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1、 第7节对数函数考试要求1.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. 2.了解指数函数yax与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数知识诊断基础夯实【知识梳理】1对数函数及其性质(1)概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，)(2)对数函数的图象与性质a10a1时，y0；当0x1时，y1时，y0；当0x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数2.反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称它们的定义域和值域正好
2、互换常用结论对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数故0cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大【诊断自测】1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数ylog2(x1)是对数函数()(2)函数yln与yln(1x)ln(1x)的定义域相同()(3)当x1时，若logaxlogbx，则ab.()(4)函数ylog2x与ylog的图象重合()答案(1)(2)(3)(4)解析(1)形如ylogax(a0，且a1)为对数函数，故(1)错误(3)若0b10，且a1)的图象可能是()答案D解析当0a1时，函数yax的图象过
3、定点(0，1)，在R上单调递增，于是函数y的图象过定点(0，1)，在R上单调递减，函数yloga的图象过定点，在上单调递增显然A，B，C，D四个选项都不符合故选D.4函数yloga(x2)2(a0或a1)的图象恒过定点_答案(3，2)解析loga10，令x21，x3，yloga122，原函数的图象恒过定点(3，2)考点突破题型剖析考点一对数函数的图象及应用例1 (1)(2023北京东城区质检)函数ylogax与yxa在同一平面直角坐标系中的图象可能是()答案A解析当a1时，函数ylogax的图象为选项B，D中过点(1，0)的曲线，此时函数yxa的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a1，选项B，D
4、中的图象都不符合要求；当0a1时，函数ylogax的图象为选项A，C中过点(1，0)的曲线，此时函数yxa的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0a1，只有选项A中的图象符合要求(2)若方程4xlogax在上有解，则实数a的取值范围为_答案解析若方程4xlogax在上有解，则函数y4x和函数ylogax的图象在上有交点，由图象知解得0a.感悟提升1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项2一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解训练1 (1)(2023石家庄模拟)已知函数f(x)x，x(
5、2，8)，当xm时，f(x)有最小值n.则在平面直角坐标系中，函数g(x)log|xn|的图象是()答案A解析x(2，8)，x20，f(x)x22224，当且仅当x2，即x3时取等号，m3，n4.则函数g(x)log|x4|的图象在(4，)上单调递减，在(，4)上单调递增，观察选项可知，A符合(2)已知函数f(x)|log2x|，实数a，b满足0ab，且f(a)f(b)，若f(x)在a2，b上的最大值为2，则b_答案4解析f(x)|log2x|，f(x)的图象如图所示，又f(a)f(b)且0ab，0a1，b1且ab1，a2a，由图知，f(x)maxf(a2)|log2a2|2log2a2，a，
6、b2，b4.考点二对数函数的性质及应用角度1比较大小例2 (1)设alog412，blog515，clog618，则()Aabc BbcaCacb Dcba答案A解析a1log43，b1log53，c1log63，log43log53log63，abc.(2)(2021天津卷)设alog2 0.3，blog0.4，c0.40.3，则a，b，c的大小关系为()Aabc Bcab Cbca Dacb答案D解析log20.3log210，a0.log0.4log20.4log2log221，b1.00.40.30.401，0c1，acb.角度2解对数不等式例3 (2023安徽江淮十校联考)已知函数f
7、(x)则不等式f(log2x)23)4f(log2x)的解集为_答案解析当x0时，f(x)2x20，4f(x)8x2f(2x)，且f(x)在0，)上单调递增当x0时，f(x)2x20，4f(x)8x2f(2x)，且f(x)在(，0)上单调递增所以f(x)在R上有4f(x)f(2x)，且函数f(x)是R上的增函数，于是原不等式可化为(log2x)232log2x，即(log2x)22log2x30，即(log2x1)(log2x3)0，得1log2x3，解得x8.角度3对数函数性质的综合应用例4 (2023武汉模拟)函数f(x)loga(32ax)在区间1，2上单调递增，则实数a的取值范围为()
8、A(0，1) B.C. D(1，)答案C解析设u(x)32ax(a0且a1)，则u(x)是减函数，要使得函数f(x)loga(32ax)在1，2上单调递增，只需ylogau为减函数，且满足u(x)32ax0在x1，2上恒成立，所以解得0a，所以实数a的取值范围为.感悟提升利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用训练2 (1)(2023沈阳调研)已知alog2.57，b
9、log415，c，则下列判断正确的是()Aabc BbacCcba Dbca答案D解析因为alog2.57log2.52.522，blog415log4162，c2，所以bca.(2)(2023淄博模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)单调递减，则不等式f(log(2x5)f(log38)的解集为_答案解析因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(，0上单调递减，所以可将f(log(2x5)f(log38)等价于|log(2x5)|log38|，即log3(2x5)log38或log3(2x5)log38log3，即2x58或02x5，解得x或x.(3)(2023湖北
10、七市联考)已知函数f(x)lg(x22x8)的单调递增区间为(a，)，则a_答案4解析由x22x80，得x4或x2，所以函数f(x)的定义域为x|x4或x2又函数x22x8在(4，)上单调递增，在(，2)上单调递减，而函数ylg 在定义域上单调递增，所以函数f(x)lg(x22x8)的单调递增区间为(4，)，故a4.分层精练巩固提升【A级基础巩固】1若函数f(x)loga(x1)(a0，a1)的定义域和值域都是0，1，则a等于()A. B. C. D2答案D解析当a1时，函数f(x)loga(x1)在0，1上是增函数，则即解得a2.当0a1时，函数f(x)loga(x1)在0，1上是减函数，所
11、以无解，综上，a2.2若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数且f(2)1，则f(x)等于()Alog2x B. Clogx D.2x2答案A解析函数yax(a0，且a1)的反函数是f(x)logax，又f(2)1，即loga21，所以a2.故f(x)log2x.3.(多选)函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，且a1)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A.a1 B.0c1C.0a1 D.c1答案BC解析由图象可知0a1，令y0得loga(xc)0，xc1，x1c，由图象知01c1，0c1.4.(2023濮阳模拟)已知a0且a1，函数yax的图象如图所示，则函数f(x
12、)loga(x1)的部分图象大致为()答案D解析由函数yax的图象可判断出a1.当a1时，ylogax的图象经过定点(1，0)，且为增函数.因为ylogax与yloga(x)的图象关于y轴对称，所以yloga(x)的图象经过定点(1，0)，为减函数.而f(x)loga(x1)可以看作yloga(x)的图象向右平移1个单位长度得到的.所以f(x)loga(x1)的图象经过定点(0，0)，为减函数.故选D.5.(2023重庆诊断)已知a2，blog420，clog312，则a，b，c的大小关系是()A.bca B.acbC.bac D.abc答案D解析因为a2(0，1)，blog4201log45
13、1，clog3121log341，所以ab，ac.下面比较log45和log34的大小.log45log340，所以log45log34，即bc.综上，abc.6.(2023长沙联考)已知alog0.12，blog5，则()A.ab0ab B.abab0C.ab0ab D.abab0答案D解析因为alog0.120，blog50，所以ab0，又因为ablog0.12log5lg 20，所以ab0，又log20.1log5log20.1log225log22.51，所以1，又ab0，所以abab，所以abab0.7.若实数x，y，z互不相等，且满足2x3ylog4z，则()A.zxy B.zyx
14、C.xy，xz D.zx，zy答案D解析设2x3ylog4zk0，则xlog2k，ylog3k，z4k，根据指数、对数函数图象易得4klog2k，4klog3k，即zx，zy.8.函数f(x)log2log (2x)的最小值为_.答案解析依题意得f(x)log2x(22log2x)(log2x)2log2x，当log2x，即x时等号成立，所以函数f(x)的最小值为.9.(2023泸州模拟)若函数yf(x)与y5x互为反函数，则yf(x22x)的单调递减区间是_.答案(，0)解析因为yf(x)与y5x互为反函数，所以f(x)log5x，则f(x22x)log5(x22x).设x22x，则f()l
15、og5，由x22x0，解得x0或x2，因为f()log5在其定义域上单调递增，又x22x在(，0)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以yf(x22x)的单调递减区间是(，0).10.设实数a，b是关于x的方程|lg x|c的两个不同实数根，且ab10，则abc的取值范围是_.答案(0，1)解析由题意知，在(0，10)上，函数y|lg x|的图象和直线yc有两个不同交点(如图)，ab1，0ckg(x)恒成立，求实数k的取值范围.解(1)h(x)(42log2x)log2x22(log2x1)2.因为x1，4，所以log2x0，2，故函数h(x)的值域为0，2.(2)由f(x2)f()kg(x)，得(34log2x)(3log2x)klog2x，令tlog2x，因为x1，4，所以tlog2x0，2，所以(34t)(3t)kt对一切t0，2恒成立，当t0时，kR；当t(0，2时，k恒成立，即k4t15，因为4t12，当且仅当4t，即t时取等号，所以4t15的最小值为3.所以k3.综上，实数k的取值范围为(，3).