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1、 第二章2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系【素养导引】1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.(数学运算)2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题.(数学运算、逻辑推理)直线与圆的位置关系(1)条件:直线l:Ax+By+C=0与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心到直线l的距离为d,方程组Ax+By+C=0,(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)关系:关系几何法代数法相离dr方程组无解相切d=r方程组有一个解相交dr方程组有两个解诊断1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)如果直线与圆组成的方程组有解,则直线
2、与圆相交或相切.()提示:方程组解的个数等于直线与圆的交点个数.(2)过不在圆内的一点一定能作圆的切线.()提示:由初中知识可知正确.(3)过圆内一点作一条直线,则该直线一定与圆相交.()提示:过圆内一点的直线与圆一定有两个交点,故直线与圆相交.2.(教材改编题)直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是()A.过圆心B.相切C.相离D.相交但不过圆心【解析】选D.圆心(1,-1)到直线3x+4y+12=0的距离d=|31+4(-1)+12|32+42=115,0dr,所以相交但不过圆心.3.(教材改编题)直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值为()A.
3、0或2B.2C.2D.无解【解析】选B.由于直线与圆相切,故m=|m|12+12,解得m=0(舍去)或m=2.学习任务一直线与圆位置关系的判断(数学运算)【典例1】(1)若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+1=0没有公共点,则实数m的取值范围是()A.-5m15B.m15C.m13D.4m2,所以m15. (2)已知点(a,b)在圆C:x2+y2=r2(r0)的外部,则直线ax+by=r2与C的位置关系是()A.相切B.相离C.相交D.不确定【解析】选C.由已知a2+b2r2,且圆心到直线ax+by=r2的距离为d=r2a2+b2,则dr,故直线ax+by=r2与圆C的位置关系
4、是相交.【思维提升】直线与圆位置关系的判断(1)几何法:判断圆心到直线的距离d与圆半径r的关系;(2)代数法:直线与圆的方程联立,得到一元二次方程:相离相切相交0提醒:含有一个参数的二元一次方程表示的直线过定点,判断直线与圆的位置关系时,要先考察该定点与圆的位置关系.【即学即练】直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定【解析】选A.方法一:直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,所以直线l与圆相交.方法二:(几何法).由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离d=|m|m2+
5、110,故直线l与圆相交.学习任务二直线与圆相交问题(数学运算)【典例2】直线l:3x-y-6=0与圆x2+y2-2x-4y=0相交于A,B两点,则|AB|=_.【解析】由x2+y2-2x-4y=0,得(x-1)2+(y-2)2=5,所以该圆的圆心坐标为(1,2),半径r=5,又圆心(1,2)到直线3x-y-6=0的距离为d=|3-2-6|32+(-1)2=102,由(|AB|2)2=r2-d2,得|AB|2=4(5-52)=10,即|AB|=10.答案:10【一题多变】 (1)本例的条件变为:圆心坐标为(-2,1)的圆,被直线x-y-1=0截得的弦长为2,求这个圆的方程;【解析】由题意,设圆
6、的半径为r,圆心到直线距离为d,则d=|-2-1-1|12+(-1)2=22,所以弦长为2r2-d2=2,则r2=9,所以圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=9.(2)本例的条件变为:直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0,求过直线与圆的交点,且面积最小的圆方程.【解析】圆x2+y2+2x-4y+1=0,即(x+1)2+(y-2)2=4,表示以C(-1,2)为圆心,半径等于2的圆.圆心C到直线2x+y+4=0的距离为d=|-2+2+4|4+1=455,故弦长为2r2-d2=24-165=455,故当面积最小时,圆的半径为255.过点C且与2x+y+4=0垂直的直线为x-2y+
7、5=0,由2x+y+4=0x-2y+5=0,求得x=-135y=65,即所求圆的圆心为(-135,65),故所求的圆方程为(x+135)2+(y-65)2=45.【思维提升】直线与圆相交的弦长问题(1)代数法:求出直线与圆的交点坐标,利用两点间距离公式求弦长;(2)几何法:由圆的半径r,弦心距d,弦长l,利用勾股定理r2=d2+l22求弦长.【即学即练】已知直线x-3y+8=0和圆x2+y2=r2(r0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为_.【解析】依题意得,圆心(0,0)到直线x-3y+8=0的距离d=82=4,因此r2=d2+(|AB|2)2=25,又r0,所以r=5.答案:5学
8、习任务三直线与圆相切问题(数学运算)【典例3】(1)过点P(2,3)作圆(x-1)2+(y-1)2=1的切线,切线方程为_.【解析】当过点P的直线的斜率不存在时,直线为x=2,经验证可知与圆相切,当过P点的切线斜率存在时,设方程是y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,由|k-1+3-2k|k2+1=1得k=34,所以切线方程为y-3=34(x-2)即3x-4y+6=0.答案:x=2或3x-4y+6=0 (2)半径为1的圆C的圆心在第四象限,且与直线y=0和3x-y-6=0均相切,求该圆的标准方程.【解析】如图,由题意可设圆心坐标为(a,-1),r=1.则d=|3a+1-6|(3)2+
9、(-1)2=1,即|3a-5|=2,解得a=3或733,所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1或(x-733)2+(y+1)2=1.【思维提升】关于圆的切线问题(1)几何法:设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径求未知量,进而求出切线方程;(2)代数法:设出切线方程,与圆的方程联立,消元得到一元二次方程,利用=0求未知量,进而求切线方程.提醒:(1)设切线方程时注意斜率是否存在;(2)求过圆外一点的圆的切线时,若用几何法求出的切线只有一条,则另一条切线的斜率是不存在的,可根据圆外点的坐标直接写出方程.【即学即练】已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,求圆C的方程.【解析】由题意,设圆心(a,-a),a0.因为2r=|0+4|1+1=22,所以r=2.由|a+a|1+1=2,解得a=1.所以圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. - 7 -