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1、备 能 数 对数与对数函数 考试要求1 .理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,1 0,3 的对数函数的图象.3 .体会对数函数是一类重要的函数模型.4 .了解指数函数丁=。”0,且a Wl)与对数函数y=o g d(a 0,且a Wl)互为反函数.走进教材 夯实基础 回顾知识激活技能梳理必备知识1 .对数的概念如果优=N(a 0,且 W1),那么x叫做以。为底N的对数，记作x=l o g“N,其中。叫做对数的底数，N叫做真数.提醒：指数式与对数式的
2、关系藏i 嬴|对数a=N N0 logaAT=5|底 数(a 0且 aKl)|2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：l o g l =0；aiogaN=N；k g a =(a 0,且 a#l).(2)换底公式：l o g/=JS3(a，c 均大于且不等于1，0).lOgcU(3)对数的运算性质：如果 a 0,且 a Wl,MQ,N0,那么：l o g (M-7 V)=l o g“A/+l o g JV；l o g，W=1 0 g Ml o g TV；l o g“M =G R).3.对数函数的定义、图象与性质4.反函数指数函数且a#1)与对数函数y=l o g a x(a 0,I
3、L a Wl)互为反函定义函数y=l o g d(a 0 且 a Wl)叫做对数函数图象a0 1/：I;/l o g 产。1 启,。）7y 产1N(i,。)一y=i o g#性质定义域：(0,+8)值域：R当 x=l时，y=0,即过定点(1*0)当 O V x V l 时，y 1 时，y 0当 O V x V l 时，y 0；当 x 1 时,y 0在(0,+8)上为增函数在(0,+8)上为减函数数，它们的图象关于直线v=x对称.常用结论1 .换底公式的三个重要结论 b g康；n(3)l o g“l o g c-l o g 0且 的 图 象 过 定 点(1,0),且过点七，一1),函数图象不在第
4、二、三象限.()答案(1)X(2)X(3)V(4)V二 教材习题衍生1.(多选)(2020 山东临沂期末)若10a=4/0 =2 5,则下列结论正确的是()A.a+b=2 B.b-a C.a/?8(lg 2)2 D.Z?lg 6A CD 由 10a=4,10*=25,得a=lg4,b=lg25,则 a+b=lg4+lg25=lg 10025 25=2,。-a=lg 25lg4=lg 彳，又 lgy lg6,.,.balg6,.,.ab=41g 21g 541g 21g 4=8(lg 2，故选 ACD.2.已知 a=2 i,b=og,c=l o g 2 则()A.abc B.acbC.cba D
5、.cabD 因为 OVaVl,AVO,c=log_L；=log23l.所以 ca b.故选 D.2 33.函 数 翼 一 1)的定义域是.；，1 由 Iog2(2x1)NO,得 OVZc-lW l.4.函数y=log“(4x)+l(a 0,且 a#l)的图象恒过点(3,1)当 4尤=1,即 x=3 时，y=logl+l=l.所以函数的图象恒过点(3,1).细研考点-突破题型重难解惑直击高考 考点一对数式的化简与求值 4 例题对讲令 通 性 通 法对数运算的一般思路:首先利用零的运算把底数或真数进行变形,冢 一；化成分数指数嘉的形式，使嘉的底数最简.然:后利用对数运算性质化简合并合将对数式化为同
6、底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、暴的运算转化一利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；/=NO b=log“N（a 0,且 a#1）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化 典例1 设2=5=机，且+/=2,则机等于（）A.V10B.10C.20D.100侈选）下列各式或说法中正确的有（）A.lg(lg 10)=0B.lg(ln e)=0C.若 1 0=lg x,则 x=100D.若 log25X=；,贝 I x=5（3）（2020全国卷川）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立
7、了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/Q 的单位：天）的Logistic模型：/）=+e-M5 3），其中K 为最大确诊病例数,当）=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则/约为（In 19心3）（）A.60B.63C.66D.69A(2)AB(3)C(1)由已知，得。=log2/n,/?=log5m,则!+1=表+氤=lgm2+log，5=log，10=2.解得m=y 而.故选A.(2)对于 A,因为 1g 10=1,1g 1=0,所以 Q(lg 10)=lg 1=0,故 A 正确;对于 B,因为 lne=l,lg 1 =0,所以 lg(ln e)=lg 1=0,故 B 正确；对于C,因 为10=
8、怆匕 所以x=l()i,故C错误；对 于D,因为log25X=g,所 以254=不，所以=5,故D错误.故选AB.(3)由题意可得，当/*)=0.95K时，+e,(S五 产 95K，二七=e10-23Q*53),.In 19=0.23*一53),A f-5313,.1*g 6 6,故1 y选C点评：对数运算中10g/=康 是常用的性质之一.跟进训练1.(2020全国卷 I )设 log34=2,则 4一 =()A-16B-9C1 D 1c-8u-6B 法一：因为 alog34=2,所以 log34=2,则有 4=3?=9,所以 4一。=3，故选B.法二：因为 alog34=2,所以一Hog34
9、=2,所以 log34-=-2,所以 4-=3-2=3,故选B.法三：因为alog34=2,所以今=)匕=10843,所以4多=3,两边同时平方得4 =9,所以4-=/=/,故选B.2.(2019.北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足W2m i=|lg 亮,其中星等为侬 的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是一26.7,天狼星的星等是一 1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A.IO10-1 B.10.1C.1g 10.1 D.10一 1A 由题意知，mi=-2 6.7,侬=一 1.45,代入所给公式得一 1.45（一26.7）=|尼
10、 言,所以1g旨=10.1,Ei所以h =10）/，故选A.考点二 对数函数的图象及其应用 4例题对讲畲 通 性 通 法利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧（1）对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、零点时，常利用数形结合思想.（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.典例2（1）（多选）若函数/0）=优 2,g（x）=log4r,其中。0,且a W l,则函数7U），g（x）在同一坐标系中的大致图象可能是（）（2）当0后 3时，4，Vk）g g 则a 的取值范围是（）A.0,B.停 1)C.(1,的
11、 D.(啦，2)(1)AD(2)B 易知 g(x)=l o g“|x|为偶函数.当 O V a V l 时，火X)=L2 单调递减，g(x)=l o g“陛(0,+8)上单调递减，此 时 A选项符合题意.当a 1 时,段)=式 2 单调递增,g(x)=0 g a|x|在(0,+8)上单调递增，此时D选项符合题意.故选 A D.(2)构造函数八%)=4、和 g(x)=l o g“x,当 时 不 满 足|,y/条件，当0V&V1时，画出两个函数在(0,；上的图象，多可 知/七)8 8)，即 2 V l o g ,则乎，所以a的取值”)范 围 为 惇，1).母题变迁1 .将 本 例 中“y i o
12、g a x”变 为 4 =l o g u 有解”，a的取值范围是(o,阴 若方程4 =l o g a X 在(0,:上 有 解，则函数y=4 与函数y=l o g“x的图象在(0,3上有交点O V a V l,由图象可知“1l o g,产 2,解得OVaW乎,即a的取值范围为(0,科2 .若将本例(2)变为：当 0 启(时，5 l o g a x,则实数a的取值范围为&，1)若亚V l o g x 在 x (0,上 恒 成 立，则 O V a,16即实数a的 取 值 范 围 是1).跟进训练1.已知函数y=loga(x+c)(a,c 为常数，其中 aO,aWl)的图象如图，则下列结论成立的是(
13、)A.a 1,c 1 B.1,0C1C.0 a lD.01,0C1D 由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知OVaVlQVcVl.2.已知不等式f-logaxV O对xG(O,乡恒成立，则实数a的取值范围为讳，1J 由 X210g“xVO 得 fV lo g d,设力(X)=2,力(x)=o g d,要使 xW(0,习时，不等式/V lo g d恒成立，只需力(x)=/在(0,上的图象在力(X)=logaX图 象 的 下 方 即 可.当 时，显然不成立；当0 ()=*要使/VlOgaX在XW(O,J上恒成立，需力(J，.|2 1 ZiGAiog?：所以有(，2 W logg,解得。2点，
14、所以白WaVl.1O即实数a的取值范围是上，1).考点三对数函数的性质及其应用 4多 维 探 究考向1比较对数值的大小令 通 性 通 法比较对数值大小的常见类型及解题方法常见类型解题方法底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断底数为同一字母需对底数进行分类讨论底数不同，真数相同可以先用换底公式化为同底后，再进行比较底数与真数都不同常借助1,0等中间量进行比较典例3 1(1)已知&=1083孑 人=(),c=logi 1,则a,b,c的大小关系为()A.a b c B.b a cC.c b a D.c a b(2)(2019天津高考)已知 a=log5 2,b=logo.5 0.2,c=0
15、.50 2,则 a,b,c 的大小关系为()A.a c b B.a b cC.b ca D.c a b(3)(2020全国卷III)设 a=log32,Z?=log5 3,c=，则()A.a c b B.a b cC.b c a D.c a log3/log33=1,即 c a l,又(J9 V(；)=L.,.cab,故选 D.(2)V a=log5 2V logs小,Z?=logo.5。.2 logo,s O.5 =1,c=0.5020.5 21,：.a c b,故选 A.2 9 2(3)V 23 32,.*.23t,.,.log32log33t=-,：.a 52,.*.35 i,.log5
16、 3log5 5-=3，：.bc,：.a c b,故选 A.点评：本例T和T(3)主要使用了化为同底和中间量比较大小，其中常数化为同底，利用了性质m=ogaa ,本例T主要使用中间量比较大小.考向2解简单对数不等式畲 通 性 通 法求解对数不等式的两种类型及方法3典例3-2(1)若 log叮 0 且 a#1)，则实数。的取值范围是.类型方法logj c logZ?借助y=logax 的单调性求解，如果。的取值不确定，需分a 1 与 O Va Vl 两种情况讨论0%aXb需先将匕化为以a 为底的对数式的形式，再借助y=l o g d 的单调性求解 若 10gos 2+1)v i og“2 a V
17、 0,则a的取值范围是.(0,+o o)(2)&1)当 O V a V l 时，log,V log“a=l,.03 时,logl.实数a 的取值范围是(0,Ju(l,+8).(2)由题意得a 0 且 a Wl,故必有4+i 2 a,又 loga(2+1)V log“2 a V 0,所以 OVQV I,同时2a 1,所以a*.综上，a/,lj.点评：在对数不等式中，真数大于0 是隐含条件，不能忘记!考向3与对数函数有关的复合函数的单调性畲通性通法求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤典例3-3(1)(202。新高考全国卷II)已知函数_A x)=lg(一4 x 5)在(a,+8)单调递增，则。
18、的 取 值 范 围 是()一求求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论二判判断对数函数的底数与1 的关系，分与O Va Vl 两种情况判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性A.(8,-1 B.(8,2C.2,+8)D.5,+0)(2)设函数於)=logj _(4/-4 or+3a)在(0,1)上是增函数，则 a 的取值范围是3(1)D (2)2,4 由/-4x-5 0,得 xV-l 或 x 5,即函数凡r)的定义域为(-8,-1)U(5,+0).令 =/一 4 九一5,则，=(%2)29,所以函数/在(-8,1)上单调递减，在(5,+8)上单调递增，
19、又函数=lgr 在(0,十8)上单调递增，从而函数/U)的单调递增区间为(5,+8),由题意知(“，+8)三(5,+),.2 5,故选 D.(2)令 r=4 f 4 a r+3 a,由y=logi 在(0,+8)是减函数可得，=4 兀 24 ax3+3 a在(0,1)上是减函数，且/0 在(0,1)上恒成立，又 z=4 x24 ax 4-3a=4 x 2a2+3,号1 解得 2W aW 4.,4 4+3aN0,点评：已知/(x)=log g(x)在区间/，上是增函数，对于这类问题，应从两个方面考虑：一是根据a 与 1 的关系确定g(九)在“，向上的单调性，二是g(x)0 在 6加，同时恒成立，
20、此时只需g(X)mi n0即可.跟进训练1.已知 a=l og 27,h=l og 38,c=0.3-2,则 a,b,c 的大小关系为()A.c b a B.a b cC.b c a D.c a l og 24=2,1 /?=l og 38 l og 39=2,c=0.30 2 1,：.c b 0,2.设函数/U)=hog i(%),xvo,若为a)为一a),则实数a的取值范围是.2()A.(-1,O)U(O,1)B.(8,-)U(1,+8)C.(-1,O)U(1,+c)D.(一8,-l)u(o,l)Q0,由您意行,l og 2a l og j_ a 或“QVO,l og i（a）l og 2
21、（-a）,aQ,a l og 2a,U og 2（a）Q,f a 0 l og 2（z）l或一1 VaVO,故 选 C.3.函数y=l og!（f3尤+2）的单调递增区间为，值域为(-8,1)R 由fB x+Z X)得 x 2 或 xVl,即函数的定义域为 x|x 2 或 x 0),/在(2,+8)上单调递增，在(8,1)上单调递减，而函数y=l og j.r 在其定义域内是单调递减函数，.,.y=l og i (f 3x+2)在(-8,1)上单调递增，在Q,+8)上单调递减，即函数y=l og j_ Q23x+2)的单调递增区间为(一8,1),单调递减区间为(2,+8).4.已知a 0,若函数式幻=108 3(加一外在 3,4 上是增函数，则 a的取值范围是.(；,+j 要 使 於)=108 3(加 一 X)在 3,4 上单调递增，则=加 一 在 3,4 上单调递增，且在 3,4 上=加 一 x 0 恒成立，；W3,即7.解得9。-30,