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1、 第三章 3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程【素养导引】1.结合教材实例掌握双曲线的定义.(数学抽象)2.掌握双曲线的标准方程、几何图形,会用待定系数法求双曲线的标准方程.(数学运算)3.通过双曲线概念的引入和双曲线方程的推导,提高用坐标法解决几何问题的能力.(数学运算、逻辑推理)第1课时双曲线及其标准方程一、双曲线的定义(1)条件:平面内的两个定点F1,F2,一个动点M;(2)关系:动点与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|);(3)概念:动点的轨迹叫双曲线,两个定点叫双曲线的焦点,两焦点之间的距离叫做焦距.诊断辨析记忆(对的打“”,错的打“”).(1)平面内与两定
2、点F1,F2的距离的差等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线.()提示:平面内与两定点F1,F2的距离的差等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线的一支.(2)平面内与点F1(-2,0),F2(2,0)的距离的差的绝对值等于4的点的轨迹为双曲线.()提示:平面内与点F1(-2,0),F2(2,0)的距离的差的绝对值等于4的点的轨迹是分别以F1,F2为端点的射线.(3)平面内与定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离的差的绝对值等于3的点的轨迹是双曲线.()提示:平面内与定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离的差的绝对值等于3的点的轨迹不存在.二、双曲线的标准方程焦点
3、在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2-y2b2=1(a0,b0)y2a2-x2b2=1(a0,b0)图形焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)关系c2=a2+b2诊断1.(教材改编题)已知双曲线y216-x29=1,则双曲线的焦点坐标为()A.(-7,0),(7,0)B.(-5,0),(5,0)C.(0,-5),(0,5)D.(0,-7),(0,7)【解析】选C.由题意,c2=16+9=25,所以c=5,又双曲线的焦点在y轴上,所以焦点为(0,-5),(0,5).2.(教材改编题)双曲线的两焦点坐标是F1(0,3),F2(0,-3),a=2,则双曲线的标准方程
4、是_.【解析】由题意,b2=9-4=5,所以双曲线的标准方程为y24-x25=1.答案:y24-x25=1学习任务一求双曲线的标准方程(数学运算)【典例1】根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)a=25,经过点A(2,-5),焦点在y轴上;(2)焦点为(0,-6),(0,6),经过点A(-5,6);(3)过点P(3,154),Q(-163,5)且焦点在坐标轴上.【解析】(1)因为双曲线的焦点在y轴上,所以可设双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0).由题设知,a=25,且点A(2,-5)在双曲线上,所以a=25,25a2-4b2=1,解得a2=20,b2=16.故所求双曲线的标
5、准方程为y220-x216=1;(2)由已知得c=6,且焦点在y轴上.因为点A(-5,6)在双曲线上,所以2a=|(-5-0)2+(6+6)2-(-5-0)2+(6-6)2|=|13-5|=8,则a=4,b2=c2-a2=62-42=20.所以所求双曲线的标准方程是y216-x220=1;(3)设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB0.因为点P,Q在双曲线上,所以解得A=-116,B=19.所以双曲线的标准方程为y29-x216=1.双曲线标准方程的两种求法(1)定义法:根据双曲线的定义得到相应的a,b,c,再写出双曲线的标准方程.(2)待定系数法:先设出双曲线的标准方程x2a2-y2b2=
6、1或y2a2-x2b2=1(a,b均为正数),然后根据条件求出待定的系数代入方程即可.提醒:若焦点的位置不明确,应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为mx2+ny2=1的形式,注意标明条件mn0.根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)以椭圆x28+y25=1的焦点为顶点,顶点为焦点;(2)焦距为26,经过点(-5,2),且焦点在x轴上.【解析】(1)依题意得,双曲线的焦点在x轴上,且a=3,c=22,所以b2=c2-a2=5.所以双曲线的标准方程为x23-y25=1;(2)因为焦点在x轴上,且c=6,所以设双曲线的标准方程为x2a2-y26-a2=1,0a20)的左、右焦点分别为F1,F2,过
7、点F2的直线交双曲线右支于A,B两点,若ABF1是等腰三角形,且A=120.则ABF1的周长为()A.1633+8B.4(2-1)C.433+8D.2(3-2)【解析】选A.双曲线的焦点在x轴上,则a=2,2a=4;设|AF2|=m,由双曲线的定义可知:|AF1|=|AF2|+2a=4+m,由题意可得:|AF1|=|AB|=|AF2|+|BF2|=m+|BF2|,据此可得:|BF2|=4,所以|BF1|=2a+|BF2|=8,在ABF1中,由正弦定理:|BF1|sin120=|AF1|sin30,即|BF1|=3|AF1|,所以8=3(4+m),解得m=83-123,所以ABF1的周长为|AF
8、1|+|BF1|+|AB|=2(4+m)+8=16+283-123=8+1633.关于双曲线定义的应用(1)根据定义|PF1|-|PF2|=2a,如果点P在双曲线的某一支上,则可以去掉绝对值.如点P在右支上,则|PF1|-|PF2|=2a;(2)解题的过程中还要结合正弦定理、余弦定理、勾股定理等确定关系或直接计算求值.已知点F1,F2分别是双曲线x2a2-y29=1(a0)的左、右焦点,P是该双曲线上的一点,且|PF1|=2|PF2|=16,则PF1F2的周长是_.【解析】因为|PF1|=2|PF2|=16,所以|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a,所以a=4,又b2=9,所以c2=25
9、,所以2c=10.PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16+8+10=34.答案:34学习任务三双曲线方程的特征讨论(数学运算、逻辑推理)【典例3】已知方程x2k-5-y2|k|-2=1对应的图形是双曲线,那么k的取值范围是()A.k5B.k5或-2k2或k-2D.-2k0.即k-50,|k|-20或k-50,|k|-25或-2k2.(1)本例的方程变为x2k-5+y2|k|-2=1,其他条件不变,试求k的取值范围.【解析】由题意(k-5)(|k|-2)0,|k|-20,或k-50.解得k-2或2k5时,由k-5+k-2=7,解得k=7;当-2k2时,方程化为y22-|k|
10、-x25-k=1,由2-|k|+5-k=7,即|k|+k=0,解得-2k0.综上所述,k的取值范围为-2k0或k=7.关于双曲线方程的特征(1)如果方程为x2m+y2n=1,则当mn0,n0,则方程表示焦点在x轴上的双曲线;若m0,则方程表示焦点在y轴上的双曲线.(2)利用双曲线的方程求参数的值时,首先要将方程化为标准形式,再利用a,b,c的关系计算,如果双曲线的焦点不能确定,则分情况化为标准形式.已知双曲线x2a-3+y22-a=1,焦点在y轴上,若焦距为4,则a等于()A.32B.5C.7D.12【解析】选D.根据题意可知,双曲线的标准方程为y22-a-x23-a=1.由其焦距为4,得c=2,则有c2=2-a+3-a=4,解得a=12. - 7 -