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1、1嵌套函数与复合方程及应用嵌套函数与复合方程及应用一、一、基本原理：一元二次方程根的分布对一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a0)和二次函数 f(x)=ax2+bx+c=0，有：(1)方程 f(x)=0的2个根都比k小的充要条件是0，b2a0.(2)方程 f(x)=0的2个根都比k大的充要条件是0，b2ak,af(k)0.(3)方程 f(x)=0的一根都在(m,n)内，另一根在(p,q)内的充要条件是af(m)0,af(n)0,af(p)0.(4)方程 f(x)=0的2个根都在 m,n内的充要条件是0，af(m)0,af(n)0,mb2an.(5)方程 f(x)=0的一根比k大，一根比k大
2、，一根比k小的充要条件是af(k)0.(6)方程 f(x)=0的2个根都在 m,n外，且一根比m小，另一根比n大的充要条件是af(m)0,af(n)0 若关于x的方程 f x2-2af x+2=0有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围是()A.0,116B.1,116C.2,32D.2,322 2已知函数 f(x)=e|x-1|,x0-x2-2x+1,x0，若方程 f2(x)+bf(x)+2=0有8个相异实根，则实数b的取值范围()A.(-4,-2)B.(-4,-2 2)C.(-3,-2)D.(-3,-2 2)3 3已知函数 f(x)=xx+1，x(-1,+)，若关于x的方程 f2(x)+m
3、|f(x)|+2m+3=0有三个不同的实数解，则m的取值范围是()A.-32，0B.-32，-43C.-32，-43D.-43，0题型题型2 2.f(f(x)=k型方程型方程24 4已知函数 f(x)=-x2-2x,x0 x2-4x+3,x0，g(x)=ex,x0|lnx|,x0，则函数h(x)=g(f(x)-1的零点个数为()个A.7B.8C.9D.105 5已知 f x是定义域为 R 的单调函数，且对任意实数 x，都有 f f x+22x+1=13，则 f log23的值为()A.0B.12C.45D.1三、三、习题演练习题习题1设xR，若函数 f(x)为单调递增函数，且对任意实数x，都有
4、 ff(x)-ex=e+1(e是自然对数的底数)，则方程 f(x)-x-2=0的解的个数为()个A.1B.0C.3D.22设定义域为R的函数 f(x)=1|x-1|(x1)1(x=1)，若关于x的方程 f2(x)+bf(x)+c=0有5个不同的实数解，则b+c值为()A.0B.1C.-1D.不能确定1嵌套函数与复合方程及应用嵌套函数与复合方程及应用一、一、基本原理：一元二次方程根的分布对一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a0)和二次函数 f(x)=ax2+bx+c=0，有：(1)方程 f(x)=0的2个根都比k小的充要条件是0，b2a0.(2)方程 f(x)=0的2个根都比k大的充要条件是
5、0，b2ak,af(k)0.(3)方程 f(x)=0的一根都在(m,n)内，另一根在(p,q)内的充要条件是af(m)0,af(n)0,af(p)0.(4)方程 f(x)=0的2个根都在 m,n内的充要条件是0，af(m)0,af(n)0,mb2an.(5)方程 f(x)=0的一根比k大，一根比k大，一根比k小的充要条件是af(k)0.(6)方程 f(x)=0的2个根都在 m,n外，且一根比m小，另一根比n大的充要条件是af(m)0,af(n)0 若关于x的方程 f x2-2af x+2=0有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围是()A.0,116B.1,116C.2,32D.2,32解析：
6、令 f x=t，则g t=t2-2at+2，作 f x的图象如图，设g t=t2-2at+2的零点为t1、t2，由图可知，要满足题意，则需 g t=t2-2at+2在 1,3上有两不等的零点，则1a0g 3=11-6t0=4a2-80，解得2 a0-x2-2x+1,x0，若方程 f2(x)+bf(x)+2=0有8个相异实根，则实数b的取值范围()A.(-4,-2)B.(-4,-2 2)C.(-3,-2)D.(-3,-2 2)解析：令 f(x)=t，则方程 f2(x)+bf(x)+2=0方程t2+bt+2=0如图是函数 f(x)=e|x-1|,x0-x2-2x+1,x0，的图象，根据图象可得：方
7、程 f2(x)+bf(x)+2=0有8个相异实根方程t2+bt+2=0有两个不等实数解t1，t2且t1，t2(1,2)可得=b2-8012+b1+2022+2b+201-b22-3b0h(1)=1+m+2m+30，解得-320，g(x)=ex,x0|lnx|,x0，则函数h(x)=g(f(x)-1的零点个数为()个A.7B.8C.9D.10解析：令h(x)=0得g(f(x)=1，令g(x)=1得ex=1x0 或|lnx|=1x0，解得x=0或x=e或x=1e f(x)=0或 f(x)=e或 f(x)=1e作出 f(x)的函数图象如图所示：由图象可知 f(x)=0有4个解，f(x)=e有两个解，
8、f(x)=1e有4个解，h(x)共有10个零点故选：D小结：求解复合函数y=gf(x)零点问题的技巧:(1)此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出 f(x),g(x)的图像(2)若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于 f(x)的方程gf(x)=0中 f(x)解的个数，再根据个数与 f(x)的图像特点,分配每个函数值 fi(x)被几个x所对应,从而确定 fi(x)的取值范围,进而决定参数的范围.5 5已知 f x是定义域为 R 的单调函数，且对任意实数 x，都有 f f x+22x+1=13，则 f log23的值为()A.0B.12C.45D.1解析：根据题意，令 f(x)+
9、22x+1=t，t为常数，可得 f(t)=13，且 f(x)=t-22x+1，所以x=t时有 f(t)=t-22t+1=13，将t=1代入，等式成立，所以t=1是 f(t)=13的一个解，因为 f(t)随t的增大而增大，所以可以判断 f(t)为增函数，所以可知函数 f(t)有唯一解t=1，又因为 f f x+22x+1=13，所以 f(x)+22x+1=1，即 f(x)=1-22x+1，所以 f log23=1-23+1=12.故选：B.至此，我们就将以复合函数为背景的命题原理和常见手法做了展示.当然，限于篇幅，很多题目并未来得4及展示，读者只需细心体会本节的内容，我觉得就可以基本上解决有关复
10、合函数的问题了.三、三、习题演练习题习题1设xR，若函数 f(x)为单调递增函数，且对任意实数x，都有 ff(x)-ex=e+1(e是自然对数的底数)，则方程 f(x)-x-2=0的解的个数为()个A.1B.0C.3D.2解析：设t=f(x)-ex，则 f(x)=ex+t，则条件等价为 f(t)=e+1，令x=t，则f(t)=et+t=e+1，函数 f(x)为单调递增函数，函数为一对一函数，解得t=1，f(x)=ex+1，故 f(x)-x-2=0，即ex+1-x-2=0，解得：x=0，故选：A2设定义域为R的函数 f(x)=1|x-1|(x1)1(x=1)，若关于x的方程 f2(x)+bf(x
11、)+c=0有5个不同的实数解，则b+c值为()A.0B.1C.-1D.不能确定解：作函数 f(x)=1|x-1|(x1)1(x=1)的图象，关于x的方程 f2(x)+bf(x)+c=0有5个不同的实数解，方程x2+bx+c=0有2个不同的实数解1，x1，1+x1=-b，1x1=c，故b+c=-1-x1+x1=-1，故选：C1保值区间保值区间1 1设aR，函数 f(x)=2x+a2x-a(1)已知a=1，求证：函数 f(x)为定义域上的奇函数；(2)已知a0(i)判断并证明函数 f(x)的单调性；(ii)函数 f(x)在区间m,n(mn)上的值域是k2m,k2n(kR)，求ka的取值范围1保值区
12、间保值区间1 1设aR，函数 f(x)=2x+a2x-a(1)已知a=1，求证：函数 f(x)为定义域上的奇函数；(2)已知a0(i)判断并证明函数 f(x)的单调性；(ii)函数 f(x)在区间m,n(mn)上的值域是k2m,k2n(kR)，求ka的取值范围【详解】(1)证明：因为a=1，所以 f(x)=2x+12x-1，由2x-10得函数y=f(x)的定义域为(-,0)(0,+)，又 f(-x)=2-x+12-x-1=2x+11-2x=-f(x)所以函数 f(x)为定义域上的奇函数(2)当a0，所以2x-a0，所以函数 f(x)的定义域为R(i)结论：函数 f(x)为(-,+)上的单调增函
13、数证明：设对任意的x1，x2R，且x1x2，f x1-f x2=2x1+a2x1-a-2x2+a2x2-a=2a 2x2-2x12x1-a2x2-a因为x1x2，所以2x10因为2x-a0，所以2x1-a0，2x2-a0，又a0，所以 f x1-f x20，即 f x1 f x2，所以函数 f(x)为(-,+)上的单调增函数(ii)因为mn，所以2m12n又由k2m,k2n知，k2mk2n，所以k0，因为a0，由(i)知，函数 f(x)为(-,+)上的单调增函数因为函数 f(x)在区间m,n(m0，所以方程t2+(a-k)t+ak=0有两个互异正根所以k-a0(a-k)2-4ak0ak0，解得0ka3-2 2.