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1、2022年普通高等学校招生全国统一考试(数学)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合 M=x&1,则 M C N=()x x3A.Ix|0 x 2 1B.x-x 3C.x34x16D.【答案】D2.若i(l z)=l,则 z+N=()A.-2B.-1C.1【答案】D3.在AABC中，点。在边AB上，8 0 =2 4 4.记 巨=加，前=万，A.3m 2nB.2m+3nC.3m+2nD.2则 丽=()D.2m+3n【答案】B4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.
2、5m时，相应水面的面积为MO.Okm水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为18O.Okm2,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(77 2.65)()A.1.0 xl09m3 B.1.2xlO9m3 C.1.4xlO9m3 D.1.6xl09m3【答案】C【解析】【详解】依题意可知棱台的高为MV=157.5 148.5=9(m),所以增加的水量即为棱台的体积V.棱台上底面积 S=140.0km2=140 xl06m2.下底面积 S=180.0km2=180 x 106m2.A V =1/2(S +S,+V7)=1X9X
3、(1 4 0X1 06+1 8 0X1 06+V 1 4 0X1 8 0X1 0,2)=3x(320+60V7)x 106 (96+18x 2.65)x 107=1.437xl09 1.4xl09(m3).故选：C.5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()【答案】D6.记函数/(x)=si n(twx+?2 7 r+伏。0)的最小正周期为7.若FT(乃，且y=f(x)的图象关于点(中心对称，则()A.13B.-C.5D.322【答案】A7.设a =0.1 e叫b =g,c =-l n0.9，则()A.a h cB.c h aC.c a hD.acb【答案】c8.已
4、知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为3 6%,且3 /0,当2 n心3百 时，V /+，即函数/(力 在.，+8上无零点,3 1 3 I 3 综上所述，函数X)有一个零点，故B错误;令。）=/一，该函数的定义域为 R,（一 x）=（-x）3 （一力=一寸+%=-（%）,则X）是奇函数，（0,0）是（X）的对称中心，将（X）的图象向上移动一个单位得到/（X）的图象，所以点（0,1）是曲线y =/（x）的对称中心，故 C正确；令/（%）=3%2 _ 1 =2,可得元=1,又/=当切点为（1,1）时，切线方程为y =2 x 1,当切点为（一 1,1）时，切线方程为y =2
5、x+3,故 D错误.故选：A C1 1.已知。为坐标原点，点 4 1,1）在抛物线。：/=2 勿（20）上，过点8（0,-1）的直线交 C于 P,Q两点，则（）A.C的准线为y =-l B.直线A B 与 C相切C.|O P H O Q|Q A D.|8 P|-|B Q|B A|2【答案】B C D【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A,联立A B 与抛物线的方程求交点可判断B,利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点A的代入抛物线方程得1 =2”,所以抛物线方程为f=y,故准线方程为y-7，A 错误；41-（-1）阳B=一 =2,所以直线4B的方程为y =2 x 1,1 （）y=2x
6、-l联立，可 得/一 2 +1 =0,解得x =l,故 B正确；/=y设过B的直线为/,若直线/与y 轴重合，则直线/与抛物线c只有一个交点，所以，直线/的斜率存在，设其方程为y =Ax-i,2（西,）,。（,必），y=联立匕一，得 一 6+1=0，x-=y=公 一4 0所以，x1+x2=k,所以2或攵 1 02 b&+=&+个，所以 I C P I|。|=弘%(1 +X )(1 +必)=J依I X 3 W|2=|。4|2,故 C 正确；因为|3 尸|=J l+公|x j,|B Q|=7 1 +A:2 I x21-所以 IBPHBOr a+X Mw E+d 5,而 8 4=5,故 D 正确.故
7、选：B C D1 2.已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R,记g(x)=/(x),若-g(2 +x)均为偶函数，则()A./(0)=0 B.g,|=0 C./(-1)=/(4)D.g(-l)=g(2)【答案】B C【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】因为-g(2 +x)均为偶函数，所以/(3一2%=/(1 +2 x)即/(|一*)=/1 +)，g(2 +x)=g(2-x),所以/(3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),则f(-4)=f(4),故 C正确；3函数Ax),g(x)的图象分别关于直线x =
8、1,x =2对称，2又g(x)=7(x)，且函数/(x)可导，,3、所以g =，g(3 x)=g(x),所以 g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x),所以 g(一；卜 g ；)=0，g(l)=g6=-g(2)，故 B 正确，D错误；若函数f(x)满足题设条件，则函数/(x)+C (C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关健是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质(必要时结合图象)即可得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
9、1 3 .1 1 的展开式中y 6 的系数为（用数字作答）.【答案】-2 81 4 .写出与圆r+y 2 =1和（X 3）2+（4）2 =1 6 都相切的一条直线的方程3 5 7 25 答案y=xH 或 =或兀=一 4 4-24 24【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆x?+y2=i 的圆心为。（0,0）,半径为1，圆（x 3/+（y-4 尸=1 6 的圆心。|为（3,4）,半径为4,两圆圆心距为J 3 2+4 2 =5,等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，433当切线为/时，因为勺叫=,所以勺=一彳，设方程为丁=一 4工+）。至 H 的距离53 5，解得=一，所以/
10、的方程为旷=%+-,44 4当切线为?时，设直线方程为依+y+p=0,其中p 0,%（）,舟会伙+4+p|_由题意,解得4,1 +公k =_ L24，_y 7 x2-5-25 24 24p=24当切线为时，易知切线方程为x=-l，3 5 7 25故答案为：y=一一x+-y=x-x =-.15.若曲线？=（+。把*有两条过坐标原点的切线，则4的取值范围是【答案】（-8,T）U（0,+8）【解析】【分析】设出切点横坐标X。，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于X。的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得。的取值范围.【详解】.,y=（x+a）e,y=（x+l+a）e*,设切
11、点为伍,%），则%=（为+a）e%,切线斜率&=（距+1+a）e*,切线方程为：y-（毛+a）e*=（毛+l+a）e*。（x-/），切线过原点，；.一（毛+a）e=（/+l+a）e（一 天），整理得：尺+，优0-。=0,/切线有两条，=/+4a 0,解得a 0,”的取值范围是（y,-4）u（0,+。），故答案为：（00,-4）8 0）,C的上顶点为A,两个焦点为耳，K,离心率a-b-为 过 耳 且 垂 直 于AK的直线与c交于。，E 两 点,|。|=6,则AA D E的周长是【答案】13【解析】2 2【分析】利用离心率得到椭圆的方程为1万+a=1，即3/+4/_ 1 2。2=0,根据离心率得到
12、直线AB的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线0 E的斜率，写出直线。E的方程：x=y/3y-c,代入椭圆方程3/+4 2一2。2=0,整理化简得到：13y2 一66 cy 9c2=0,利用弦长公式求得c=g,得a=2c=1,根据对称性将&A D E的周长转化为鸟。E的周长，利用椭圆的定义得到周长为4a=13.c 1【详解】.椭圆的离心率为e=-=,，a=2 c,，从=Q2 C2=3C2,.椭圆的方程a 22 2为 J+当=1,B P 3X2+4/-12C2=0,不妨设左焦点为G，右焦点为K,如图所4 c 3cT T示，.A g=a,OF2=C,a=2c,为正三角形，.过巴且垂直于4工的直线与
13、C交于。，E两点，O E为线段A6的垂直平分线，.直 线 的 斜率 为 且，斜率倒数为百，直线Q E的方程：x=y/3 y-c,代入椭圆方程3 3X2+4/-12C2=0,整理化简得到：I3y2-6y/3cy-9c2=0,判别式.=(6 有c+4X13X9C2=62X16XC2,S=+(|x-y2=2 x*=2 x 6 x 4 x/=6，13 m-13c=,得 a=2c=,8 4为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2,AE=E g,.ADE的周长等于玛O E的周长，利用椭圆的定义得到AF2DE周长为DF2+EF2+DE=|DF21+|EF21+|DFt|+|EFt|=|DFf+DF
14、21+|+|匹|=2a+2。=4a=13故答案为：13.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.f 5 1 17.记S“为数列 为 的前项和，己知q=1,1)是公差为3的等差数列.(1)求 q 的通项公式；1 1 1 c(2)证明：-1-1-2.4 a2 an【答案】（1）a=-”2（2）见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得广=1+3（-1）=工 一，得到S=（2）%,利 用 和 与 项 的 关 系 得 到 当 时，3a=S-Sn,=（+2），_（+1）%T进而得:上匚=生斗_,利用累乘法求得an=,检验对于n=1也成立，得到%的通项公式；
15、（2）由（1）的结论，利 用 裂 项 求 和 法 得 到+=211一一工，进而证得.4 a2 an I n+J【小 问i详解】*.*a.=,/.S.=,=1,=1,6又S卜是公差为-的等差数列，3为 3；3,七 3当2 2时，S,+q C _（+2）。“（+1）%,?一 3 一 2，整理得：（一 1）。=（+1）。,1，即 一2-二an-+1n-1an=aa.a,an_x altx x x.x x i 3 4 n +1 几(+l)=lx X X.X-X-=-2 3 n-2 n-2显然对于=1也成立,an的 通 项 公 式%=I.）【小问2详解】，=，-=2 化 an+1)n n +1)1 8.
16、记A B C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c o s A1 +s i n As i n 2 31 +c o s 2 8（1）若。=-,求 5；32 2（2）求优:少的最小值.71【答案】（1）6（2）4 7 2-5-【解析】ccq A qin 3 R【分析】（1）根 据 二 倍 角 公 式 以 及 两 角 差 的 余 弦 公 式 可 将 卢 沁 化成1 +s m A 1+c o s 2 5j rc o s（A +B）=s i n B,再结合OcBc,即可求出；（2）由（1）知，C =-+B,A =-2 B,再利用正弦定理以及二倍角公式将“一”2 2 c22化成4 c o s 2
17、8+鼻 5,然后利用基本不等式即可解出.c o s-8【小 问1详解】,工 c o s A s i n 2 8 2 s i n BcosB s i n 8 n i 1因为-=-=-=-,即1 +s i n A 1 +c o s 2 5 2 c o s-B c o s 8s i n 8 =c o s A c o s B-s i n A s i n B =c o s而0 0,所以一 C 7 C,0 3 2V8-5=4V2-5-cos B cos B当且仅当cos2 B=等时取等号，所以“二忙的最小值为4 0 5 19.如图，直三棱柱ABC-4 3 c l的体积为%的面积为2夜.（1）求A到平面A/
18、C的距离；（2）设。为AC的中点，A4=AB,平面ABC_L平面A 8A 4,求二面角A-B O-C的正弦值.【答案】（1）丘B2【解析】【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC1.平面AB4A,建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【小 问1详解】在直三棱柱ABC-A 4G中，设点4到平面B C的距离为h,则匕-ABC=3 SB C ,h=匕11T B e=S-ABC.A A =-y A B C-C,=解得 h y/2,所以点A到平面ABC的 距 离 为 血：【小问2详解】取4 8的中点E,连接AE,如图，因为A A=A B,所以又平面ABC J_平面
19、ABBY,平面A B en平面AB44=A B,且A Eu平面所以AEJ_平面ABC,在直三棱柱A B C 4 4 G中，B B J平面A B C,由BC u平面ABC,BB,1 B C ,又AE,BB|u平面AB4A且相交，所以平面A3B1A,所以8C,R4,84两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得4E=血，所以A4=A6=2,A B =2日所以BC=2,则 A（0,2,0）,A（0,2,2）,B（0,0,0）,C（2,0,0），所以 A 0的中点 D（l,l,l）,则 而=（1,1,1）,丽=（0,2,0）,前=（2,0,0）,_ m-B D =x+y+z=0设平面4
20、?）的一个法向量，w =（x,y,z）,则（_ _ _ _ _.，mBA=2y=0可取而=（1,0,-1）,设平面B D C的一个法向量3=（。,仇。），则v 八 BD=a+b+c=Om BC=2。=0可取 i =(O,l,T),则 cs 仙)=1 _ 1V 2 x /2-2所以二面角A 8。一。的正弦值为20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100人（称为对照组），得到如下数据:不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%
21、的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病P(BA),.P(B|A)P出|A)勺 P(B|A)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.(i)证明:P(A 8)P(AB)P(AB)P(AB)（i i）利用该调查数据，给出P（A|6）,P（A|耳）的估计值，并 利 用（i）的结果给出R的估计值.附蜉n(ad-be)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【答案】（1）答案见解析（2）（i）证明见解析；（ii）R=6；尸(群 90.0500.0100.0
22、01k3.8416.63510.828【解析】【分析】(1)由所给数据结合公式求出A：?的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有9 9%的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i)根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(i i)根 据(i)结合已知数据求R.【小问1 详解】山已知长2 =n(ad-bc)2=2 0 0(4 0 x 9 0-6 0 x 1 0)2 =1 口 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-5 0 x 1 5 0 x 1 0 0 x 1 0 0 ，又 P(K?2 6.6 3 5)=0.0 1,2 4 6.6 3 5,所以有9 9%的把握认为患该疾
23、病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.【小问2详解】，.皿P(8|A)P(BA)PAB)P(A)P(AB)P(A)因为 R =-=-=-=-,P(B|A)P(BA)P(A)P(AB)P(A)P(AB)f r r l 尸(A B)P(B)P(AB)P出)Wr 以/l)上，直 线/交 C于尸，。两点，直线ci ci _ 1AP,AQ的斜率之和为0.(1)求/的斜率；(2)若 t a n N P A Q =20,求 P A Q 的面积.【答案】(1)-1；成,9【解析】【分析】(1)由点4 2,1)在双曲线上可求出。，易知直线/的斜率存在，设/:y =+m,。（%,%）,。（七,%），再根据心P+
24、怎0=0,即可解出/的斜率；（2）根据直线AR AQ的斜率之和为0可知直线A P,A Q的倾斜角互补，再根据t a n Z P A Q =2及即可求出直线AP,A Q的斜率，再分别联立直线AP,A Q与双曲线方程求出点P,Q的坐标，即可得到直线P Q的方程以及尸。的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线P Q的距离，即可得出 Q 4 Q的面积.【小 问1详解】V2 V2 4 1因为点A（2,l）在双曲线C：、=1（1）,所 以=一 一z =1,解得“2=2，a2 a2-a2 a2r2即双曲线C:二 一y 2=i2易知直线/的斜率存在，设/:丁=依+2,P（%，X）,Q&,，2），y-kx+mX
25、2 2 ,可得，-y=1.2（1一2左 4tnkx2m2 2=0,所以，X j 4%2=4tnk22212m2+2联立A=16 m+4（2加2+2）（2女2-1）（）=rn2-1+2k2 0.所以由AP+&P=0可得，三+上 三=0,乙 X 乙即（3-2）（仇+加+-2）（例 +m-l）=0,即 2kxi”+（加一1一2攵）（+切-4（刊-1）=0,“2m2+2,=+加=Z（x 2）+1过点A（2,1）,与题意不符，舍去,故左=-1.【小问2详解】不妨设直线PA PB的倾斜角为a,尸（a=，其与两条曲线y =/(x)和y =g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
26、【答案】(1)a=l(2)见解析【解析】【分析】(1)根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.(2)根 据(1)可得当1时，e*x=8的解的个数、x l n x=8的解的个数均为2,构建新函数(x)=e*+I n x-2x,利用导数可得该函数只有一个零点且可得/(x),g(x)的大小关系，根据存在直线 与曲线=/)、y =g(x)有三个不同的交点可得匕的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.【小 问1详解】/。)=/一分的定义域为尺，而f(x)=e-a,若a 40,贝i J/(x)0,此时/(%)无最小值，故a 0.8(%)=以-111
27、%的定义域为(0,+8),而g (x)=a=,LX X当xc l n a时，f(x)l n a时，fx)0,故/(x)在(I n a,+8)上为增函数，故/(x)*n =/(l n a)=a _ a l n a.当0 x!时，g (x)0,故g(x)在(，,+oc 上为增函数，a a)故 g OOm i n =g a)a因为f(x)=e*-Q X和g(x)=以一 I n%有相同的最小值，1(x 故l-l n =Q-a l n a,整理得到-=na,其中 a 0,a1 +。,、a 1 /2 1 a?1设 g(a)=；-l n a,a 0,则 g ()=-7 一二=-1时，考虑e、一x=Z?的解的
28、个数、x l n x=Z?的解的个数.设S(x)=e，v-x-Z?,S,(x)=ex-1,当x 0时，S(x)0时，S(x)0,故S(x)在(F,0)上为减函数，在(0,中)上为增函数，所以 S(x)而.=S(0)=l h 0,s(b)=eh-2b,设“()=-力，其中匕 1,则/()=9 20,故 在(1,+00)上为增函数，故“(力)(l)=e-2 0,故S 0,故5(力=6 一%-力有两个不同的零点，即ex=b的解的个数为2.设T(x)=x-l n x-8,T x)-,当0 x l时，T)l时，F(x)0,故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+)上为增函数，所以 丁()血=1)=1
29、 方 0,T(e )=e-2 b 0,T(x)=x-l n x 力 有两个不同的零点即x l n x =b的解的个数为2.当6 =1,由(1)讨论可得x-l n x =b、e 一x =Z?仅有一个零点，当力 l.设/z(x)=e*+l n x-2 x,其中x 0,故(x)=e +L-2,X设s(x)=e -x-l,%0.则s(x)=e*-l 0,故s(x)在(0,+o o)上为增函数，f e.v(x)5(0)=0 B P ev x +l，所以(x)x+J l N 2-l 0,所以(x)在(0,+o。)上为增函数，1 -L 9?而(l)=e _2 (),/z(_)=ee-3 -r e-3-0.e
30、 e e 故(x)在(0,M)上有且只有一个零点X。，/X。1且：当 O X Xo 时，人(%)0即6*_了 1 _1 1 1*即/(%)x()时，()()即 e*-x x l n x 即/(x)g(x),因此若存在直线y =8与曲线y =/(x)、y =g(x)有三个不同 交点,故。=/(/)=g(/)l,此时e*x =8有两个不同的零点玉,/(菁 0 x0),此时x-l n x =力有两个不同的零点/，*4(%1%4)，故 e*-X=0,eA-x0=b,x4-nx4-b=0,xo-l n xo-Z?=O所以/_/?=In /即=x4 即 e*_(毛 _ )_=(),故-b为方程e*x =的解，同理x（）-b也为方程e*x =Z?的解又e*-玉=0 可化为e*=玉 +b 即 X-In（x,+b）=0即（石 +）一l n（玉 +。）一。=0,故玉+人为方程x-l n x =。的解，同理与+b也为方程x-l n x =。的解，所以%,为=优 一 /一。，而。1，故x0 =x.-b,即 +%=2-%.玉=尤0-6【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.