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1、全国高中数学联赛第一试模拟试卷考试时间： 120分钟考试对象：全日制普通高级中学学生一、填空题（每小题8 分，共 64 分）1. 函数5sin4cosxyx的最大值是。（原创）2. 已知数列na满足136a，12nnaan（*nN） ，则nan的最小值为。（原创）3. 设, ,a b c均为非零复数，令1322wi，若abcbca，则abcabc的值为。( 改编自 2013 年全国高中数学联赛辽宁省预赛) 4. 设,B C是定点且都不在平面上，动点 A 在平面上且3sin2ABC， 则 A点的轨迹是。（原创）5. 已知( )f x为 R 上增函数，且对任意 xR， 都有( )34xff x，
2、则(3)f。( 改编自 2013 年全国高中数学联赛福建省预赛)6. 将全体正整数自小到大一个接一个地顺序写成一排，则从左至右的第2015个数字是。（原创）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 7. 函数20151( )|kf xxk的最小值是。（原创）8., ,a b c是不同的正整数，若集合222,(1) ,(2) ab bc cannn，n为正整数，则222abc的最小值是。（原创）二、解答题（本大题共3 小题，共 56 分）9.
3、 (16 分)已知函数323( )31xxf xx， 数列 nx满足：12x，*1() ()nnxf xnN，记1311log ()1nnnxbx*()nN （原创）（1）求证：数列 nb成等比数列，并求数列nb的通项公式；（2）记nncnb*()nN，求数列 nc的前 n项和公式nT 10. (20 分)设点 P 为圆221:2Cxy上的动点，过点 P 作 x轴的垂线，垂足为Q，点 M 满足2MQPQu uu u ruuu r。( 改编自 2013 年全国高中数学联赛辽宁省预赛) （1）求点 M 的轨迹2C 的方程；（2）过直线2x上的点 T 作圆1C 的两条切线， 设切点分别为 AB、，若
4、直线AB与(1)中的曲线2C交于 C、D两点，求|CDAB的取值范围。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 11. (20 分) 设函数( )f x定义于闭区间0,1满足(0)0f，(1)1f，同时对任意,0,1x y，且 xy ，都有22()(1)( )( )2xyfaf xa f y，其中常数 a满足0a1，求 a的值。 （原创）解答1.202 1015将函数式看做定点(4,5)与动点(cos ,sin)xx连线的斜率。而动点(co
5、s ,sin)xx的轨迹是一个单位圆，设过点(4,5)的直线方程为5(4)yk x，即(45)0ykxk，当斜率取最大值时，该直线应是单位圆的一条切线，于是原点到该直线距离为1，即有2451kk，所以202 1015k，因此最大值是202 1015k。2.11 由1136,2nnaaan知，12(1)nnaan，122(2)nnaan，212 1aa，136a。n个等式左右两边分别相加， 得(1)36nan n。所以，361nannn。因此6n时，nan有最小值 11。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -
6、 - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 3.21, ,设abckbca，则31k，21, ,k，2232222111abcbkbbkkkkkkkabcbkbbkkkkk，所以21,abckabc。4.椭圆，双曲线，抛物线满足3sin2ABC的 A点的轨迹是以 B 为锥顶，以BC为轴线的一个圆锥面（母线与锥线的夹角为60） 。因为 A点在平面上，从而其轨迹是圆锥面与平面的交线，所以轨迹可能是三种圆锥曲线的任何一种，即椭圆，双曲线，抛物线均有可能。5.28 依题意，( )3xf x为常数。设( )3xf xm，则()4f m，( )3xf xm。34mm，340mm
7、。易知方程340mm有唯一解1m。( )31xf x，3(3)3128f。6.0 全体一位数共占据9 个数位，全体两位数共占据290180个数位，接下来是顺次排列的三位数，由于2015 91801826，而1826260833，因为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 60899707，所以第 2013 个数字是三位数 707 的末位数字，于是第2015个数字是三位数 708的中间位置的数字0. 7.1015056 由于 1,2 ，20
8、15的中位数是 1008，当1008x时，函数取得最小值(1008)2(12+1007)=1015056fL。8.1297 由222(1)(2)2()nnnabc偶数 ，所以,1,2n nn两奇一偶，即 n为奇数，显然1n ，不妨设 abc ，如果3n，则由9ab，16ac，25bc得25abc，此时推得0a，矛盾。所以5n，当5n时，由25ab，36ac，49bc解得6a，19b，30c，这时2221297abc。9.（1）33232133212311() 131331131()13311131nnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxf xxxxxxxxxf xxxxxx（ 4 分）于是1
9、33111log ()3log ()11nnnnxxxx，即13nnbb ，所以数列nb成等比数列。又1321log ()121b，于是13nnb，所以数列nb的通项公式为13nnb（ 8 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - （2）由（1）知，13nnb，故13nncn，01211 3233 33nnTnL，12331 323333nnTnL，于是213121333332nnnnnTnnL， （12 分）即331(21) 3124
10、4nnnnnnT，数列 nc的前n项和公式*(21) 31()4nnnTnN。（ 16 分）10. （1）设点()M x y,，由2 MQPQuu u u ru uu r，得(2 )P xy,。由于点P在2212Cxy：上，所以2222xy，即M的轨迹方程为2212xy。（ 5 分）（2）设点(2)Tt ,，1122(,)()A xyB xy，,则AT，BT的方程为112x xy y，222x xy y，又点(2, )Tt在AT、BT上，则有：1122xty，2222xty，（ 8 分）由、知AB的方程为：22xty，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -
11、欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 设点1122()()C x yD xy,，,，则圆心O到AB的距离224dt，则222224|224tABrdt；（ 10 分）又由222212xtyxy，得22(8)440tyty，于是12248tyyt，12248y yt，2221222428|1|48tttCDyyt，于是2222|(8)2|(4)4ABttCDtt，设24ts，则4s，于是3233|6326321|ABssCDsss，设11(04mms，,，于是3|1632|ABmmCD，（ 15 分）设3()16
12、32f mmm，2()696fmm，令()0fm，得14m，得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - ()f m在1(04,上单调递增，故()(12f m,，即|CDAB的范围为2,12。 （20 分）11. 取0 x，1y，则222101( )()(1)(0)(1)22ffafa fa再取14x，34y，则221311344()()(1) ()( )2244ffafa f（ 10 分）取0 x，12y，则22410112( )()(1) (0)( )422ffafa fa取12x，1y，则222411312()()(1)( )(1)2422ffafa faa将、代入得24224641( )(1)(2)232faaaaaaa（ 15 分）由与得26423aaa，解得0a，22a，1a，而 0a1，因此22a。（ 20 分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -