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1、圆学子梦想 铸金字品牌 第一章1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算第2课时共线向量与共面向量【素养导引】1.掌握共线向量定理,会证明空间三点共线.(数学抽象、逻辑推理)2.掌握共面向量定理,会证明空间四点共面.(数学抽象、逻辑推理)一、共线向量1.空间两个向量共线的充要条件对任意两个空间向量a,b(b0),ab的充要条件是存在实数,使a=b.2.直线的方向向量在直线l上取非零向量a,与向量a平行的非零向量.【批注】1.共线向量定理中的“b0”,不能去掉.因为若a=b=0,存在,但不唯一;若b=0,a0,则不存在.2.直线l可以由其上一点和它的方向向量确定.诊断辨析记忆(对的打“
2、”,错的打“”).(1)空间向量a,b,c,若ab,bc,则ac.()(2)若=,则A,B,C三点共线.()提示:(1).若b=0时,a与c不一定平行.(2).由=知,且有公共点B,此时A,B,C三点共线.二、共面向量1.定义:平行于同一个平面的向量.2.共面向量定理:若两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=x a+y b.诊断辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)三个空间向量一定是共面向量.()(2)对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是共面向量.()提示:(1).空间两个向量一定是共面向量,但三个空间向量可以是共面的
3、,也可以是不共面的.(2).由2a-b=2a+(-1)b得2a-b与a,b共面.学习任务一空间向量的共线问题(数学抽象、逻辑推理)【典例1】(1)已知A,B,C三点共线,O为直线外任意一点,若=m+n,则m+n=_.【解析】由于A,B,C三点共线,所以存在实数,使得=,即-=(-),所以=(1-)+,所以m=1-,n=,所以m+n=1.答案:1(2)如图,已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM上一点,且GMGA=13.求证:B,G,N三点共线.【证明】设=a,=b,=c,则=+2312(+)=+13(+)=+13(-+-)=13(+)=13(a+b+c),=+=+3
4、4=-a+14(a+b+c)=-34a+14b+14c,=+=+13(+)=-a+13b+13c=43,所以.又BNBG=B,所以B,G,N三点共线.证明空间三点P,A,B共线的思路(1)存在实数,使=成立.(2)对空间任一点O,有=+t(tR).(3)对空间任一点O,有=x+y(x+y=1).1.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是()A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D【解析】选A.因为+=2a+4b=2(a+2b)=2,所以A,B,D三点共线.2.如图所示,已知四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G
5、分别是边CB,CD上的点,且=23,=23.求证:四边形EFGH是梯形.【证明】因为E,H分别是AB,AD的中点,所以=12,=12,则=-=12-12=12=12(-)=1232-32=34(-)=34,所以且|=34|.又F不在直线EH上,所以四边形EFGH是梯形.学习任务二空间向量的共面问题(数学抽象、逻辑推理)角度1点共面的判断【典例2】已知A ,B ,C 三点不共线,点O 是平面ABC 外的任意一点,若点P 分别满足下列关系:(1)+2=6-3 ;(2)+=4- .试判断点P 是否与点A,B,C共面.【解析】 (1)由题意知3-3=+2-3=(-)+(2-2) ,所以3=+2, 即=
6、-2-3 .根据共面向量定理的推论可知,点P 与点A ,B ,C 共面.(2)设=+x+y(x,yR) ,则+x+y+=4- ,所以+x+y+=4-,所以(1-x-y-4)+(1+x)+(1+y)=0,由题意可知, 均为非零向量,所以x,y 满足1-x-y-4=0,1+x=0,1+y=0, 显然此方程组无解,故点P 与点A ,B ,C 不共面.本例的条件不变,若点P满足的关系为=13+13+13,判断点P 是否与点A,B,C共面.【解析】因为+=3,所以-=(-)+(-),所以=+=-,所以向量,共面.因为它们有共同的起点P,且A,B,C三点不共线,所以点P,A,B,C共面. 角度2由共面求参
7、数【典例3】平面内有五点A,B,C,D,E,其中无三点共线,O为空间一点,满足=12+x+y,=2x+13+y,则x+3y等于()A.56B.76C.53D.73【解析】选B.由点A,B,C,D共面得x+y=12,又由点B,C,D,E共面得2x+y=23,联立方程组解得x=16,y=13,所以x+3y=76.1.解决向量共面的策略(1)若已知点P在平面ABC内,则有=+y或=x+y+z(x+y+z=1),然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数;(2)证明三个向量共面(或四点共面),需利用共面向量定理,证明过程中要灵活进行向量的分解与合成,将其中一个向量用另外两个向量来表示.2.证
8、明四点P,M,A,B共面的等价结论(1)=x+y;(2)对空间任一点O,=+x+y;(3)对空间任一点O,=x+y+z(x+y+z=1).1.在四面体OABC中,空间的一点M满足=14+16+,若,共面,则=()A.12B.13C.512D.712【解析】选D.由,共面,知14+16+=1,解得=712.2.已知E,F,G,H分别为四面体ABCD的棱AB,BC,CD,DA的中点,求证:(1)E,F,G,H四点共面;(2)BD平面EFGH.【证明】如图,连接EG,BG.(1)因为=+=+12(+)=+=+,由向量共面的充要条件知E,F,G,H四点共面.(2)因为=-=12-12=12,所以EHBD.又EH平面EFGH,BD平面EFGH,所以BD平面EFGH.【补偿训练】 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,NAC,且ANNC=2,求证:A1,B,N,M四点共面.【证明】设=a,=b,=c,则=b-a,因为M为DD1的中点,所以=c-12a,又因为ANNC=2,所以=23=23(b+c),所以=-=23(b+c)-a=23(b-a)+23c-12a=23+23,所以,为共面向量.又因为三向量有相同的起点A1,所以A1,B,N,M四点共面. - 7 -