《2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）21 与三角形、四边形相关的压轴题（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）21 与三角形、四边形相关的压轴题（解析版）.pdf（72页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题2 1与三角形、四边形相关的压轴题解答题1.（2022黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABC。的边AB在 x 轴上，顶点。在 y 轴的正半轴上，为 8 c 的中点，0 4、。2 的长分别是一元二次方程d-7 x +12=0 的两个根4tan NDAB=于 动点尸从点。出发以每秒1个单位长度的速度沿折线DC-CB向点3 运动，到达8 点停止.设运动时间为r秒，APC的面积为S.（1）求点C 的坐标；（2）求 S 关于f 的函数关系式，并写出自变量1的取值范围；（3）在点P 的运动过程中，是否存在点P,使！CMP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.1
2、 4-2/（0 /7）【答案】点 C 坐标为（7,4）（2）S=，廿 一 史 2 存在点P（4,4）或（|,4）或|1,4）,使！CMP是等腰三角形4【分析】（1）先求出方程的解，可得。4=3,0 3 =4,再由tanND4B=,可得。=4,然后根据四边形ABC。是平行四边形，可得CD=7,NO0C=NAOD=9O。，即可求解；（2）分两种情况讨论：当0,7 时，当7&12时，过点4 作 4 尸 _ 15。交 C 8的延长线于点F,即可求解；（3）分三种情况讨论：当 CP=PM时，过点M 作 M FLPC于点F；当PC=C M=|时；当时，过点 M 作 MG_LPC于点G,即可求解.(1)解：
3、x2-7x+12=0,解得西=3,=4,OA是平行四边形，/.DC=AB=3+4=7,DC/AB,.点C 坐标为（7,4）；（2）解：当0,r 7 时，S=；CP.OO=；（7-r）-4=1 4-2 f,当7C=12O%从而得出.AOC为钝角三角形，故以A E、AD,AC为边的三角形是钝角三角形.请你根据小明的思路，写出完整的证明过程.(2)【拓展迁移】如图，四边形ABCO和四边形3G正都是正方形，点A在EG上.试猜想：以A E、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由.若AE2+4G?=1 0,试求出正方形A8CD的面积.【答案】(1)钝角三角形；证明见详解(2)直角三角形；证明见详解；Sm
4、 A B C D=5【分析】(1)根据等边三角形性质得出，BE=BD,AB=CB,NEBD=NABC=60,再证 的!丝OBC(SAS)NAEB=NCDB=60,A E=C D,求出/AO C=/4O 8+/BO C=120。，可得AQC为钝角三角形即可；(2)以A E、AG,AC为边的三角形是直角三角形，连结C G,根据正方形性质，得出EB=GB,AB=CB,ZBEA=ZBGE=45Qf 再证 EBA丝G8C(S A S)得出 4族 CG,ZBEA=ZBGC=45,可证 AGC为直角三角形即可；连结8 0,根据勾股定理求出d O j/U L+C G?=J 1 6,然后利用正方形的面积公式求解
5、即可.(1)证明：ABC与砧。均为等边三角形，:BE=BD,AB=CB,ZEBD=ZABC=609：.NEBA+/ABD=NABD+NDBC,：./EBA=/D BC,在ZiEBA 和 OBC 中，EB=DB/82+6210-：.C B =A C-A B =Q-(=4,e C PCB很 小 值=8+CB=8+4=12解：A 3与 用 的数量关系是A8=2HG.理由是：如图9 4,由折叠可知Nl=/6,/3 =A8,8BJ.AE.D图9-4E过点8 作BM/DE,交A E于点M,AB/DE,：.AB/DE/BM,Z1=Z6=Z5=ZAED.AB=BM=A B,二点是A M中点.,/E4B=2ZA
6、EB1,即 N6=2Z8,二 Z5=2Z8.；Z5=Z7+Z8./.Z7=Z8.二 S M =E M .:=E M =AB1=A B.点G为A E中点，点，是A M中点，A G -A E,A H -A M .2 2H G =A G-A H (A E-A M)=E M .；.H G =-AB.2/.A B =2 H G .【点睛】此题考查了矩形的性质、折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，根据等腰三角形的性质证明.4.(2022吉林)如图，在.A B C中，Z A C B =9Q,ZA=3O,A B=6 c m.动点厂从点A出发，以2cm/s的速度沿边A 8向
7、终点8匀速运 动.以R 4为一边作Z W =120。，另一边尸。与折线A C-C B相交于点Q,以尸Q为边作菱形P Q M N,点N在线段依 上.设 点 户 的运动时间为x(s),菱形PQMN与.A18 c重叠部分图形的面积为y(cn?).cc(备用图)(1)当点Q在边A C上时，p。的长为 c m；(用含X的代数式表示)(2)当点M落在边8 c上时，求x的值；(3)求 关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.【答案】(1 3(2)12国y=-7+1 86x-9 4辰-6石x +9 60 4 x 4 13l x -21-X-3【分析】(1)先证明N A=N A Q P=3 0。，B P
8、A P=P Q,根据题意有A P=M,即P Q=2 x；(2)当例点在8 c上,。点在A C上，在(1)中已求得AP=PQ=2 x,再证明M N 8是等边三角形，即有BN=MN,根据 A B=6 x=6 c m,即有 x=l (s)；(3)分类讨论：当0 1,且。点在线段A C上时，过。点作Q G L A 8于G点，设QM交8 c于尸点，M N交 B C 于 E点、,过 M 点作N H_LE F 于 H 点、,先证明E N 8是等边三角形、厂是等边三角形，重叠部分是菱形P Q M N的面积减去等边4加后尸的面积，求出菱形P Q M N的面积和等边A M E F的面积即可，此时需要求出当。点在C
9、点时的临界条件；当 l,且Q点在线段A C上时，过Q点作QGLA3于G点，设交BC于F点，MN交BC于 E点、,过M点作N H D 于H点，如图,:PQ/MN,；.Z MNB=Z QPN=6Q,：ZB=60,.ENB是等边三角形,同理可证明&MEF是等边三角形:.BN=NE,ZMEF=60,ME=EF,:AP=PQ=PN=MN=2x,AB=6,：.BN=6-AN=6-4x,：.ME=MN-NE=2x-BN=6x-6,JMHLEF,.MH=MExsinNMEH=(6x-6)xsin60=(3x-3)6，.曲 的面积为：S/：包的!(6一)心-3回9向x，QG二 尸Qxsin Z QPN=2x/3
10、x,菱形PQMN的面枳为PNxQG=2xx3x=2坦,.重叠部分的面积为y=S菱 吩2 M W%”历=2后2-9 8(X-I)2=_ 7 6/+18信一9后.当。点与C点重合时，可知此时N点与8点重合，如图，V ZCPB=ZCBA=60,.PBC 是等边三角形，:.PC=PB,：AP=PQ=2x,：.AP=PB=2x,3：.AB=AP+PB=4x=6,则 后二，23即此时重合部分的面积为：y=-7 x2+18/3x-9x/3,K x ;当|v x 3时，此时。点在线段8 c匕 此时N点始终与B点重合，过。点作QGLAB于G点，如图,：AP=2x,：.PB=AB-AP=6-2x,：ZQPB=ZA
11、BC=60,：.APQB 是等边三角形，PQ=PH,同时印证菱形PQMN的顶点N始终与8点重合,QG=PQxsinNQ/W=(6-2x)xsin60=G(3-x),S&RBQ=；x P BxQ G=-x(6-2x)x73(3-x)=V 3x2-673%+9 ,此时重叠部分的面积y=S&BQ=忌-6&+9 6 ,2氐 2综上所述：y=-7 6 W+18石x-9 6后-6&+9 604x413 x 2-x 32【点睛】本题考查了一次函数的应用、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，理清运动过程中。点的位置以及菱形PQMN的位置是解答本题的关键.解答本题需要
12、注意分类讨论的思想.5.(2022黑龙江牡丹江)在菱形43CO和正三角形BG尸中，ZABC=60,P 是O F 的中点，连接P G、PC.(1)如 图 1,当点G 在 8 c 边上时，写出PG 与 PC 的数量关系.(不必证明)(2)如图2,当点尸在A 8的延长线上时，线段PC、PG 有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；(3)如图3,当点F 在 C 5的延长线上时，线段P C、PG 又有怎样的数量关系，写出你的猜想(不必证明).【答案】(l)PG=囱 PC(2)PG=g P C ,证明见解析(3)PG=G PC【分析】(1)延长G P交OC 丁点E,利用APE哈/PGF(SAS),得出
13、PE=PG,D E=F G,得到CE=C G ,CP是EG 的中垂线，在Rf CPG中，NPCG=60。，利用正切函数即可求解；(2)延长G P交D 4于点E,连接EC,G C,先证明名FPG(ASA),再证明COE四CBG(SAS),利用在Rf-CPG中，/PC G =60。，即可求解；(3)延长 G P 到 H ,使.P H =P G,连接 CH,CG,D H,作 FE/D C,先证,再证 HDCZGBC,利用在R心CPG中，NPCG=60。，即可求解.(1)解：如 图 1,延长G P交O C于点E,DEC P是O F的中点，:PD=PF,.8G/是正三角形，ZBGF=60,；ZABC=6
14、0,:.NBGF=ZA B C,AB G F,.四边形4BCO是菱形，:.AB CD,.C D/G F,:.Z.CDP=NPFG,在VPD和二PG/中，/D P E =ZFPG DP=PF,NCDP=NPFG.APE庠 APGF(SAS),:,P E=P G,DE=FG,.BG F是正三角形，.FG=BG,丁四边形ABC。是菱形，:.CD=CB,:.CE=CG,.C P是E G的中垂线，在 R匕 CPG 中,ZPCG=60,/.PG=tan ZPCG-PC=tan 60-PC=.(2)解：PG=43PC,理由如下：如图2,延长GP交ZM于点E,连接EC,GC,D CZABC=60,BGF 正三
15、角形，：.GF BC AD,NEDP=/GFP,在/Q 依和L FPG中,/EDP=NGFP DP=FPNDPE=NFPG:./DPE/FPGASA):.PE=PG,DE=FG=BG,ZCDE=ZCBG=6O,CD=CB,在CDE和二CBG中，CD=CBC=NABC=6()。，点A、B、G 又在一条直线上,/.ZGBC=120,四边形8瓦G 是菱形，:.GF=GB,:.HD=GB,H D g M B C,:.CH=CG,/D CH =NBCG,ADCH+ZHCB=ZBCG+ZHCB=120,即 NCG=120。,CH=CG,PH=PG,.PG 上 PC,ZGCP=ZHCP=60,:.PG=6P
16、C.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形.6.（2022内蒙古呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四 边 形 是 正 方 形，点 E 是边 8 c 的中点，N4EF=90,且 E尸交正方形外角的平分线C尸于点F.求证=（提示：取 A 3的中点G,连接E G.）（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：；（2）如 图 1,若点E 是 8 c 边上任意一点（不与3、C 重合），其他条件不变.求证：A E =E F;BE（3）在（2）的条件下，连接A C,过点E 作垂足为P.设 二=/，当k 为何值时，四边形ECFP
17、是平行四边形，并给予证明.【答案】（1）AG=CE（2）过程见解析g,证明过程见解析【分析】对 于（1）,根据点E 是 8C 的中点，可得答案；对 于（2）,取 AG=EC,连接E G,说明ABGE是等腰直角三角形，再证明GAETZXCE凡可得答案；对 于（3）,设 8 C=x,则 8E=履，则=k x,E C=Q-*x,再利用等腰直角三角形的性质表示EP的长，利用平行四边形的判定得只要EP=FC,即可解决问题.（1）解：是 BC的中点，：.BE=CE.点G 是 A 8的中点，:.BG=AG,：.AG=CE.故答案为：AG=CE；,四边形A8C。是正方形，：.AB=BCf ZB=90.,:AG
18、=CE、：.BG=BE,/BGE是等腰直角三角形，.NBGE=NBEG=45。,：.ZAGE=135.丁四边形ABCD是正方形，ZBCD=90.,。尸是正方形ABCD外角的平分线，,ZDCF=45,/.ZECF=90+45=135.VAEEF,NAEB+NFEC=90。.：ZBAE+ZAEB=90f：./BAE;NCEF,：.AGAEACEFf：.AE=EF-(3)当化=；时，四边形PEC尸是平行四边形.如图.力代-1。BEC由(2)得，&GAE%4CEF,：.CF=EG.g BC=xf 则 GE y/2kx,EC=(1-k)x.VEPAC,/)日:是等腰直角三角形，Z.ZPC=45,Z.ZP
19、EC+ZECF=SO,PE=-k)x.2：.PE/CF,当PE=C-时，四边形PECF是平行四边形，(1-k)x=板kx 解得 k=；.2 3【点睛】这是一道关于四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定等知识.7.(2022福建)已知43C名)&7,AB=AC,ABBC.图1图2图3(1)如 图1,CB平分/A C。，求证：四边形A8Z)C是菱形；(2)如图2,将(1)中的ACDE绕点C逆时针旋转(旋转角小于/B A C),BC,DE的延长线相交于点尸，用等式表示/A C E与NEFC之间的数量关系，并证明；(3汝口图3,将(1)中的绕点C顺时针旋转(
20、旋转角小于N A B C),若NBAD=N BCD,求/A Q B的度数.【答案】(1)见解析(2)NACE+NEFC=18O。，见解析(3)30。【分析】(1)先证明四边形AB0C是平行四边形，再根据A 8=A C得出结论；(2)先证出NACF=NCEF,再根据三角形内角和NCEF+NECF+NEFC=180。，得到NACF+NEC尸+/E FC =180。,等量代换即可得到结论；(3)在AD上 取 一 点使得AM=CB,连接B M,证得A BM丝C O B,得到=设 NBCD=Na4Q=a,NBDC=0,则 NAO8=a+p,得到 a+夕的关系即可.(1)V ABC且OEC,：.AC=DC
21、,：AB=AC,：.ZABC=ZACB,AB=DC,C 8平分N4C。,ZACB=ADCB,:.ZABC=NDCB,:.A B/C D,四边形ABDC是平行四边形，又,.,AB=AC,四边形A5OC是菱形；(2)结论：ZAC+ZEFC=180.证明：:ABC 0AD EC,：.ZABC=/D E C,UAB=AC,：.ZA B C =ZACBf：.ZACB=NDEC,:ZACB+ZACF=NDEC+NCEF=180%ZACF=/C E F,:NCEF+NECF+NEFC=180。,：.ZACF+ZECF+Z.EFC=180,ZAC+ZEFC=180；(3)在 AD上取一点M,使得A M=C 8
22、,连接5M,aAB=CD,/BAD =/BC D,：.丛 ABM mAC D B，BM=BD,ZMBA=NBDC,J ZADB=ZBMD,:ZBMD=ZBAD+ZMBA,，Z A D B =Z B C D+Z B D C.设 4C D =2 B A D =a,Z B D C =/3 ,则 Z A O 8 =a +/7,：CA=CD,：.N C A D =Z C D A=a +2 乃，A B A C =A C A D-N B A D =i p ,Z A C f i =（1 8 0。-N B A C）=9 0。-夕，Z A C D =（9 0-）+a,Z A C D+A C A D+Z C D A
23、=1 8 0 ,（9 0。-4）+（/+2（+2 月）=1 8 0。，；.a +j 3 =3 0,即 N A D 8=3 0。.【点睛】本题考查菱形的判定定理、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等，灵活运用知识，利用数形结合思想，做出辅助线是解题的关键.8.（2 0 2 2 湖南衡阳）如图，在菱形A B C。中，4 3 =4,4）=6 0,点P从点A出发，沿线段AO以每秒1个单位长度的速度向终点。运动，过点P作 PQLAS于点Q,作 P M _ L 4）交直线AB于 点 交 直 线 8c于点、F,设与菱形A 5 c o 重叠部分图形的面积为S （平方单位），点 P运动时间为f （秒）.（
24、1）当点M 与点8重合时，求，的值;（2）当t为何值时，A P Q 与B M F全等;求 S 与f 的函数关系式;（4）以线段P Q 为边，在P Q 右侧作等边三角形PQE,当2 W f S 4 时，求点E运动路径的长.4【答案】（1 卜=2 （2*=4 或 =-(3)5 =-”(O 4 Y 2)-土 产+2 向一 2+2 Y 4)8（4）甘【分析】（1）画出图形，根据3 0。直角三角形求解即可;（2）根据全等的性质计算即可，需要注意分类讨论；（3）利用面积公式计算即可，需要根据例在8点左边和右边分类讨论；（4）先确定E点的运动轨迹是一条直线，再根据2 4 Y 4求点E运动路径的长.(1)M与
25、8重合时，ZA=60,?.PA=-A B 2,2t=2.(2)当0 4 Y 2时，,/AM=2t,：.BM=4-2t,.APQm/XBMF,:.AP=BM、A r=4-2/,一 士3当2七4,9：AM=2t,BM=2/4,./APQ/BMF,:.t=2 t-4,/.Z =4./=4或 7=4.3当0 4/4 2 时,3二 MQ=1，C _ C _ 342,d=、4PQM=l 当2 Y 4 时，,:BF=t-2,MF=6(t-2),SBFM=a 2)2,/o S=S&PQM S RFM -广+2 百，2月，o，s=t0 t 28-t2+2y/3t-2y/3,2t48(4)连接A EV P Q E
26、 为正三角形,叵在心中，,PE T 6,ta n NPAE=PA t 2/.44为定值.E的运动轨迹为宜线，AE=A P2+PE2=t,2当 f =2 时 A E =,当 t=4 时 A E =2 j 7,二E的运动路径长为2 近-夕=.【点睛】本题属于四边形的综合问题，考查了菱形的性质，3 0。直角三角形的性质，全等三角形的性质，锐角三角函数等知识，综合程度较高，考查学生灵活运用知识的能力.39.（2 0 2 2 浙江金华）如图，在菱形A 3 C。中，A 8 =1 0,si n 8 =，点 E从点B出发沿折线5-C-O向终点D运动.过点E作点E所在的边（B C或 8 ）的垂线，交菱形其它的边
27、于点F,在E F的右侧作矩形E F G H .如 图 1,点 G在 AC上.求 证：FA=FG.Q）若 EF=F G ,当EF过 4c中点时，求 AG的长.（3）已知F G =8,设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以 G,C,为顶点的三角形与B 互 相似（包括全等）？【答案】（1）见解析（2）A G=7 或 53 2 3 2（3）$=1 或$=石 或 5 =亍 或 1 0 4$4 1 2【分析】（1）证 明 是 等 腰 三 角 形 即 可 得 到 答 案;（2）记AC中点为点。.分 点E在BC上和点E在8 上两种情况进行求解即可；（3）过点A作于点M,作4V J_C）于点M 分点E在线
28、段BM卜.时，点E在线段M C上时，点E在线段CN上，点E在线段NO上，共四钟情况分别求解即可.（1）证明：如 图1,.四边形ABC。是菱形，BA=BC,：.ZBAC=ZBCA.：FG BC,：.ZFGA=ZBCA,：.ZBAC=ZFGA,.4FG是等腰三角形，FA=FG.（2）解：记AC中点为点。.当点E在8 c上时，如图2,过点A作于点3.,在中，A M=A B =6,BM=lAB2-A M2=V 102-62=8.?.FG=EF=AM=6,CM=BC-BM=2,：OAOC,OE/AM,：.CE=ME=-CM=-x2=l,2 2/.AF=ME=,：.AG=AF+FG=1 +6=7.百点E在
29、。上 时，如图3,过点A作4V _L 8于点M同理，FG=EF=AN=6,CN=2,AF=NE=-CN=,2：.AG FG-AF=6-15.：.4G=7 或 5.(3)解：过点A作/W_L8C于点M,作ANJ_CD于点N.当点E在 线 段 上 时，0 s 4 8.设EF=3 x,则 跖=4x,G=EF=3x,i)若点，在点C的左侧，5+8 1 0,即0 1 0,即2 s V 8,如图5,图5C/=fiW-BC=(4x+8)-10=4 x-2.:/XGHCs/XFEB，.GH CH -,EF BE.GH EF.3x _ 3 4尢-2 此方程无解.:GHCS/BEF,GH CHU,B EE F.G
30、H BECHEF-3x _ 4 4 x-2-3,解得X*，经检验，x=T是方程的根，.3 2.s=4x=.7当点E在线段MC上时，8 5 1 0,如图6,EF=6,EH=8,BE=s.,AGHCsAFEB,GH CH,后 版.GH EF,京 一 标.6 _ 6,三 二 )此方程无解.:/GHC/BEF,.GH CHBEEF.GH BE CH F，.6 s.-=，s-2 6解得s =l士 用，经检验，s =l土 质 是方程的根，V 8 5 1 0,二5 =1 土 收 不合题意，舍去：当点E在线段CN上时，1 0 4 s 4 1 2,如图7,过点C作C/_ L 48于点图7在放中，B C =0,C
31、J=6,BJ=8.E H =BJ=8,JF =CE,：.BJ+JF =E H +CE,：.C H =BF .；G H =E F,2 G H C =N E F B=9 0 ,：.A G H 8M FB ,符合题意，此时，lO W s 4 1 2.当 点 在 线 段 0|二时，1 2 S 9 Q,:.G H C与B E 尸不相似.综上所述，s 满足的条件为：s =l或5 =332 或6 =3a2或 1 0 4 s 4 1 2.2 5 7【点睛】此题考查了相似三角形的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质、锐角三角函数等知识，分类讨论方法是解题的关键.1 0.（2 0 2 2
32、 四川南充）如图，在矩形A B C。中，点。是48的中点，点 M 是射线OC上动点，点尸在线段4 W上(不 与 点 4重合),8 =5 5备用图(1)判断BP的形状，并说明理由.(2)当点M 为边0c中点时，连接C P 并延长交A )于点N.求证：P N =A N .Q(3)点。在边 A D 上，A B =5,A O =4,O Q =,当 N C P Q =9 0。时，求 DM 的长.【答案】(D A A 8 尸为直角三角形，理由见解析(2)见解析4(3)或 1 2【分析】(1)由点。是 AB的中点，0 尸=；4 5可知O P =Q 4 =O3,山等边对等角可以推出ZAPB=Z A P O+A
33、 B P O=9 0。；(2)延长A M,8c交于点E,先证E C =BC,结 合(1)的结论得出P C是 直 角 8 P E 斜边的中线，推出P C =g B E =C E,进而得到N 3 =N4,再通过等量代换推出N 2 =N1,即可证明P N =4V：(3)过点尸作A B 的平行线，交AO于点凡交8 c 于点G,得到两个K型，证明A B P G AM P,A C P G PQF ,利用相似三角形对应边成比例列等式求出。，F P,再通过 W P A4DM 即可求出。M.(1)解：4 3 P 为直角三角形，理由如下：.点。是A3的中点，。尸=3 4 8,O P =O A=O B,二 Z A
34、P O =Z P A O ,Z.BPO =N P B O .,/Z A P O+Z P A O+Z B P O +N P B O=1 8 0 ,Z A P O +N B P O=-x l8 0=9 0 ,2/.ZAPB=9 0,：.A B P 为直角三角形;(2)证明：如图，延长A A/,BC交于点、E,由矩形的性质知：AD/BE,ZADM ZECM=90,：.N 1 =N 4,；点M为边OC中点，二 DM=CM,在 4 D W和 E C 7 W中，Z l=Z 4 ZADM=NECMDM=CM：.A A )M=A E C M(A A S),，EC=AD,：BC=AD,：.EC=B C,即C点为
35、8 E的中点，由(1)知 N A P 3 =9 0。，/.ZBPE=90,即“3 P E为直角三角形，PC=-B E=CE.2Z 3 =Z 4,又,：N2=N3,Z 1 =Z4.,Z 2 =Z 1,，PN=AN；解：如图，过点P作A 8的平行线，交AD于点F,交8 c于点G,Q由已知条件4 8 =5,4。=4,。=b，设。尸=。，FP=x,Q 12 Q贝lj G8=AT7=4 OQ-Q77=4 )一。二 三 一a,PG=5 x,CG=+a.V A B I AD.A B 1 B C,FG/AB,A F G A D,F G B C,J ZAFP=ZPGB=90 f Z M P+Z F 4 =90,
36、/ZAPB=90,ZBPG+ZFPA=9Q0,:.4BPG=/F A P,BPG AFAP,12_w”即匚/，FP AF x 125*.x(5 x)=(a)2.同理，Z 0FP=9O0,ZFQP+ZFPQ=9G t.ZCPQ=90,.NC尸G+N尸PQ=90。，/CPG=/FQ P,：.CPG PQF,CG PG 日 +ZAFP=ZAD M,：.M F P M O M,.FP AFDMAD3，即 1 _ 5,DMQ.DM=x,3 当x=J 时,9 8 9当 =耳时,，M=X Q=1 2,此时点M 在。C 的延长线上,4综上，DW 的长为或 12.【点睛】本题考查矩形的性质，直角三角形斜边中线的
37、性质，相似三角形的判定与性质等，第 3 问有一定难度，解题关键是作辅助线构造K 字模型.11.（2022 湖北武汉）已知CO是 4 3 c 的角平分线，点 E”分别在边AC,BC上,AD=mf BD=nf ADE与/加卢的面积之和为S.F C图1B F C图2B F C图3B F C图4(1)填空：当Z A C 8 =9 0。，DEA.AC,时，如图 1,若 N B =45,m=5y/2,则=,S=；如图 2,若 N B =6 0,/=4 7 3 ,贝 l=,S=；(2)如图3,当N A C B =N E Z =9 0。时，探究S 与小的数量关系，并说明理由：(3 汝U 图4,当/A C 8
38、=6 0。，Z E D F =120,m=f,=4 时，请直接写出S的大小.【答案】5五，2 5；4；8G(2)S=mn S=6 g【分析】(1)先证四边形D EC 尸为正方形，再证4 8 C 为等腰直角三角形，根据CD 平分NAC 8,得出C D L A B,且 4 =2。=也然后利用三角函数求出 2 F=BDco s 4 5=5,DF=BDs i n 4 5=5,A E=A Z)co s 4 50=5 即可；先证四边形。E C E 为正方形，利用直角三角形两锐角互余求出/4=9 0。-/8=3 0。，利用3 0。直角三角形先证求出。E=1AD=LX4G =2 G,利用三角函数求出 A E=
39、A Des 3 00=6,D F=D E=2 6 8 F=C F t a n 3 0=2,2 28 D=O 尸+s i n 6 0=4 即可；(2)过点。作 QH,AC于”，。6,86于 6,在”C 上截取4/=BG,连接。/,先证四边形。GC 为正方形，再证 O F G g/X DEH(A S A)与 O BG g。田(S A S),然后证明N/D4=1 8 0-/4/H=9 0即可；(3)过点。作。PL4c 于 P,18c 于 Q,在 P C 上截取P R=Q B,连接。R,过点A作 A S 1 _ O R 于 S,先证明A。产且4 D B Q咨/XDRP,再证A O S 尸名/)/?；,
40、求出/4。/?=/4。+/8 )尸=1 8 0-/尸。=6 0即可.(I)解：V Z A C B =90,D E 1 A C,D F 上 B C,C。是 4 A Be 的角平分线,四边形DECT为矩形，DE=DF,四边形。ECF为正方形，ZS=45,ZA=90-ZB=45=ZB,A8C为等腰直角三角形，；CD平分NACB,C.CDLAB,且 AD=BO=，,*a m=5 5/2，/.BD=n=5/2，：.BF=BDcos450=5,DF=BDsin450=5f AE=ADcos450=5 f ED=DF=5f，S二 S A D E+ABDF=X5X5+X5X5=25；故答案为5 v L 25；
41、,NACB=90。，DEAC,DFLBC,8是 一ABC的角平分线，四边形。EC尸为矩形，DE=DF,四边形OECF为正方形，ZB=60,:.ZA=90-ZB=30,DE-AD=-x 43=26,AE=A)cos30=6,DF=DE=2/3,2 2ZBDF=90-Z=30,.BF=DFtan30=2,ABD=DF-?sin60o=4,.BD=n=4,/.S=S ADE 4-S&BDF=x 2石 x 6+；x 2 x 23=8 G ,故答案为：4；873；(2)解：过点。作于，O G L 8c于G,在“。上截取/=8 G,连接。/,:.ZDHC=ZDGC=ZGCH=90,四边形OGC”为矩形,C
42、。是工ABC的角平分线，DGBC,:,DG=DH,四边形OGC”为正方形，J NGO=90。，VZEDF=90,:.Z FDG+Z GDE=Z GDE+Z EDH=90,:./FDG=NEDH,在 OR7和中，NFDG=/EDH/“中，DG=DHA=18()oNA/H=90。,SAA D I=；AD.)/=；mn,S=S ADE+S DF=S ADE+SHDI=S“DI=/MN；A(3)过点。作。P L A C E R DQ_L3C于 Q,在 PC 上截取PR二 Q 5,连接。凡 过点A 作 ASJ_O/?于 5,CO是-ABC的角平分线，DP.LACf DQ1.BC,：.DP=DQfZACB
43、=60：.ZQDP=20f ；ZEDF=120,Z FDQ+Z FDP=Z FDP+Z EDP=120,：.ZFDQ=ZEDP,在/）股 和 O P中，ZFDQ=NEDP/?中，DQ=DP ZDQB=/DPR,BQ=RP:.D B Q/dD R P (SAS),:/B D Q=/R D P,DB=DR,：.NBDF=/BDQ+NFDQ=NRDP+NEDP=/RDE,：DB=DE,DB二DR,：./XDBg/XDRE,：.ZADR=ZADE+Z BDF=180-Z FDE=60,：.S=SAADR=-AS DR=-ADsin600 xDR=-x 6 x -x 4 =6/3.2 2 2 2【点睛】
44、本题考查等腰直角三角形判定与性质，正方形判定与性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，三角形面积，角平分线性质，解直角三角形，掌握等腰直角三角形判定与性质，正方形判定与性质，三角形全等判定与性质，直角三角形判定，三角形面积，角平分线性质，解直角三角形是解题关键.12.(2022山东临沂)已知_4?C是等边三角形，点8,。关于直线AC对称，连接4。，CD.(1)求证：四边形ABCQ是菱形；(2)在线段AC上任取一点P(端点除外)，连接P D将线段PO绕点P逆时针旋转，使点。落在BA延长线上的点。处.请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，4 DP。的大小是否发生变化？说明理由.(3)在
45、满 足(2)的条件下，探究线段A。与CP之间的数量关系，并加以证明.【答案】(1)见解析(2)N O P Q大小不变，理由见解析(3)C P =4。，证明见解析【分析】(1)连 接 由 等 边 三 角 形 的 性 质 可 得A C垂直平分8 0,继而得出A B=BC =C D=A O,便可证明；(2)连接P 8,过点P作P C B交A 8于点E,PB_LAB于点F,可证明V A P E是等边三角形，由等腰三角形三线合一证明/4 P F =N EP/，ZQPF =N BPF ,即可求解；(3)由等腰三角形三线合一的性质可得4 F=F E,QF =B F,即可证明.(1)连接BD,A BC是等边三
46、角形，：.AB=BC=A C,点B,。关于直线4 c对称，A C垂直平分8。，/.DC=BC,AD=A B,AB=BC=CD=AD,四边形A 3 C )是菱形；(2)当点P在线段AC上的位置发生变化时，N O P Q的大小不发生变化，始终等于6 0。，理由如下:将线段P D绕点、尸逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处，:.PQ=PD,4 A Be是等边三角形，AB=BC=AC,N BAC=ZABC=AACB=6 0 ,连接P 8,过点P作P E C B交A B于点E,P EL A B于点尸，DC则 ZAPE=ZACB=60,ZAEP=ZABC=60,:.ZAPE=ZBAC=6O0=ZAE
47、P,APE是等边三角形，:.AP=EP=AE,PF 工 AB,:.ZAPF=ZEPF,点8,。关于直线AC对称，点 P 在线段AC上，PB=PD,ND抬=NB弘,/.PQ=PD,P h AB,?.NQPF=NBPF,/./Q PF-N APF=NBPF-/EPF,即 NQ以二 ZBPE,/.ZDPQ=ZDPA-ZQPA=ZBPA-ZBPE=NAPE=60。；(3)A Q=C P,证明如下：AC=AB,AP=AE,：.AC-AP=A B-A E9 BP CP=BE,AP=EP,PFLAB,.M F=FE,v PQ=PDt PFLAB,QF=BF,.Q F-AF=BF-EF,B P AQ=BEf：
48、.AQ=CP.【点睛】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定等，熟练掌握知识点是解题的关键.1 3.（2 02 2 江西）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板 /（/尸=9 0。,/尸=60。）的一个顶点放在正方形中心。处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角 板 时与正方形A B C O 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）.图一 图二 图三 备用图（1）操作发现：如 图 1，若将三角板的顶点P 放在点。处，在旋转过程中，当O 尸与OB重合时，重叠部分的面积为;当“与 垂 直 时，重 叠 部 分 的 面 积
49、为；一般地，若正方形面积为S,在旋转过程中，重叠部分的面积$与 S 的关系为（2）类比探究：若将三角板的顶点产放在点。处，在旋转过程中，OEOP 分别与正方形的边相交于点M,N.如图2,当BM=CN时，试判断重叠部分qOMN的形状，并说明理由；如图3,当C M =C 7 V 时，求重叠部分四边形OMCN的 面 积（结果保留根号）；（3）拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为N G。（设NGQ H=l）,将N G。“绕点。逆时针旋转，在旋转过程中，N G O”的两边与正方形A 5 C。的边所围成的图形的面积为邑,请直接写出S2 的最小值与最大值（分别用含。的式子表示），（
50、参考数据：s in l 5 =,co s 1 5=+,t a n l 5 =2-/3 ）4 4【答案】（1）1 1，（2）aOMN是等边三角形，理由见解析；1(3)t a n ya ,1、-t a n If 4.5_0n -yaa2【分析】（1）如 图 1,若将三角板的顶点P 放在点。处，在旋转过程中，当。尸与08重合时，0E与。C重合，此时重叠部分的面枳=Z k O 8 C的面积二:正方形A 8 C D的面积=1；当0”与8 c垂直时，0 E L B C,重:叠部分的面积=!正方形A 8 C。的面积=1；一般地，若正方形面积为S,在旋转过程中，重叠部分的面积S4与s的关系为s=!s.利用全等