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1、十年（20142023）高考真题分项汇编数列解答题目录题型一：数列的概念和通项公式1题型二：等差数列的定义与性质2题型三：等比数列的定义与性质3题型四：数列的求和3题型五：数列中的新定义问题7题型六：数列中的证明问题11题型七：数列与其他知识的交汇14题型八：数列的综合应用18题型九：数列结构不良试题18题型一：数列的概念和通项公式1(2021年新高考卷第17题) 已知数列满足，(1)记，写出，并求数列的通项公式；(2)求的前20项和2(2014高考数学湖南理科第20题) 已知数列满足，()若是递增数列，且成等差数列，求的值；()若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式3(2019全国理
2、第19题) 已知数列和满足，证明：是等比数列，是等差数列；求和的通项公式4(2014高考数学广东理科第19题) 设数列的前和为,满足，且(1)求的值；(2)求数列的通项公式5(2014高考数学湖北理科第18题) 已知等差数列满足：，且、成等比数列 ()求数列的通项公式()记为数列的前项和， 是否存在正整数，使得若存在， 求的最 小值；若不存在，说明理由6(2021年高考全国乙卷理科第19题) 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知(1)证明：数列是等差数列;(2)求的通项公式7(2018年高考数学浙江卷第20题) 已知等比数列的公比，且，是的等差中项数列满足，数列的前项和为(1)求的值；(
3、2)求数列的通项公式题型二：等差数列的定义与性质1(2023年新课标全国卷第20题) 设等差数列的公差为，且令，记分别为数列的前项和(1)若，求的通项公式；(2)若为等差数列，且，求2(2015高考数学四川理科第16题) 设数列的前项和，且成等差数列(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前项和，求得成立的的最小值3(2022年高考全国甲卷数学（理）第17题) 记为数列的前n项和已知(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值4(2021年新高考全国卷第17题) 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若(1)求数列的通项公式；(2)求使成立的n的最小值题型三：等比数列的定义与性质1(20
4、18年高考数学课标卷（理）第17题) (12分)等比数列中，(1)求的通项公式；(2)记为的前项和，若，求2(2016高考数学课标卷理科第17题) 已知数列的前项和,其中.()证明是等比数列,并求其通项公式;()若,求.题型四：数列的求和1(2018年高考数学课标卷（理）第17题) (12分)记为等差数列的前项和，已知，(1)求的通项公式；(2)求，并求的最小值2(2016高考数学课标卷理科第17题) (本题满分12分)为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如(I)求；(II)求数列的前1 000项和3(2020年新高考全国卷（山东）第18题) 已知公比大于的等比数列满足(1)求
5、的通项公式；(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前项和4(2020年新高考全国卷数学（海南）第18题) 已知公比大于的等比数列满足(1)求通项公式；(2)求5(2023年全国甲卷理科第17题) 设为数列的前n项和，已知(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和6.(2020天津高考第19题) 已知为等差数列，为等比数列，()求和的通项公式；()记的前项和为，求证：；()对任意的正整数，设求数列的前项和7(2014高考数学山东理科第19题) 已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列()求数列的通项公式；()令，求数列的前项和8(2014高考数学江西理科第18题) 已知首项都是1的两个数列
6、(),满足(1)令,求数列的通项公式;(2)若,求数列的前n项和9(2014高考数学大纲理科第18题) 等差数列的前n项和为，已知，为整数，且(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和10(2015高考数学新课标1理科第17题) (本小题满分12分)为数列的前项和已知()求的通项公式：()设,求数列的前项和11(2015高考数学天津理科第18题) (本小题满分13分)已知数列满足，且成等差数列()求的值和的通项公式；()设，求数列的前项和12(2015高考数学山东理科第18题) 设数列的前项和为已知()求的通项公式；()若数列满足，求的前项和13(2015高考数学湖北理科第18题) (本小
7、题满分12分)设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为已知，()求数列，的通项公式；()当时，记，求数列的前项和14(2017年高考数学天津理科第18题) 已知为等差数列,前项和为,是首项为的等比数列,且公比大于,(1)求和的通项公式;(2)求数列的前项和 15(2016高考数学山东理科第18题) (本小题满分12分)已知数列 的前n项和，是等差数列，且 ()求数列的通项公式；()令 求数列的前项和16(2020年高考课标卷理科第17题) 设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项(1)求的公比；(2)若，求数列的前项和17(2020年高考课标卷理科第17题) 设数列an满足a1=3，(1
8、)计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；(2)求数列2nan的前n项和Sn18(2014高考数学浙江理科第19题) 已知数列和满足若为等比数列，且(1)求与；(2)设。记数列的前项和为(i)求；(ii)求正整数，使得对任意，均有19(2014高考数学上海理科第23题) 已知数列满足(1)若，求的取值范围；(2)若是公比为的等比数列，若，求的取值范围；(3)若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差题型五：数列中的新定义问题1(2017年高考数学江苏文理科第19题) 对于给定的正整数,若数列满足对任意正整数总成立,则称数列是“数列”(1)证明:等差数列是“数列”;(
9、2)若数列既是“数列”,又是“数列”,证明:是等差数列 2(2023年北京卷第21题) 已知数列的项数均为m，且的前n项和分别为，并规定对于，定义，其中，表示数集M中最大的数 (1)若，求的值；(2)若，且，求；(3)证明：存在，满足 使得3(2019上海第21题) 数列有项，对任意，存在，若与前项中某一项相等，则称具有性质.(1)若，求可能的值；(2)若不为等差数列，求证：中存在满足性质；(3)若中恰有三项具有性质，这三项和为，使用表示.4(2019江苏第20题) 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.(1)已知等比数列满足：，求证:数列为“数列”；(2)已知数列bn满足:，其中为数
10、列的前项和求数列的通项公式；设为正整数，若存在“数列” ，对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值5(2019北京理第20题) 已知数列，从中选取第项、第项、第项()，若，则称新数列为的长度为m的递增子列规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列()写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；()已知数列的长度为p的递增子列的末项的最小值为，长度为q的递增子列的末项的最小值为若pq，求证：；()设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等若的长度为的递增子列末项的最小值为，且长度为末项为的递增子列恰有个()，求数列的通项公式6(2018年高考数学江苏卷第26题) (本小
11、题满分10分)设，对1，2，n的一个排列，如果当s1)，则，整理可得：，数列的通项公式为：(2)由于：，故：5(2023年全国甲卷理科第17题) 设为数列的前n项和，已知(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和【答案】(1) (2)解析：(1)因为，当时，即；当时，即，当时，所以，化简得：，当时，即，当时都满足上式，所以(2)因为，所以，两式相减得，即，6.(2020天津高考第19题) 已知为等差数列，为等比数列，()求和的通项公式；()记的前项和为，求证：；()对任意的正整数，设求数列的前项和【答案】()，；()证明见解析；()【解析】()设等差数列的公差为，等比数列的公比为由，可得从而的
12、通项公式为由，又，可得，解得，从而的通项公式为()证明：由()可得，故，从而，所以()当为奇数时，当为偶数时，对任意的正整数，有，和 由得 由得，由于，从而得：因此，所以，数列的前项和为7(2014高考数学山东理科第19题) 已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列()求数列的通项公式；()令，求数列的前项和【答案】(1)；(2)(或)解析：(1)因为， ，由题意得，解得，所以(2)当为偶数时， 当为奇数时， 所以(或)8(2014高考数学江西理科第18题) 已知首项都是1的两个数列(),满足(1)令,求数列的通项公式;(2)若,求数列的前n项和【答案】(1)(2) 分析:(1)已知数列
13、,因此对变形为所以数列是以首项,公差的等差数列,故 (2)由知,是等差乘等比型,所以求和用错位相减法 , 相减得 所以 解析:(1)因为, 所以 所以数列是以首项,公差的等差数列,故 (2)由知 于是数列前n项和 相减得 所以 考点:等差数列定义,错位相减求和 9(2014高考数学大纲理科第18题) 等差数列的前n项和为，已知，为整数，且(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和【答案】(1)；(2)解析：(1)设等差数列的公差为，而，从而有若，此时不成立若，数列是一个单调递增数列，随着的增大而增大，也不满足当时，数列是一个单调递减数列，要使，则须满足即，又因为为整数，所以，所以此时(2)
14、由(1)可得所以10(2015高考数学新课标1理科第17题) (本小题满分12分)为数列的前项和已知()求的通项公式：()设,求数列的前项和【答案】()()分析：()先用数列第项与前项和的关系求出数列的递推公式，可以判断数列是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列的通项公式；()根据()数列的通项公式，再用拆项消去法求其前项和解析：()当时，因为，所以=3，当时，=，即，因为，所以=2，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以=；()由()知，=，所以数列前n项和为= =11(2015高考数学天津理科第18题) (本小题满分13分)已知数列满足，且成等差数列()求的值和的通项公式；(
15、)设，求数列的前项和【答案】() ; () 解析：() 由已知，有，即，所以，又因为，故，由，得，当时，当时，所以的通项公式为 () 由()得，设数列的前项和为，则，两式相减得，整理得所以数列的前项和为12(2015高考数学山东理科第18题) 设数列的前项和为已知()求的通项公式；()若数列满足，求的前项和【答案】(); ()分析：()利用数列前 项和 与通项 的关系求解；()结合第()问的结果，利用关系式求出数列的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n项和解析：()因为 所以， ，故 当 时， 此时， 即 所以， ()因为 ，所以 当 时， 所以 当 时， 所以两式相减，得
16、 所以经检验， 时也适合，综上可得： 13(2015高考数学湖北理科第18题) (本小题满分12分)设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为已知，()求数列，的通项公式；()当时，记，求数列的前项和【答案】解析：()由题意有， 即解得 或 故或()由，知，故，于是， -可得，故14(2017年高考数学天津理科第18题) 已知为等差数列,前项和为,是首项为的等比数列,且公比大于,(1)求和的通项公式;(2)求数列的前项和【答案】(1) (2) 【解析】(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为 由已知,得,而,所以 又因为,解得所以, 由,可得 由,可得, 联立,解得,由此可得 所以,数列的通项公式为,数列的通项公式为 (2)解:设数列的前项和为, 由,有, 故,