，如图所示：第8页 共2 2页 A B C 是边长为6的等边三角形，所以A 8=B C=A C=6,设球的半径为R,p
15、2 _ _ _ _ _ _则0 0 1 =p A0r=1 V 62-32=2 V 3,所以R 2 =（2 遮）2 +（$2,整理得：R=4,所以S 跌=4 -7 T -42=6 4 7 r.故选：C.3.张老师将某位高三学生1 0 次选填题专测的成绩进行统计，得到的统计结果如图所示，但学习委员在将成绩登记在册的时候将6 2 与 6 8 均登记成了 6 5,则两个成绩相比，不变的数字特征是（）5 3 5 76 2 3 5 87 5 5 7A.众数 B.中位数 C.平均数 D.方差【解答】解：两个成绩比较，具体情况如下：众数中位数平均数方差张老师7 56 46 56 7.4学习委员6 56 56
16、56 5.6观察可知，平均数相同，众数、中位数和方差均不相同.故选：C.4 .已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（）A.事 件“都是红色卡片”是随机事件第9页 共2 2页B.事 件“都是蓝色卡片”是不可能事件C.事 件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件D.事 件“有 1 张红色卡片和2 张蓝色卡片”是随机事件【解答】解：袋中有大小、形状完全相同的5 张红色、2 张蓝色卡片，从中任取3 张卡片，在 A 中，事 件“都是红色卡片”是随机事件，故 A 正确；在 B 中，事 件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故 8 正确；在 C 中，事 件“至少有
17、一张蓝色卡片”是随机事件，故 C 错误；在。中，事 件“有 1 张红色卡片和2 张蓝色卡片”是随机事件，故。正确.故选：C.6.袋内装有8 个红球、2 个白球，从中任取2 个，其中是互斥而不对立的两事件是()A.至少有一个白球；全部都是红球B.至少有一个白球；至少有一个红球C.恰有一个白球；恰有一个红球D.恰有一个白球；全部都是红球【解答】解：袋内装有8 个红球、2 个白球，从中任取2 个，对于4,至少有一个白球和全部都是红球是对立事件，故 A 错误；对于B,至少有一个白球和至少有一个红球能同时发生，不是互斥事件，故 8 错误；对于C,恰有一个白球；恰有一个红球同时发生，不是互斥事件，故 C
18、错误；对于Q，恰有一个白球和全部都是红球，不能同时发生，是互斥而不对立事件，故。正确.故选：D.7.在棱长为1 的正方体ABC。-AbCZT中，已 知 点 尸 是 正 方 形 内 部(不 含 边 界)的一个动点，若直线A P与平面AABB所成角的正弦值和异面直线A P与。所成角的余弦值相等，则线段O P长度的最小值是()V6 272 V6 4A.B.-C.D.一2 3 3 3【解答】解：如图，以。为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，可设 P(x,0,z),由 A(1,0,0),C(0,1,1),D(0,0,0),第1 0页 共2 2页AP=(x-1,0,z
19、),DC=(0,1,1),ZM=(-1,0,0),设直线A P 与平面AABB所成角为0 和异面直线A P 与 DC所成角为a,可得 cosa=cos -.7-亍,+(x 1)sin0=|cos=-X.,0 x 2,10总体均值为2,总体方差为2时，没有数据超过7.故。正确.故选：D.二.多 选 题(共 4 小题，每小题5 分，共 20分)9 .己知M为 AB C的重心，。为B C的中点，则下列等式成立的是()A.AD=AB+AC B.MA+MB+MC=0T 2 T I T T 1-2 TC.BM=锣4+考BD D.CM=CA+CD【解答】解：因为。为3 C中点，所 以 几=AB+BD=AB+
20、BC=AB+(AC-AB)=|(/W+/1 C),A 正确；由 M为a AB C 的重心可得，MA=DA=,x (一如6 +A)=-A B +AC),同 理 麻=一号(赢+品1),MC=-|(M +C B),所 以 总+薪+靛=3,B正确；因为麻=一号(赢+品)=_ 寺(BA+2BD)=_4小 一|丽，T 1 T 2 T所以 B M =掾B A+(B D,C M =1(O 1 +C S)=|(O 1 +2CD),正确.故选：ABD.1 0 .任何一个复数z=a+Z?i (其中a,b&R,i为虚数单位)都可以表示成z=r (c o s O+i s i n。)的形式，通常称之为复数z的三角形式.法
21、国数学家棣莫弗发现：z=r (c o s O+i s i n。)=/(c o s e+，s i n 0)(N+),我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是()A.西=团2B.当 r=l,。=即寸，z3=lC.当 r=1,0=掾时，z=易D.当r=l,。=今时，若为偶数，则复数/为纯虚数第1 2页 共2 2页【解答】解：V z=r (c o s 0+/s i n 0),.=1(c o s 2 0+zs i n 2 0),则国=7,|zF=|z2|=|z|2,故 4 正确；当 r=l,0=.时,z=c o s +s i n-,z3=c o s(3 X j)+isin(3 X,)=
22、c o s i r+i s i m r=-1,故B 错误；当 r=l,。=劄寸，z=c o s +zs i n =-+i,则2 =J-警 K 故 C 正确；3 3 3 2 2 2 2当 r=l,。=J 时，z=c o s +zs i n,取=4,则 z=c o s n+i s i n i t=-1,故。错误.4 4 4故选：AC.1 1.如 图 1,在边长为2的正方形A8 C 中，E,尸分别是AB,8c的中点，将AO E,CDF,Z XBEF分别沿Q E,DF,E F 折起，使 A,B,C 重合于点P,得到如图2所示的三棱锥P-OE F.则下列结论正确的是()图1图2A.P D L E FB.
23、平面尸D E_ L 平面P ）尸1C.二面角P-E F-。的余弦值为V3D.点 P到平面O E 尸的距离为不【解答】解：对于A,取 E F 的中点”，连接尸H,DH,由 原 图 知 和 Q E尸为等腰三角形，所以P _ L EF,D H L E F,所以E E L 平面P D H,所以P Z 5 _ L E凡 A 正确；对于8,根据折起前后，可知P E,PF,P 力两两垂直，于是可证P E_ L 平面P C F,所以平面P L E_ L 平面P D F,B 正确；对于C,由A 选项可知/PHD为二面角P-E F-D的平面角，由 正 方 形 的 边 长 为 2,因 此PE=P F=1,P H=与
24、,。=2&-孝=挈，P D=yjDF2-PF2=2,第1 3页 共2 2页则c o s N P H D=偌=I，所以。正确；对于 D,丛D E F 的面积为 SADEF=JZ)F*1 2-*(|FF)2=1 X V 2 X J(V 5)2-(1 V 2)2=2 14 62 5 71 4 42 3 66 9A.甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分B.甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散C.甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数D.甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数【解答】解：由茎叶图可知，甲组数据集中在6 0 分以上，而乙组数据比较
25、分散,可知甲组的平均分数高于乙组，故 A 正确，B 错误；甲组的中位数为7 7,乙组中位数为6 4,故 C 正确;甲组的众数为7 9,乙组众数为6 4,故。错误；故选：AC.三.填 空 题(共4小题，每小题5分，共20分)V 2 3 3TX72=291 i 1 1所以三棱锥D -P E F的体积为 SAD EF/Z=步PEF，PD=6X*X I X 1 X2,解 得 仁 g =I，所以点P到平面啊 的 距离为右。错误.故选：ABC.1 2.某校对甲、乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取1 5 人的测试成绩(单位：分)用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲、
26、乙两兴趣小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有()甲3 62 5 82 5 7 9 913 5 89876乙9第1 4页 共2 2页1 3 .已知a+4 i=3-6i,其中a,b e R,i 为虚数单位，则l a+9的 值 为 5 .【解答】解：a+4 i=3-标，.J：=3 即 q=3,b=-4.1 4 =一 b：.a+bi=3-4/|=y/32+(-4)2=5.故答案为：5.1 4.已知圆锥底面半径为1,母线长为3,某质点从圆锥底面圆周上一点A 出发，绕圆锥侧面一周，再次回到A 点，则该质点经过的最短路程为_36 _.【解答】解：圆锥的侧面展开图是扇形，从 A 点出发绕侧面一周，再 回
27、 到 A 点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对弦，转化为求弦长的问题如图所示：0设展开的扇形的圆心角为a,圆锥底面半径r=1 c m,母线长是0 A=3 c mf:.根据弧长公式得到2n Xl=a X3,2 2，a=W，即扇形的圆心角是A ZAOH=6 0 ,，动点P自A 出发在侧面上绕一周到A 点的最短路程为弧所对的弦长：A A1=2 A”=2XO As i n N AO =2 x 3 x 寸=3 遍.故答案为：3 V3.1 5.已知样本加，X2，X3，x 方差，=1,则样本 Zr i+l,2x 2+1,2x 3+1,，2x +l 的第 1 5 页 共 2 2 页方差为 4【解答】解：样本
28、XI，X2,X3，X 方差S 2=1,.样本 2x i+l,2x 2+1 2x 3+1，2x”+l 的方差为：4 s 2=4.故答案为：4.1 6.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若该二十四等边体棱长为1,则该二十四等边体的体积为T-.-3-【解答】解：由题知原来正方体棱长为V L 则正方体的体积为2注,V2又截去的8个三棱锥为全等三棱锥，都有三条互相垂直的棱长且棱长为三，故截去体积为8 x界?x4x哈2=亨，则 24 等边体的体
29、积为V=2a一 模 =当.故答案为：四.解 答 题（共6小题，第17小 题10分，第18-22小题每题12分，共70分）1 7.已知复数Zi =急+（。2-3）。Z2=2+（3+1）i（旌 R,i 是虚数单位）.（1）若 Z L Z 2 在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；（2）若 Z2是实系数一元二次方程f-4 x+4=0 的根，求实数。的值.【解答】解：（1）因为Z =2+（a2 3）3 Z2=2+（3 a+l）i,所以 z i -Z2=2 -2+（J-3“-4）i,-.2 0由题意可得，。+2,a2-3 a-4 0解可得，-2 a 1 23X I 04,将 这 1 50 0 万元用于改进一条生产线一年后收益更大.第2 2页 共2 2页