《2022年中考数学真题分类汇编 专题21 与三角形、四边形相关的压轴题（学生版+解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年中考数学真题分类汇编 专题21 与三角形、四边形相关的压轴题（学生版+解析版）.pdf（85页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题2 1 与三角形、四边形相关的压轴题解答题I.（2022.黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABC。的边A 8在x轴上，顶点。在），轴的正半轴上，M为B C的中点，OA、。8的长分别是一元二次方程-7x+12=O的两个根4tan N D A B=,动点p从点。出发以每秒1个单位长度的速度沿折线D C-C B向点B运动,到达B点停止.设运动时间为秒，APC的面积为S.（1）求点C的坐标；（2）求S关于/的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在点P的运动过程中，是否存在点P,使！CMP是等腰三角形？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.2.（2022贵州黔东南）阅
2、读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个儿何问题:如图，和ABZ班都是等边三角形，点A在D E上.求证：以A E、AD,A C为边的三角形是钝角三角形.【探究发现】小明通过探究发现：连接O C,根据已知条件，可以证明DC=A E,Z4DC=12O=,从而得出AADC为钝角三角形，故以A E、AD,A C为边的三角形是钝角三角形.请你根据小明的思路，写出完整的证明过程.(2)【拓展迁移】如图，四边形ABC。和四边形BGFE都是正方形，点A 在 EG上.试猜想：以AE、AG,AC为边的三角形的形状，并说明理由.若AE+AG?=1 0,试求出正方形ABC。的面积.3.(2022 海南)如
3、图1,矩形A8CD中，A8=6,AZ)=8,点尸在边8 c 上，且不与点8、C重合，直线AP与OC的延长线交于点E.(1)当点尸是BC的中点时，求证：AB g/XEC P；将 回 沿直线AP折叠得到AA P B,点3 落在矩形A8CD的内部，延长P3交直线A 3 于点尸.证明E4=F P,并求出在(1)条件下AF的值；连接8 C,求PC9周长的最小值；如图2,BB，交AE于点”，点 G是 AE的中点，当NE4B=2Z/1EB时，请 判 断 与 的 的 数 量 关 系，并说明理由.4.(2022吉 林)如 图，在A C中，ZACfi=90,ZA=30,AB=6 c m.动点尸从点A 出发，以2c
4、m/s的速度沿边4 8 向终点8 匀速运 动.以 始 为 一边作N 加矽=120。，另一边PQ与折线A C-C 8相交于点Q,以P。为边作菱形点N 在线段尸8 上.设点尸的运动时间为x(s),菱形PQMN与AM C重叠部分图形的面积为Wen?).(1)当点。在边4 c 上时，PQ的长为 cm；(用含x 的代数式表示)(2)当点M 落在边BC上时，求x 的值；(3)求)关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围.5.(2022.黑龙江牡丹江)在菱形A3CD和正三角形BGF中，ZABC=6 0 ,尸是。尸的中点，连接P G、P C.(1)如 图 1,当点G 在 8 c 边上时，写出PG 与
5、PC 的数量关系.(不必证明)(2)如图2,当点尸在AB的延长线上时，线段P C、PG 有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；(3)如图3,当点尸在C 8的延长线上时，线段P C、PG 又有怎样的数量关系，写出你的猜想(不必证明).6.（2022内蒙古呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形A8CD是正方形，点 E 是边 8 c 的中点，ZAE尸=9 0,且 EF交正方形外角的平分线CF于点尸.求证AE=F.（提示：取 A 8的中点G,连接E G.）（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：；（2）如 图 1,若点E 是 2C边上任意一点（不与B、C 重
6、合），其他条件不变.求证：A E =E F；BE（3）在（2）的条件下，连接A C,过点E 作 E P L H C,垂足为P.设 正=氏，当左为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明.7.（2022福建）已知ABC四QEC,ABAC,ABBC.图1图3（1）如 图 1,CB平分N 4 C D,求证：四边形A8OC是菱形；（2）如图2,将（1）中的ACDE绕 点 C逆时针旋转（旋转角小于NBAC）,BC,3E 的延长线相交于点尸，用等式表示NACE与/E F C 之间的数量关系，并证明；（3）如图3,将（1）中的ACQE绕点C顺时针旋转（旋转角小于/A B C）,若N B A D =NB
7、 C D,求乙4。8 的度数.8.（2022湖南衡阳）如图，在菱形4BCD中，A B =4,幺 4=60。，点尸从点A 出发，沿 线 段 以 每 秒 1个单位长度的速度向终点。运动，过点P 作尸Q L A B 于点Q,作交直线AB于 点 交 直 线 8 c于点尸，设APQM与菱形A3C。重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P 运动时间为r（秒）.（1）当点M 与点B重合时，求f 的值；（2）当，为何值时，AAPQ与 创 全等；（3）求S 与f的函数关系式；（4）以线段PQ为边，在尸。右侧作等边三角形P Q E,当2 4 4 4 时，求点E 运动路径的长.39.（2022浙江金华）如图，在菱形
8、A 8C3中，48=10,sin B j，点 E 从点8 出发沿折线8-C-3 向终点。运动.过点E 作点E 所在的边（8C 或 C。）的垂线，交菱形其它的边于点凡在E F 的右侧作矩形EFG”.（1）如 图 1,点 G 在 AC上.求 证：FA=FG.（2）若 EF=F G,当E F过 A C中点时，求 AG的长.（3）已知FG=8,设点E 的运动路程为s.当 s 满足什么条件时，以 G,C,为顶点的三角形与ABEF相似（包括全等）？图1图2（备用）1 0.（2 0 2 2 四川南充）如图，在矩形4 3 c o 中，点。是 AB的中点，点 M是射线DC上动点，点 P在线段AM上（不与点4重合
9、），OP=A B.判 断 的 形 状，并说明理由.（2）当点M为边。C中点时，连接C PQ并延长交A。于点M求证：P N =AN.（3）点。在边AO上，AB=5,AD4,DQ=-,当N C P Q =9 0。时,求 DW的长.1 1.（2 0 2 2 湖北武汉）已知C D 是AABC的角平分线，点 E,尸分别在边A C,8 c 上，A D =m,B D =n,.ADE与ABDF的面积之和为S.图1 图2 图3 图4（1）填空：当N A C B =9 0。，D E L A C,。尸，BC时，如图 1,若 N B =4 5。，m =5近,则=，S=；如图 2,若N 8 =6 0 ,m =4 j 3
10、,贝=,5=；如图3,当乙48=血 尸=9 0。时，探究S与八 的数量关系，并说明理由：（3 汝口图4,当N A C B =6 0 ,Z E D F =1 2 0 ,m=6,=4 时，请直接写出S的大小.1 2.（2 0 2 2.山东临沂）已知AABC是等边三角形，点 8,。关于直线AC对称，连接A。，CD.（1）求证：四边形A 8 C D 是菱形；（2）在线段AC上任取一点尸（端点除外），连接PD将线段尸。绕点尸逆时针旋转，使点。落在B A 延长线上的点。处.请探究：当点尸在线段AC上的位置发生变化时，NOPQ的大小是否发生变化？说明理由.（3）在 满 足（2）的条件下，探究线段AQ与 C
11、P 之间的数量关系，并加以证1 3.（2 0 2 2 江西）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板 P E 尸（N P =9 0。,/尸=6 0。）的一个顶点放在正方形中心。处，并绕点。逆时针旋转，探究直角三角板P 砂与正方形A 3 C。重叠部分的面积变化情况（己知正方形边长为2）.图一 图二 图三 备用图（1）操作发现：如 图 1,若将三角板的顶点P放在点。处，在旋转过程中，当。尸 与 重 合 时，重叠部分的面积为;当。尸与B C 垂直时，重 叠 部 分 的 面 积 为；一般地，若正方形面积为S,在旋转过程中，重叠部分的面积S1与 S 的关系为；(2
12、)类比探究：若将三角板的顶点尸放在点。处，在旋转过程中，分别与正方形的边相交于点M,N.如图2,当8M=C/V时，试判断重叠部分AOA/N的形状，并说明理由；如图3,当CM=CW时，求重叠部分四边形OMCN的面积(结果保留根号)；(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心。处，该锐角记为N G O (设NGO/=c),将NGOH绕点O 逆时针旋转，在旋转过程中，NGO”的两边与正方形A3CD的边所围成的图形的面积为S2,请直接写出邑的最小值与最大值(分别用含。的式子表示)，(参考数据：sin 15 =,cos 15 =+,tan l5 =2-x )4414.(2022 贵州贵阳)小红
13、根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.An如图，在 Z748C。中，AN为BC边上的高，=mfA N点M 在力。边上，且点E 是线段4W 上任意一点，连接B E,将 ABE沿 BE翻折得AFBE.图图备用图问题解决：如图，当 3 6 0%将 沿 BE翻折后使点F 与点”重合，则群(2)问题探究：如图，当NBAD=45。，将 ABE沿 BE翻折后，使 E F B M ,求 NABE的度数，并求出此时机的最小值；(3)拓展延伸：当ZSM=30。，将 ABE沿 BE翻折后，若 EF_L A),且=根据题意在备用图中画出图形，并求出机的值.15.（2022吉林长春）【探索发现】
14、在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图，矩形A8CD为它的示意图.他查找了 A4纸的相关资料，根据资料显示得出图中A=0 A B.他先将4 4 纸沿过点4的直线折叠，使点B 落在AO上，点 8 的对应点为点E,折痕为；再沿过点F 的直线折叠，使点C 落在E F上，点 C 的对应点为点H,折痕为FG；然后连结A G,沿 AG所在的直线再次折叠，发现点。与点F重合，进而猜想APGZA4FG.图 图【问题解决】（1）小亮对上面八4心丝 村 的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形A5 CO是矩形，,Z B A D =Z B =Z C =Z D =90.由折叠可知，/BAF=g/
15、BA O =45。，ZBFA=ZEFA.：.ZEFA=ZBFA=4 5.A F =桓AB=A D .请你补全余下的证明过程.【结论应用】（2）ND4G的度数为_ _ _ _ _ _ _度，号FG的 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；AF（3）在图的条件下，点尸在线段AF上，且 AP=gA B,点 Q 在线段AG上，连结尸Q、PQ,如图，设 A8=a,则 FQ+P。的最小值为.（用含。的代数式表示）1 6.（2 0 2 2 广东深圳）（1）【探究发现】如图所示，在正方形A 8 C D 中，E为 A3边上一点，将 A A f i B 沿 8E翻折到麻力处，延长EF交C。边于G点.求
16、证：4 B F G 冬4 B C G图（2）【类比迁移】如图,在矩形A B C D中，E为 AO边上一点，且 A O =8,A B =6,将&A E B沿B E翻折到BEF处，延长E F 交3 c 边于点G,延长BF交C D 边于点、H,且 F 4 =CH,求 A E的长.图（3）【拓展应用】如图，在菱形A 8C。中，E为8边上的三等分点，/。=6 0 ,将 44）后沿4 6 翻折得到 A F E,直线E 尸交8 c 于点尸，求C P 的长.ABB备用1备用217.(2022黑龙江)AABC和AADE都是等边三角形.(1)将AADE绕点、A旋转到图的位置时，连接5Z),CE并延长相交于点P(点
17、P与点A重合)，有尸A+P8=PC(或B4+PC=P 8)成立；请证明.(2)将AADE绕点A旋转到图的位置时，连接8。，CE相交于点P,连接 以，猜想线段%、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将AADE绕点A旋转到图的位置时，连接BD,CE相交于点P,连 接 必，猜想线段 用、P8、尸C之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明.18.(2022辽宁锦州)在A45 C中，AC=8 C,点。在线段4 8上，连接C。并延长至点E,使DE=CD,过点E作交直线A 8于点F.(1)如 图1,若NAC3=12()。，请用等式表示A C与所的数量关系：.(2)如图2.若NACB=90
18、。，完成以下问题：当点。，点 尸位于点A的异侧时，请用等式表示AC,A 3。尸之间的数量关系，并说明理由;当点。，点F位于点A的同侧时，若F=1,AO=3,请直接写出A C的长.19.（2022广西）已知/用ON=a,点A,8分别在射线OM,ON上运动，AB =6.图 图 图（1）如图,若。=90。，取A B中点。，点A,8运动时，点。也随之运动，点A,8,D的 对 应 点 分 别 为,连接0 2 0 0.判断。与。有什么数量关系?证明你的结论：（2）如图，若a=60。，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形A B C,求点。与点C的最大距离：（3）如图，若c =45。，当点A,B运动到什么位置
19、时，AAO8的面积最大?请说明理由，并求出AAOB面积的最大值.20.（2022.湖北十堰）【阅读材料】如图，四边形ABCD中，AB=AD,/B+N=180。，点E,尸分别在BC,C上，若/5 4。=2/次尸，则 所=5E+D尸.图【解决问题】如图，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形4 3 8.已知CD=CB=l（X）m,Z=60,/ABC =120。，Z B C D =150,道路 AO,A 8上分别有景点M,N ,且。W=100m,8N=5 0（6-l）m,若在M,N 之间修一条直路，则路线M f N 的长比路线M f A f N 的长少m（结果取整数，参考数据：百 a l.7）.
20、图21.（2022 陕西）问题提出（1）如 图 1,AO是等边AM C 的中线，点 尸在AZ）的延长线上，且 AP=A C,则N4PC的度数为.问题探究（2）如图2,在AASC中，CA=CB=6,ZC=20 .过点A 作”B C,且AP=8 C,过点尸作直线1 1 B C,分别交A3、B C 于点0、E,求四边形OEC4的面积.问题解决（3）如图3,现有一块AM C 型板材，ZACB为钝角，NB4c=45。.工人师傅想用这块板材裁出一个 ABP型部件，并要求/BAP=15 o,AP=A C.工人师傅在这块板材上的作法如下：以点C 为圆心，以。长为半径画弧，交 A B 于点、D,连接CO；作CD
21、的垂直平分线/,与C D 于点E；以点A 为圆心，以AC长为半径画弧，交直线/于点尸，连接AP、B P,得ABP.请问，若按上述作法，裁得的AABP型部件是否符合要求？请证明你的结论.专题2 1 与三角形、四边形相关的压轴题解答题I.（2 0 2 2.黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形A B C。的边A 8 在 x 轴上，顶点。在），轴的正半轴上，M为 BC的中点，O A、。8的长分别是一元二次方程-7 x+1 2 =O 的两个根4t an N D A B=,动点p从点。出发以每秒1 个单位长度的速度沿折线D C-C B向点B 运动,到达B点停止.设运动时间为秒，A P C 的面积为
22、S.（1）求点C的坐标；（2）求 S 关于/的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在点P的运动过程中，是否存在点P,使！CMP是等腰三角形？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.1 4-2 r （0 z 7）【答案】点 C坐标为（7,4）（2）5 =4?_ 9 8 J2 存在点P（4,4）或;|,4）或 倍,4）,使！CMP是等腰三角形【分析】（1）先求出方程的解，可得。4 =3,0 8 =4,再由t a n ZD A B =；,可得8 =4,然后根据四边形A 8 C O 是平行四边形，可得C O=7,A O D C =Z A O D =9Q ,即可求解；（2）分两种情况讨
23、论：当0,，7 时，当7&1 2 时，过点A作 AFL3c 交 C8的延长线于点F,即可求解；（3）分三种情况讨论：当 C P=P M 时，过点M作 MFLPC于点尸；当P C =CM=2时；当 P M=C M 时，过点M作 M G J _ P C 于点G,即可求解.解：x2 7 x+1 2 =0 解得“1=3,x2=4 t,：O A O B,/.OA=3,OB=4 ,4V tan Z D A B =,3 0D _一 4，OA 3:.O D =4,：四边形ABCD是平行四边形，A DC=AB=3+4=7,DC/AB,.点C坐标为（7,4）；（2）解：当0,f 7时，5 =C P O D =1（
24、7-r）-4 =1 4-2 z,当7 JOAl+OD2=7 32+42=5 四边形A B C O是平行四边形，二 BC=AD=5,：BC AF=AB OD,：.5-AF=lx 4,(3)解：存在点尸，使！CMP是等腰三角形，理由如卜：根据题意得：当点P在CC上运动时，！CMP可能是等腰三角形,四边形ABCD是平行四边形，A ZC=ZBAD,BC=AD=5,4/.t a n C=t a n /DAB=,3.点M为8c的中点，.C M =：,2当 CP=PM时，过点M作MF J _ PC于点F,3ig PCPM=a,则 PO=7-“，PF=a-一，2：PP+FM2=PM2,l j+27,解得：a=
25、,5 9 DP=7-P C =f12二此时点P偿,4）：2,此 时 点 P，4）；3当时，过点M 作 M GLPC于点G,则CG=1,:PD=7-PC=4,，此时点P(4,4)；综上所述，存在点尸(4,4)或(|,4)或(*),使！CMP是等腰三角形【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键.2.(2022贵州黔东南)阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图，AABC和 织 都 是 等 边 三 角 形，点A在OE上.求证：以A E、AD,AC为边的三角形是钝角三角形.(1
26、)【探究发现】小明通过探究发现：连接O C,根据已知条件，可以证明。C=M,ZADC=2QP,从而得出AADC为钝角三角形，故以4 E、AD.AC为边的三角形是钝角三角形.请你根据小明的思路，写出完整的证明过程.(2)【拓展迁移】如图，四边形ABCO和四边形8G正都是正方形，点A在EG上.试猜想：以A E、AG.AC为边的三角形的形状，并说明理由.若AE2+A G2=1 0,试求出正方形ABC的面积.【答案】(1)钝角三角形；证明见详解(2)直角三角形；证明见详解；S因 应 形ABCD=5【分析】(I)根据等边三角形性质得出，BE=B。,ABCB,NE8D=NA8C=60,再证AE84丝力BC
27、(SAS)/AEB=NCDB=60。,AE=C D,求出/AQC=/AO8+NBDC=120。，可得AQC为钝角三角形即可；(2)以A E、AG,A C为边的三角形是直角三角形，连 结C G,根据正方形性质，得出NE8G=NABC,EB=GB,AB=CBf NBEA=NBGE=45,再证 E B A dG B C (S A S)得出 AE=CG,ZBEA=ZBGC=45,可证 AGC为直角三角形即可；连结8 D,根据勾股定理求出拜C=JAG2+CG2=而，然后利用正方形的面积公式求解即可.(1)证明：；AABC与AEBD均为等边三角形,:BE=BD,AB=CB,ZEBD=ZABC=60f：.N
28、EBA+NABD=NABD+NDBC,：./EBA=NDBC,在 EA4和 QBC中，EB=DB 8 沿直线A P 折叠得到AA PB,点 3 落在矩形A B C。的内部，延 长 交 直 线 AD于点立 证 明 用=仪，并求出在(1)条件下 的值；连接B C,求周长的最小值；如图2,BB交 A E 于点、H,点 G是 AE 的中点，当N E 4 8 =2 N A E8 时，请判断A8与裕的数量关系，并说明理由.【答案】(1)见解析.1 3见解析；AF=；1 2,；A B =2 G,见解析【分析】(1)根据矩形的性质得到A B Z),再结合尸是8c 的中点证明 A B PgZXEC P；(2)设
29、E4 =x,在WAAB尸中，表示出三角形的其他两边，再由勾股定理列方程计算即可；当点B 恰好位于对角线AC上时，C B，+A最小，利用勾股定理计算即可；过点B 作 W/)E，交 4E 于点M,证明3 M =M=A?=45,再由H G =A G-A H =-(A E-A M)=-E M 即可得 到 G =AB.2 2 2(1)解：如图9-1,在矩形A 6 c o 中，ABDC,D图9-1E即 AB/DE,Z l=ZE,Zfi=Z2.,点P是8 c的中点，,BP=CP.：.AABPAECP(AAS).(2)证明：如图9-2,在矩形ABC。中，AD/BC,：.Z3=ZFAP.由折叠可知N3=/4,二
30、 NFAP=N4.FA=FP.在矩形A 5 co中，BC=AD=8,点P是8 c的中点，二 BP=-B C =-x 8 =4.2 2由折叠可知 AB=AB=6,PB=PB=4,NB=ZABP=ZABF=90.设 用=x,则=二 FB=x-4.在RMABT中，由勾股定理得A尸=8 4+8产，x2=62+(x-4)2,.13.x=，213即 AF=y解：如图9-3,由折叠可知4 9=4?=6,BP=BP.图9-3/.CA/W=CP+PB+CB=CB+CB=8+CB.由两点之间线段最短可知，当点8 恰好位于对角线AC上时，C9+A*最小.连接 A C,在 BAADC 中，ZT=90,AC=ADr+D
31、C2=A/82+62=10C83Mg=A C-A B=10-6=4,二 Q”最 小 值=8+C8=8+4=12-解：AB与 用 的数量关系是Afi=2G.理由是：如图9-4,由折叠可知N1=N6,AB=A8,8B AE.图9-4过点8 作孙WE,交AE于点、M,AB/DE,/.AB/DE/BM,Z1=Z6=Z5 =ZAD.二 AB=BM=AB,.点”是AM中点.；NEAB1=2ZAE?,B P Z6=2Z8,Z5 =2Z8.T Z5 =N7+N8,Z7=Z8./.B!M=EM.：.BM=EM=AB=AB.:点G为AE中点，点，是4 0中点，A G-A E,A H-A M .2 2HG=AG-A
32、H=A E-A M)=EM.：.HG=-A B.2AB=2HG.【点睛】此题考查了矩形的性质、折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，根据等腰三角形的性质证明.4.(2022吉林)如图，在 AABC中，ZACB=90,ZA=3O,AB=6cm.动点 P从点 A 出发，以2cm/s 的速度沿边A8向终点8匀速运 动.以 叫 为 一 边 作 乙=120。，另一边PQ与折线AC-C6相交于点Q,以PQ为边作菱形尸QW N,点N在线段尸8上.设点尸的运动时间为M s),菱形尸QWN与“ABC重叠部分图形的面积为Mem?).cc(备用图)(1)当点。在边A C上时，PQ
33、的长为 c m.(用含X的代数式表示)(2)当点M落在边3 C上时，求x的值；(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围.【答案】2 r(2)12后 =,一7百f +i8氐-9 6尺-6瓜+9 G04 x 4 13K x 1,且Q点在线段A C上时，过。点作Q G L A 8于G点，设交B C于尸点，MN交 B C 于 E 点,过M点作尸于，点，先证明E N8是等边三角形、加 尸是等边三角形，重叠部分是菱形P Q W N的面积减去等边AMEF的面积，求出菱形P Q W N的面积和等边ME尸的面积即可，此时需要求出当。点在C点时的临界条件；当 x/3x,.重叠的面积等于菱形尸QMN的
34、面积为，即为：y=PNxQG=2xxyf3x=243x2；当x l,且。点在线段A C 上时，过 Q 点作QGLA8于 G 点，设交BC于/点，MN交BC于E点、,过M点作NHLEF于H点,如图,/PQ/M N,：.MNB=Z。尸 N=60,VZB=60,.EM3是等边三角形,同理可证明AMEF是等边三角形：.BN=NE,NMEF=60,ME=EF,:AP=PQ=PN=MN=2x,AB=6,：.BN=6-AN=6-4x,:.ME=MN-NE=2X-BN=6K-6,M H L E F,MH=ME mNMEH=(6x-6)xsin60=(3x-3)6 ,的的面积为口.小小阳毛心-相艮9届行QG二
35、PQxsinNQPN=2工 xsin60=Gx,菱形PQMN的面积为P N x Q G =2x x瓜 =2Gf,重叠部分的面积为y=S箜 形 也对一5 A“历=2百/一 9豆。-1)2=-76*2+18辰-9 6，当。点与C 点重合时，可知此时N 点与B点重合，如图，NCP8=NC8A=60,.P8C是等边三角形，：.P C=P B,9：AP=P Q=2x,：.AP=P B=2xf3：.AB=AP+PB=4X=69 则 x=-,2即此时重合部分的面积为：=-7 后 2 +18后-9后，K x p3当5 /3(3-x)=/3x2-6/3x+9 /3,此时重叠部分的面积y =S&PBQ=/3X2-
36、6，2瓜2综上所述：=1-7 尺+18 瓜-96辰-6Gx+960 x l3Kx-.2-x 32【点睛】本题考查了 一次函数的应用、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，理清运动过程中Q点的位置以及菱形PQM N 的位置是解答本题的关键.解答本题需要注意分类讨论的思想.5.(20 22黑龙江牡丹江)在菱形A B C。和正三角形3 G 尸中，Z A B C =60,尸是。尸的中点，连接PG、PC.(1)如 图 1,当点G在 B C 边上时，写出PG与 PC的数量关系.(不必证明)(2)如图2,当点尸在A 8的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写
37、出你的猜想，并给予证明；(3)如图3,当点尸在C B 的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想(不必证明).【答案】(1)P G =J 5P C(2)P G =J 5P C ,证明见解析(3)P G =J 5P C【分析】(1)延长GP交。C于点E,利用P E D 二P G F(S AS),得出P E=P G,D E=F G,得到C E =C G,C P 是EG的中垂线，在K TAC P G 中，Z P C G =6 0,利用正切函数即可求解；(2)延长GP交。A 于点E,连接E C,G C,先证明D P E 名F P G(4S A),再证明 和APGR中，4DPE=4FP
38、G 和 ACBG 中，CD=CBBC.图1图2图3(1)如 图1,CB平分N A C O,求证：四边形48DC是菱形；(2)如图2,将(1)中的ACOE绕点C逆时针旋转(旋转角小于NBAC),BC,OE的延长线相交于点F,用等式表示N4CE与/E F C之间的数量关系，并证明；(3)如图3,将(1)中的 绕点C顺时针 旋 转(旋转角小于/A B C),若N B A D =N B C D,求/A Q B的度数.【答案】(1)见解析(2)NACE+/FC=18()。，见解析(3)30。【分析】(1)先证明四边形ABDC是平行四边形，再根据A 8=A C得出结论；(2)先证出N A b =NC/L再
39、根据三角形内角和Z.CEF+Z.ECF+Z E F C =180,得到Z A C F+Z E C F+Z E F C=180,等量代换即可得到结论；(3)在AD上取一点M,使得A M=C B,连接8 M,证得也CDB,得到 4/B A =NBDC,设 N B C D =N B A D =a,4 B D C =/3,则 NA8=a+力，得到 a+的关系即可.(1)V A A B C A D E C ,J.ACDC,：AB=AC,:/ABC=NACB,AB=DC,C 8平分NACO,.ZACB=ZDCB,ZABC=/D C B,：.A B/C D,四边形A8DC是平行四边形，：AB=AC,四边形A
40、BOC是菱形；结论：ZACE+ZEFC=180.证明：VJ ZABC=/D E C,9：AB=AC,：.ZA B C =ZACB,：.ZACB=/D E C,ZACB+ZACF=ZDEC+ZCEF=180,ZACF=ZCEF,.,Z.CEF+ZECF+ZEFC=180,ZACF+ZECF+ZFC=180,ZACE+ZEFC=80；(3)在 A。上取一点M,使得A M=C 3,连接BM,:AB=CD,/BAD =/B C D,：.小 ABM 四8 8 ,:BM=BD,NMBA=NBDC,：.ZADB=/BM D,/ZBMD=ABAD+ZMBA,:.ZADB=ABCD+ZBDC,设 ZBCD=NB
41、AQ=a,ABDC=p,则 ZA8=a +4，：CA=CD,：.ZCAD=ZCDA=a+2j3,：.ZBAC=ACAD-ABAD=2/3,Z.ZACB=1(180-NBAC)=90。-夕，ZAC=(90。叫+&,ZACD+ACAD+ZCDA=180,/.(90o-)+a +2(a+2/?)=180,A a+p =30,即 ZADB=30.【点睛】本题考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等，灵活运用知识，利用数形结合思想，做出辅助线是解题的关键.8.(2022湖南衡阳)如图，在菱形A8CO中，AB=4,N 历1。=60。，点?从 点 A 出发，沿 线 段 以 每 秒 1
42、个单位长度的速度向终点。运动，过点尸作P Q L 4 8 于点Q,作 PM LA O 交直线A 8于点M,交直线BC于点尸，设APQM与菱形ABC。重叠部分图形的面积为S(平方单位)，点 P 运动时间为，(秒).(1)当点M 与点8 重合时，求 的值;(2)当f为何值时，AAPQ与ABMF全等;(3)求S与f 的函数关系式:(4)以线段PQ为边，在尸。右侧作等边三角形P Q E,当2 3 4 4 时，求点E 运动路径的长.【答案】(1H=2(2)f=4或f(3)5 =-手 产(0 金 42)-乌 2+22 G(2f 4 4)、8(4)近43【分析】(1)画出图形，根据30。直角三角形求解即可;
43、(2)根据全等的性质计算即可，需要注意分类讨论；(3)利用面积公式计算即可，需要根据M在B点左边和右边分类讨论；(4)先确定E点的运动轨迹是一条直线，再根据24 V 4求点E运动路径的长.(1)M与B重合时,ZA =60 ,PA=-A B=2,2f =2.(2)当0KY 2时，V A M=2 r,:/APQ/BMF,：.AP=BM,：.t=4-2 tf ,，.3当2 f 4,V A M=2 Z,.BM=2t 4,AAPQ/BMF,:.AP=BM、/.z =2 r-4,t=4.4J，=4或 r =.3(3)当0 4/4 2 时,当2 Y 4 时,V BF=t-2,MF=6(t-2),5AB=-2
44、)，S-S PQM-SgFM=-f2+2/-2y/3，or,0 t 2.si =8p-.-r2+2x/3r-2x/3,2r48(4)连接AE.DCA Q B.VPQE为正三角形，P E=t,2也在 根”E中，二 当=之=叵P A t 2，NR场为定值.，E的运动轨迹为直线，AE =y/AP2+P E2=t ,2当 f=2 时 A E =4 i,当/=4时，人后二？，？，二E的运动路径长为2e-=【点睛】本题属于四边形的综合问题，考查了菱形的性质，30。直角三角形的性质，全等三角形的性质，锐角三角函数等知识，综合程度较高，考查学生灵活运用知识的能力.力运动.过点E作点E所在的边（8C或C。）的垂
45、线，交菱形其它的边于 点 凡 在E尸的右侧作矩形EFG”.4 P A _ DB E H C B C图1图2（备用）（1）如 图1,点G在AC上.求 证：F A=F G.（2）若 EF =F G ,当EF过A C中点时，求AG的长.（3）已知尸G=8,设点E的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G,（包括全等）？C,”为顶点的三角形与ABE/相 似39.（2022浙江金华）如图，在菱形ABCD中，AB=10,sin B=，点E从点8出发沿折线8-C-3向终点【答案】（1）见解析（2）A G =7 或 53 2 3 2 s =l 或s =或s =r-或 1 0 4s M i 22 5 7【分析】（
46、1）证明A A P G 是等腰三角形即可得到答案：（2）记AC中点为点O.分点E在 B C上和点E在C。上两种情况进行求解即可；（3）过点4 作4 W LBC 点 M,作4 V LCD于点N.分点E在 线 段 上 时，点 E在线段MC上时，点 E在线段CN 匕 点 E在线段N O 匕共四钟情况分别求解即可.（1）证明：如 图 1,.四边形A B C D 是菱形,BA=B C,：.Z B A C =ZBCA.：FG/BC,：.Z FG A =ZBCA,：.B A C =ZFGA,.A F G 是等腰三角形，,FA=FG.(2)解：记 AC中点为点。.当点E在BC上时，如图2,过点4 作 40 _
47、1 8（7 于点AG D图23,在用AABM 中，AM=-AB=6,BM=yAB2-A M2=V102-62=8，FG=EF=AM=6,CM=BC-BM=2,：OA=OC,OE/AM,：.CE=ME=-CM=-x 2=l,2 2AF=ME=,：.AG=AF+FG=1+6=1.当点E在CD上 时,如 图3,以图3过点A作AN_LC于点M同理，FG=EF=AN=6,CN=2,AF=NE=-CN=,2：.AG=FG-AF=6-15.：.AG=7 或 5.(3)解：过点A作/18c于点仞，作AN 1.8于点N.当点 E在线段8M 上时，0 sW 8.设EF=3 x,则 BE=4x,G =E f=3x,
48、i）若点”在点C的 左 侧,s+8 4 1 0,即0 1 0,即2 sW 8,如图5,DA图5CH=BH-BC=(4x+8)-0=4x-2.,/GHCsFEB,.GH CH方 一 罚.GH EF.-=-,CH BE.3x 3,4%一2 一 此方程无解.:GHCS/BEF,GH CHBE-F).GH BEC H F9.3x 4 =-14x 2 3解得x=T，经检验，x=T是方程的根，当点E在线段MC上时，8 5 1 0,如图6,EF=6,EH=8,BE=s.BH=BE+EH=s+8,CH=BH-BC=s-2.4 G H es/F E B ，GH CHEFBEGH EFCHBE6 6-=，s-2
49、s此方程无解.,/AGHCSABEF,GH CHB E E Fy.GH BECHEF.6 s-=一，s-2 6解得 s=1 土 37,经检验，s=l 土 后 是方程的根,V 85 10,s=l 历 不 合 题意，舍去;当点E 在线段CN上时，10W SW 12,如图7,过点C 作 C/J.A B 于点J,图7在心&/C中，BC=10,C/=6,B J=8.EH=BJ=8,JF=CE,:.BJ+JF=EH+CE,:CH=B F,.GH=E F/G H C =NEFB=90,:.A G H 3/E F B ,符合题意，此时，1 0 4s 41 2.当点E在 线 段 上 时，1 2 s 2 0,90
50、.G H C与ABEF不相似.综上所述，s 满足的条件为：s =l 或s =13 2|或S =半3 2或 1 0 4S 41 2.【点睛】此题考查了相似三角形的性质、菱形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、矩形的性质、锐角三角函数等知识，分类讨论方法是解题的关键.1 0.(2 02 2 四川南充)如图，在矩形A 8 C D 中，点。是 AB的中点，点 M是射线0 c上动点，点 P在线段4 0上(不 与 点 A重合)，OP=AB.备用图(1)判断A A B P 的形状，并说明理由.(2)当点M为边。C中点时，连接C P 并延长交AO于点N.求证：P N =AN.Q(3)点。在边 AO上，4