《第二章2.5.1第2课时 直线与圆位置关系的应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章2.5.1第2课时 直线与圆位置关系的应用.docx（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 第二章2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系第2课时直线与圆位置关系的应用【素养导引】能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.(数学运算、数学建模、逻辑推理)学习任务一圆的方程在实际问题中的应用(数学运算)【典例1】已知隧道的截面是半径为4米的半圆,车辆只能在道路中心线的一侧行驶.(1)一辆宽度为3米,高为3.5米的货车能不能驶入这个隧道?(2)如果货车的最大宽度为a米,那么货车要驶入该隧道,限高为多少米?【解析】(1)如图所示,建立平面直角坐标系,所以半圆的圆心坐标为(0,0),半径为4,故该半圆的方程为x2+y2=16(y0),将x=3代入得y=16-3
2、2=79=3r,所以直线与圆相离,所以轮船不会受到台风的影响.【思维提升】关于直线与圆位置关系的应用(1)建立坐标系,确定相关的直线、圆的方程,即建立数学模型.(2)利用直线与圆的位置关系,转化为求点到直线的距离、方程的解、不等式的解集等解决问题.【即学即练】为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图),它的附近有一条公路,从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A,接着向东再走7 km到达公路上的点B;从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE,求DE的最短距离.【解析】以O为坐标原点,OB,O
3、C所在的直线分别为x轴和y轴,建立平面直角坐标系,则圆O的方程为x2+y2=1,因为点B(8,0),C(0,8),所以直线BC的方程为x8+y8=1,即x+y=8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时,DE为最短距离.此时DE的最小值为|0+0-8|2-1=(42-1)km.学习任务三直线与圆位置关系的综合应用(数学运算、逻辑推理)【典例3】在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OAOB,求a的值.【解析】(1)方法一:曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为
4、(0,1),与x轴的交点为(3+22,0),(3-22,0),由圆的对称性可知圆心在直线x=3上,设该圆的圆心C为(3,t),则有r2=32+(t-1)2=(22)2+t2,解得t=1.故圆C的半径为r=32+(t-1)2=3.所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.方法二:设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则当x=0y=1时有1+E+F=0;当y=0时,x2-6x+1=0与x2+Dx+F=0是同一方程,所以有D=-6,F=1,E=-2.故圆C的方程为x2+y2-6x-2y+1=0.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)其坐标满足方程组x-y+a=0(x-3)2+(y-
5、1)2=9,消去y得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.所以=56-16a-4a20.在此条件下有:x1+x2=4-ax1x2=a2-2a+12,由于OAOB可得y1x1y2x2=-1,所以x1x2+y1y2=0.又因为y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0,由可得a=-1,当a=-1时,=56-16a-4a20,故a=-1.【一题多变】本例(2)的条件“OAOB”变为“若CAB的面积为92”,试求a的值.【解析】设圆心到直线x-y+a=0的距离为d,|AB|=l,由题意12ld=92,r2=d2+l24,即ld=9,r2=d2+l24,化简得
6、4d4-36d2+81=0,解得d2=92,d=322.所以|3-1+a|1+1=322,解得a=1或-5.【思维提升】关于直线与圆的综合应用(1)此类问题往往涉及垂直、面积、定值等问题,需要综合应用圆的方程、直线与圆的位置关系解题;(2)解题的方法:一是将所涉及的问题转化为直线与圆的位置关系,利用几何性质解题;二是将涉及的问题用坐标表示,如OAOBx1x2+y1y2=0,再把直线与圆方程联立消元,利用代数法解题.提醒:利用一元二次方程根与系数的关系,可以起到设而不求,整体代入的效果.【即学即练】在平面直角坐标系xOy中,已知圆M过点A(1,2),B(7,-6),且圆心在直线x+y-2=0上.
7、(1)求圆M的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于C,D两点,且CD=2OA,求直线l的方程.【解析】(1)由题意可解得线段AB的垂直平分线所在的方程为:y+2=34(x-4),即y=34x-5,因为圆心在直线x+y-2=0上,且圆M过点A(1,2),B(7,-6),则圆心为直线y=34x-5与直线x+y-2=0的交点,联立x+y-2=0y=34x-5,解得x=4y=-2,即圆心M为(4,-2),半径为MA=(4-1)2+(-2-2)2=5,所以圆M的标准方程为(x-4)2+(y+2)2=25.(2)由直线l平行于OA,可设直线l的方程为:y=2x+m,m0,则圆心M到直线l的距离为d=|8+2+m|22+1=|10+m|5,因为CD=2OA=25,所以d2+5=25,所以d=25=|10+m|5,则解得m=-20或m=0(舍去),则直线l的方程为2x-y-20=0. - 7 -