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1、 5.2平面向量基本定理及坐标表示考试要求1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件知识梳理1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.若e1，e2不共线，我们把e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一个基底2平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解3平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(
2、x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.4平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则abx1y2x2y10.常用结论已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为；已知ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则ABC的重心G的坐标为.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底()(2)
3、设a，b是平面内的一个基底，若实数1，1，2，2满足1a1b2a2b，则12，12.()(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可以表示成.()(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变()教材改编题1(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是()Ae1(0,0)，e2(1，2)Be1(1,2)，e2(5,7)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2,3)，e2答案BD2若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为()A(2,2) B(3，1)C(2,2)或(3，1) D(2,2)或(3,1)答案A解析设P(x，
4、y)，由题意知，(x1，y3)(41,03)(1，1)，即3已知向量a(x,1)，b(2，x1)，若(2ab)a，则x为_答案2或1解析2ab(2x2,3x)，(2ab)a，2x2x(3x)，即x2x20，解得x2或x1.题型一平面向量基本定理的应用例1(1)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于()A. B.C. D.答案A(2)如图，已知平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2.若(，R)，则_.答案6解析方法一如图，作平行四边形OB1CA1，则，因为与的夹角为120，与的夹角为30，所以B1OC90.在RtOB1C中，OCB130，|2，所以
5、|2，|4，所以|4，所以42，所以4，2，所以6.方法二以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，B，C(3，)由，得解得所以6.教师备选1.(2022山东省实验中学等四校联考)如图，在RtABC中，ABC，AC2AB，BAC的平分线交ABC的外接圆于点D，设a，b，则向量等于()Aab B.abCab Dab答案C解析设圆的半径为r，在RtABC中，ABC，AC2AB，所以BAC，ACB，又BAC的平分线交ABC的外接圆于点D，所以ACBBADCAD，则根据圆的性质得BDAB，又因为在RtABC中，ABACrOD，所以四边形ABDO为菱形，所以ab.2.(2022苏州质检)
6、如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若(，R)，则_.答案解析由题图可设x(0x1)，则x()xx.因为，与不共线，所以，x，所以.思维升华(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决跟踪训练1(1)如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若(，为实数)，则22等于()A. B.C1 D.答案A解析()，所以，故22.(2)如图，以向量a，b为邻边作平
7、行四边形OADB，则_.(用a，b表示)答案ab解析ab，ab，bab.ab，ab.ababab.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知a(5，2)，b(4，3)，若a2b3c0，则c等于()A. B.C. D.答案D解析a2b3c0，c(a2b)a2b(5，2)(8，6)(13,4)，c(a2b).(2)如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，ADDC，ADDC2AB，E为AD的中点，若(，R)，则的值为()A. B. C2 D.答案B解析建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,0)不妨设AB1，则CDAD2，C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0,1)，(2,2)，(2,1)，(1
8、,2)，(2,2)(2,1)(1,2)，解得故.教师备选已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，则顶点D的坐标为()A. B.C(3,2) D(1,3)答案A解析设D(x，y)，则(x，y2)，(4,3)，又2，所以解得所以顶点D的坐标为.思维升华向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体跟踪训练2(1)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则等于()A1 B2C3 D4答案D解析以向量a和b的交点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，1)，B(6,
9、2)，C(5，1)，a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)，cab，(1，3)(1,1)(6,2)，则解得4.(2)在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则_，_.答案(3,2)(6,21)解析(1,5)(4,3)(3,2)，2(4,3)2(3,2)(2,7)，33(2,7)(6,21)题型三向量共线的坐标表示例3(1)已知a(1,2sin x)，b(2，cos x)，c(1,2)，若(ab)c，则锐角x等于()A15 B30C45 D60答案C(2)已知在平面直角坐标系Oxy中，P1(3,1)，P2(1,3)，P1，P2，P3三点共线且向量与向量a(1
10、，1)共线，若(1)，则等于()A3 B3C1 D1答案D解析设(x，y)，则由a知xy0，所以(x，x)若(1)，则(x，x)(3,1)(1)(1,3)(41,32)，即所以41320，解得1.教师备选1已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则_.答案解析由题意得2ab(4,2)，因为c(1，)，c(2ab)，所以420，解得.2已知O为坐标原点，点A(6,3)，若点P在直线OA上，且|，P是OB的中点，则点B的坐标为_答案(4,2)或(12，6)解析点P在直线OA上，又|，设点P(m，n)，则(m，n)，(6m,3n)若，则(m，n)(6m,3n)，解得P(2,1)
11、，P是OB的中点，B(4,2)若，则(m，n)(6m,3n)，解得P(6，3)，P是OB的中点，B(12，6)综上所述，点B的坐标为(4,2)或(12，6)思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则ab的充要条件是x1y2x2y1.(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)跟踪训练3平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)若(akc)(2ba)，求实数k；(2)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d的坐标解(1)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0
12、，解得k.(2)设d(x，y)，则dc(x4，y1)，又ab(2,4)，|dc|，解得或d的坐标为(3，1)或(5,3)课时精练1(2022泉州模拟)若向量(2,3)，(4,7)，则等于()A(2，4) B(2,4)C(6,10) D(6，10)答案B2(2022TOP300尖子生联考)已知A(1,2)，B(2，1)，若点C满足0，则点C的坐标为()A. B(3,3)C(3，3) D(4,5)答案D3下列向量组中，能表示它们所在平面内所有向量的一个基底是()Aa(1,2)，b(0,0)Ba(1，2)，b(3,5)Ca(3,2)，b(9,6)Da，b(3，2)答案B4在ABC中，角A，B，C所对
13、的边分别为a，b，c，m(a，b)，n(cos B，cos A)，则“mn”是“ABC是等腰三角形”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案D解析由mn，得bcos Bacos A0，即sin Bcos Bsin Acos A，所以sin 2Bsin 2A，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC为等腰三角形或直角三角形；反之，ABC是等腰三角形，若acb，则不能得到mn，所以“mn”是“ABC是等腰三角形”的既不充分也不必要条件5(多选)(2022聊城一中模拟)在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于点M，
14、设a，b，则下列结论正确的是()A.ab B.abC.ab D.ab答案ABD解析ab，故A正确；ab，故B正确；ab，故C错误；ab，故D正确6(多选)已知向量(1，3)，(2，1)，(m1，m2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是()A2 B. C1 D1答案ABD解析各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形因为(2，1)(1，3)(1,2)，(m1，m2)(1，3)(m，m1)假设A，B，C三点共线，则1(m1)2m0，即m1.所以只要m1，A，B，C三点就可构成三角形7在梯形ABCD中，ABCD，且DC2AB，若点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的
15、坐标为_答案(2,4)解析在梯形ABCD中，DC2AB，ABCD，2，设点D的坐标为(x，y)，则(4x,2y)，又(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即点D的坐标为(2,4)8(2022开封模拟)已知向量m(1,1)，n(2,2)若(2mn)(m2n)，则_.答案0解析由题意得，2mn(34,4)，m2n(3，3)，(2mn)(m2n)，3(34)4(3)0，解得0.9已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)(1)3ab
16、3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)(2)方法一mbnc(6mn，3m8n)，解得方法二abc0，abc，又ambnc，mbncbc，(3)设O为坐标原点，3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20)又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，(9，18)10已知a(1,0)，b(2,1)(1)当k为何值时，kab与a2b共线；(2)若2a3b，amb且A，B，C三点共线，求m的值解(1)kabk(1,0)(2,1)(k2，1)，a2b(1,0)2(2,1)(5,2)kab与a2b共线，2(k2)(1)50，即2k450，解得
17、k.(2)方法一A，B，C三点共线，即2a3b(amb)，解得m.方法二2a3b2(1,0)3(2,1)(8,3)，amb(1,0)m(2,1)(2m1，m)，A，B，C三点共线，8m3(2m1)0，即2m30，m.11(2022金华模拟)已知ABC的三边分别是a，b，c，设向量m(sin Bsin A，ac)，n(sin C，ab)，且mn，则B的大小是()A. B.C. D.答案B解析因为mn，所以(ab)(sin Bsin A)sin C(ac)由正弦定理得(ab)(ba)c(ac)，整理得a2c2b2ac，由余弦定理得cos B.又0B，所以B.12(多选)如图，B是AC的中点，2，P
18、是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且xy(x，yR)，则下列结论中正确的是()A当x0时，y2,3B当P是线段CE的中点时，x，yC若xy为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段D当P在C点时，x1，y2答案BC解析当y时，点P在线段BE上，故1y3，故A中结论错误；当P是线段CE的中点时，3()3(2)3(2)，故B中结论正确；当xy为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，故P的轨迹是一条线段，故C中结论正确；因为()，所以2，则2，所以x1，y2，D错误13已知|1，|，0，点C在AOB内，且与的夹角为30，设mn(m，nR)，则的值为
19、_答案3解析0，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则(1,0)，(0，)，mn(m，n)tan 30，m3n，即3.14若点M是ABC所在平面内一点，且满足.则ABM与ABC的面积之比为_；若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设xy，则xy_.答案14解析由，可知点M，B，C三点共线，令(R)，则()(1)，所以，即点M在边BC上，如图所示，所以.由xy，得x，y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线得解得所以xy.15若，是一个基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐标为(2,2)，则a在基底m(1,1)，n(1,2)下的坐标为_答案(0,2)解析因为a在基底p，q下的坐标为(2,2)，所以a2p2q(2,4)，令axmyn(xy，x2y)，所以即所以a在基底m，n下的坐标为(0,2)16如图，G是OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线(1)设，将用，表示；(2)设x，y，求证：是定值(1)解()(1).(2)证明由(1)得(1)(1)xy，因为G是OAB的重心，所以().又，不共线，所以解得所以3，即为定值