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1、 第二章 阶段复习课题组一圆的方程1.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的方程为()A.(x+2)2+y2=9B.(x-2)2+y2=9C.(x+2)2+y2=8D.(x-2)2+y2=8【解析】选B.设圆C:(x-a)2+y2=r2,a0.把点M(0,5)代入得,a2+5=r2.圆心到直线2x-y=0的距离为|2a-0|5=455,解得a=2,r=3.所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.2.已知圆C和y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且被直线y=x截得的弦长为27,求圆C的方程.【解析】设圆C的方程为(x-a)2+(y
2、-b)2=r2.由圆C与y轴相切得|a|=r,又圆心在直线x-3y=0上,所以a-3b=0,圆心C(a,b)到直线y=x的距离为d=|a-b|2,由于弦心距d,半径r及弦的一半构成直角三角形,所以(|a-b|2)2+(7)2=r2.联立解方程组可得a1=3,b1=1,r1=3或a2=-3,b2=-1,r2=3.故圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.【技法点拨】求圆的方程的关注点(1)根据已知条件,选择设标准方程还是一般方程,如果条件中涉及圆心、弦长、距离等条件,一般设标准方程;(2)结合圆的性质,如垂径定理、切线的性质等,简化方程形式或直接求圆的方程的系
3、数.题组二直线与圆的位置关系已知圆C关于直线x+y+2=0对称,且过点P(-2,2)和原点O.(1)求圆C的方程;(2)相互垂直的两条直线l1,l2都过点A(-1,0),若l1,l2被圆C所截的弦长相等,求此时直线l1的方程.【解析】(1)由题意知,直线x+y+2=0过圆C的圆心,设圆心C(a,-a-2).由题意,得(a+2)2+(-a-2-2)2=a2+(-a-2)2,解得a=-2.因为圆心C(-2,0),半径r=2,所以圆C的方程为(x+2)2+y2=4.(2)由题意知,直线l1,l2的斜率存在且不为0,设l1的斜率为k,则l2的斜率为-1k,所以l1:y=k(x+1),即kx-y+k=0
4、,l2:y=-1k(x+1),即x+ky+1=0.由题意,得圆心C到直线l1,l2的距离相等,所以|-2k+k|k2+1=|-2+1|k2+1,解得k=1,所以直线l1的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.【技法点拨】关于直线与圆的位置关系(1)位置关系的判断:一般利用几何法判断,即判断圆心到直线的距离与半径的关系.(2)弦长公式:直线与圆相交时,圆的弦长l,半径r,弦心距d之间满足r2=d2+l24.(3)相切:圆心到切线的距离等于半径、过切点且垂直于切线的直线过圆心.题组三圆与圆的位置关系已知圆C1:x2+y2+4x-4y-5=0与圆C2:x2+y2-8x+4y+7=0.(1)证明圆C1
5、与圆C2相切,并求过切点的两圆公切线的方程;(2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程.【解析】(1)把圆C1与圆C2都化为标准方程形式,得(x+2)2+(y-2)2=13,(x-4)2+(y+2)2=13.圆心与半径长分别为C1(-2,2),r1=13;C2(4,-2),r2=13.因为|C1C2|=(-2-4)2+(2+2)2=213=r1+r2,所以圆C1与圆C2相切.由x2+y2+4x-4y-5=0,x2+y2-8x+4y+7=0,得12x-8y-12=0,即3x-2y-3=0,就是过切点的两圆公切线的方程.(2)由圆系方程,可设所求圆的方程为x2+y2+4x-4y-5+(3x-2y-3)=0.点(2,3)在此圆上,将点坐标代入方程解得=43.所以所求圆的方程为x2+y2+4x-4y-5+43(3x-2y-3)=0,即x2+y2+8x-203y-9=0.【技法点拨】1.关于两圆的位置关系一般利用几何法判断两圆的位置关系,即判断圆心距与两圆半径的和差的关系,另外注意圆的位置关系与其公切线的条数是对应的,可以利用位置关系判断公切线的条数,反之亦然.2.两圆的公共弦长将两圆的方程作差,即可得到公共弦所在直线的方程,再利用其中一个圆,构造弦长、半径、圆心距的关系求弦长. - 5 -