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1、1第二课第二课 随机变量及其分布随机变量及其分布核心速填(建议用时 5 分钟)1离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列出，则称X为离散型随机变量2条件概率的性质(1)非负性：0P(B|A)1.(2)可加性：如果是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A)3相互独立事件的性质(1)推广：一般地，如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)(2)对于互斥事件A与B有下面的关系：P(AB)P(A)P(B)4二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的(2)各次试验
2、中的事件是相互独立的(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生(4)随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数5超几何分布与二项分布的概率计算(1)超几何分布：P(Xk)(其中k为非负整数)Ck MCnkNM Cn N(2)二项分布：P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)k n6期望与方差及性质(1)E(X)X1P1X2P2XnPn.(2)D(X)(X1E(X)2P1(X2E(X)2P2(xnE(X)2Pn.(3)若ab(a，b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，E()E(ab)aE()b.(4)D(ab)a2D()(5)D()E(2)(E()2.7正态变量在三个特殊
3、区间内取值的概率(1)P(X)68.27%.(2)P(2X2)95.45%.(3)P(3X3)99.73%.体系构建2题型探究条件概率条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率求条件概率的主要方法有：(1)利用条件概率公式P(B|A)；PAB PA(2)针对古典概型，可通过缩减基本事件总数求解在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题如果不放回地依次抽取 2 道题，求：(1)第 1 次抽到理科题的概率；(2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率；(3)在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率.【导学号：950
4、32213】解 设“第 1 次抽到理科题”为事件A， “第 2 次抽到理科题”为事件B，则“第 1次和第 2 次都抽到理科题”为事件AB.(1)从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道题的事件数为n()A 20.2 5根据分步乘法计数原理，n(A)A A 12.1 31 43于是P(A) .nA n12 203 5(2)因为n(AB)A 6，2 3所以P(AB).nAB n6 203 10(3)法一(定义法)：由(1)(2)可得，在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概率P(B|A) .PAB PA3 10 3 51 2法二(直接法)：因为n(AB)6，n(A)12，所以P(B|
5、A) .nAB nA6 121 2规律方法 条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)求解PAB PB(或PB|APAB PA)(2)缩小样本空间法(直接法)：利用P(B|A)求解其中(2)常用于古典概型nAB nA的概率计算问题跟踪训练1抛掷 5 枚硬币，在已知至少出现了 2 枚正面朝上的情况下，问：正面朝上数恰好是3 枚的条件概率是多少？解 法一(直接法)：记至少出现 2 枚正面朝上为事件A，恰好出现 3 枚正面朝上为事件B，所求概率为P(B|A)，事件A包含的基本事件的个数为n(A)C C C C 26，2 53 54 55 5事件B包含的基
6、本事件的个数为n(B)C 10，P(B|A).3 5nAB nAnB nA10 265 13法二(定义法)：事件A，B同上，则P(A)，C2 5C3 5C4 5C5 5 2526 32P(AB)P(B)，C3 5 2510 32所以P(B|A).PAB PAPB PA5 13相互独立事件的概率与二项分布4求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解特别注意以下两公式的使用前提：(1)若A，B互斥，则P(AB)P(A)P(B)，反之不成立(2)若A，B相互独立，则P(AB
7、)P(A)P(B)，反之成立一个暗箱里放着 6 个黑球、4 个白球(1)依次取出 3 个球，不放回，若第 1 次取出的是白球，求第 3 次取到黑球的概率(2)有放回地依次取出 3 个球，若第 1 次取出的是白球，求第 3 次取到黑球的概率(3)有放回地依次取出 3 个球，求取到白球个数的分布列和期望.【导学号：95032214】解 设事件A为“第 1 次取出的是白球，第 3 次取到黑球” ，B为“第 2 次取到白球”，C为“第 3 次取到白球” ，(1)P(A) .C1 4C1 6C1 5C1 3C1 6 C1 4A2 92 3(2)因为每次取出之前暗箱的情况没有变化，所以每次取球互不影响，所
8、以P() .C6 103 5(3)设事件D为“取一次球，取到白球” ，则P(D) ，P() ，这 3 次取出球互不2 5D3 5影响，则B，(3，2 5)所以P(k)C(k0,1,2,3)E()3 .k3(2 5)k(3 5)3k2 56 5提醒：有放回地依次取出 3 个球，相当于独立重复事件，即B，则可根据独(3，2 5)立重复事件的定义求解规律方法 求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P(AB)P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具(2)涉及“至多” “至少” “恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系(3)公式“
9、P(AB)1P()”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率AB跟踪训练2红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C5各一盘已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为 0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用表示红队队员获胜的总盘数，求P(1)解 (1)设“甲胜A”为事件D， “乙胜B”为事件E， “丙胜C”为事件F，则， ，DE分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件因为P(D)0.6，P(E)0.5，P(F)F0.5，由对立事件的概率公式，知P()0.4，P()0.5，P()0.5.DEF红队至少两人获胜的
10、事件有DE，DF，EF，DEF.FED由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为PP(DE)P(DF)P(EF)P(DEF)FED0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.(2)由题意，知的可能取值为 0,1,2,3.P(0)P()0.40.50.50.1，DEFP(1)P(F)P(E)P(D)DEDFEF0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35，所以P(1)P(0)P(1)0.45.离散型随机变量的分布列、均值和方差1.含义：均值和方差分别反映了随机变量取值的平均水平及其稳定性2应用范围：均值和
11、方差在实际优化问题中应用非常广泛，如同等资本下比较收益的高低、相同条件下比较质量的优劣、性能的好坏等3求解思路：应用时，先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列对于一般类型的随机变量，应先求其分布列，再代入公式计算，此时解题的关键是概率的计算计算概率时要结合事件的特点，灵活地结合排列组合、古典概型、独立重复试验概率、互斥事件和相互独立事件的概率等知识求解若离散型随机变量服从特殊分布(如两点分布、二项分布等)，则可直接代入公式计算其数学期望与方差一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2,2,3,3,3 六个数字)(1)设随机变量表示一次掷得的点数和，求的分布
12、列(2)若连续投掷 10 次，设随机变量表示一次掷得的点数和大于 5 的次数，求E()，6D()解 (1)由已知，随机变量的取值为：2,3,4,5,6.设掷一次正方体骰子所得点数为0，则0的分布列为：P(01) ，P(02) ，1 61 3P(03) ，1 2所以的分布列为：P(2) ，1 61 61 36P(3)2 ，1 61 31 9P(4)2 ，1 61 21 31 35 18P(5)2 .1 31 21 3P(6) .1 21 21 4(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为 6，设其发生的概率为p，由(1)知，p ，1 4因为随机变量B，(10，1 4)所以E()np10 ，1
13、 45 2D()np(1p)10 .1 43 415 8规律方法 求离散型随机变量的期望与方差的步骤跟踪训练73为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3名从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛(1)设A为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望解 (1)由已知，有P(A).C2 2C2 3C2 3C2 3 C4 86 35所以，事件A发生
14、的概率为.6 35(2)随机变量X的所有可能取值为 1,2,3,4.P(Xk)(k1,2,3,4)Ck5C4k3 C4 8所以，随机变量X的分布列为X1234P1 143 73 71 14随机变量X的数学期望E(X)12 3 4 .1 143 73 71 145 2正态分布的概率对于正态分布问题，课标要求不是很高，只要求了解正态分布中最基础的知识，主要是：(1)掌握正态分布曲线函数关系式；(2)理解正态分布曲线的性质；(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关
15、于直线x对称，曲线与x轴之间的面积为 1.(2)利用 3原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的、进行对比联系，确定它们属于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一个设XN(10,1)(1)证明：P(1X2)P(18X19)(2)设P(X2)a，求P(10X18).【导学号：95032215】解 (1)证明：因为XN(10,1)，所以，正态曲线，(x)关于直线x10 对称，而区间(1,2)和(18,19)关于直线x10 对称，8所以，(x)dx，(x)dx2 119 18即P(1X2)P(18X19)(2)因为P(X2)P(2X10)P(10X18)P(X18)1，P(X2)P(X
16、18)a，P(2X10)P(10X18)，所以，2a2P(10X18)1，即P(10X18) a.12a 21 2母题探究：(改变结论)在题设条件不变的情况下，求P(8X12)解 由XN(10,1)可知，10，21，又P(8X12)P(102X102)0.954 5.规律方法 正态分布的概率求法(1)注意“3”原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率(2)注意数形结合由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题跟踪训练4为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区 1 000 名年龄在 17.5 岁至 19 岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(，22)，且正态分布密度曲线如图 22 所示若体重大于 58.5 kg 小于等于 62.5 kg 属于正常情况，则这 1 000 名男生中属于正常情况的人数是( )图 22A997 B954 C819 D683D 由题意，可知60.5，2，故 P(58.5X62.5)P(X)0.682 7，从而属于正常情况的人数是 1 0000.682 7683.